規劃縱貫研究：檢定力、精確度與設計上的取捨

4.1 當模型有許多參數時，檢定力是什麼意思

在兩組比較裡，檢定力是一個數字，附著在一個效果上。一個縱貫模型同時估計許多個量，而每一個量都有自己的檢定力。圖 4.1用一項單一的每日日誌設計把這件事講清楚：三十個人，連續測量十四天。在這同一項研究裡，隨機截距 (random intercept) 的變異數被偵測到的檢定力幾乎等於一；某個每日預測變項的個體內效果，檢定力約為 \(.82\)；但個體間效果、跨層次交互作用 (cross-level interaction) 以及隨機斜率 (random slope) 的變異數，三者被偵測到的檢定力都在 \(.50\) 附近，遠低於慣用的 \(.80\)。同一批資料的蒐集，會依你問的是哪個問題而同時處於檢定力過剩與檢定力不足的狀態。世上並不存在「這項研究的檢定力」這種東西；只存在「某一個指名的估計標的的檢定力」。

註：在單一項每日日誌設計（30 人、14 天）中，由同一個多層次模型估計的五個量，各自的模擬檢定力。檢定力從隨機截距變異數的接近 \(1.0\)，一路到隨機斜率變異數的約 \(.49\)。虛線標示慣用的 \(.80\)。

這種多重性帶來一個建設性的推論：規劃要從指名「這項研究是為了估計哪一個估計標的而存在」開始，然後為那一個量準備檢定力。它也讓整件事值得重新框定。虛無假設檢定的檢定力問的是「一個效果能不能被區辨於零」，但一項研究可以跨過那道門檻，卻仍然把效果估計得太不精確而毫無用處。與之互補的框架是參數估計準確度 (accuracy in parameter estimation, AIPE)，它改為針對一個目標精確度 (precision) 來規劃，問的是「要多少樣本，才能讓信賴區間 (confidence interval) 的寬度不超過某個由實質判斷選定的值」(Maxwell et al., 2008)。精確度規劃在第 4.6 節與圖 4.8中發展；當審稿人對一個「任何可行樣本都偵測不到」的量堅持要求 \(.80\) 檢定力時，精確度往往是更站得住腳的框架，因為它把對話從一個二元判決，轉成「這個效果會被釘得多緊」。

4.2 封閉解的結果及其適用範圍

對最簡單的重複測量設計，檢定力可以由公式算出來。成對樣本 \(t\) 檢定 (paired \(t\) test) 與重複量數變異數分析有基於非中心分配 (noncentral distribution) 的古典檢定力，而它們所編碼的那個關鍵的縱貫事實是：檢定力取決於重複測量之間的相關。時點之間相關得越強，受試者內的對比 (contrast) 就被估計得越精確，這正是重複測量設計有效率的原因；也正是為什麼球形 (sphericity) 假設一旦被違反，就會扭曲整個計算。從 G*Power 這類軟體轉過來的讀者會發現，這些情形在那些軟體裡都有現成的處理。基礎概念方塊陳述非中心性的邏輯，以及多層次成長斜率的解析結果。

式 (4.2) 值得看成一張圖。圖 4.2把斜率估計值的抽樣變異數對人數作圖，並比較三種時點設計：四個時點集中在較窄的跨距、四個時點散布在較寬的跨距，以及八個時點。把時點拉寬或增加時點都能明顯把曲線壓低，這證實了「何時測量、測量幾次」可以和「招募多少人」一樣重要。但三條曲線都朝同一道下限下降，也就是 \(\tau_{11}/N\) 那一項，而只有招募更多人才能把它往下推。因此，一項需要估計「變化上的個體差異」而不只是「平均變化」的設計，無論測量密度多高，本質上都是一件大 \(N\) 的事。

註：平均斜率的解析抽樣變異數（式 4.2）對人數作圖，比較三種時點設計。增加時點或把時點拉寬都會把曲線壓低；虛線是 \(\tau_{11}/N\) 這道下限，只能靠增加人數來降低。圖中參數為示意值（\(\tau_{11}=0.05\)、\(\sigma^2=0.6\)）。

超出這些情形之後，公式就變得脆弱。廣義線性混合模型 (generalized linear mixed model)、參數眾多的潛在成長模型，以及帶有自我迴歸結構的密集縱貫模型，都很少能得到值得信賴的封閉解檢定力，因為目標參數的標準誤取決於整個模型，其方式沒有任何簡單公式能夠捕捉。對這些情形，誠實而通用的工具是模擬；而一旦把模擬學好，封閉解就從必需品變成可有可無的便利。

4.3 以模擬為基礎的檢定力分析流程

模擬式的檢定力分析是一項可以重複使用的單一技能：指定產生資料的歷程，從它產生大量的資料集，把分析模型配適到每一個資料集上，然後數一數目標效果被偵測到的次數比例。那個比例就是檢定力。這個流程有六個步驟，見圖 4.3；只要替換掉資料生成函式與分析方法，同一具骨架就能為任何模型服務。

註：同一具骨架適用於任何模型：只有資料生成歷程 (data-generating process, DGP)（步驟 1）與分析方法（步驟 4）會改變。步驟 6 會回饋到步驟 2，因為一次檢定力分析是針對不確定假設所做的敏感度分析，不是一次計算。

下面這段程式碼就是完整的引擎，套用在一個每日日誌模型上：其中有一個個體內的預測變項，以及一個個人層次的調節變項 (moderator)，兩者共同影響結果變項。這段程式刻意寫得精簡；配套的 power_sim_template_zh_V01.R 是同樣的邏輯加上註解，後續各章會反覆使用它。

library(lme4)

# 步驟 1：資料生成歷程，每一個參數都明白寫出
sim_diary <- function(N, D, g10 = 0.15, g01 = 0.20, g11 = 0.10,
                      tau00 = 0.25, tau11 = 0.03, sigma = sqrt(0.5)) {
  person <- rep(seq_len(N), each = D)
  w <- rep(rnorm(N), each = D); x <- rnorm(N * D)          # 調節變項、預測變項
  u0 <- rep(rnorm(N, 0, sqrt(tau00)), each = D)            # 隨機截距
  u1 <- rep(rnorm(N, 0, sqrt(tau11)), each = D)            # 隨機斜率
  y  <- u0 + (g10 + u1)*x + g01*w + g11*x*w + rnorm(N*D, 0, sigma)
  data.frame(person, x, w, y)
}

# 步驟 3 與 4：產生資料、配適模型、收割一次重複的結果
one_rep <- function(N, D) {
  d <- sim_diary(N, D)
  f <- lmer(y ~ x + w + x:w + (1 + x | person), data = d)
  b <- fixef(f); s <- sqrt(diag(vcov(f)))
  data.frame(p_within = 2*pnorm(-abs(b["x"]/s["x"])),      # 個體內效果
             converged = length(f@optinfo$conv$lme4$messages) == 0)
}

# 步驟 5：彙整多次重複的檢定力（步驟 2 就是上面選定的數值）
set.seed(2026)
reps <- do.call(rbind, replicate(500, one_rep(N = 40, D = 14),
                                 simplify = FALSE))
reps <- reps[reps$converged, ]                             # 收斂紀錄
mean(reps$p_within < 0.05)                                 # 估計檢定力約 0.95

這套流程有三個特徵，把值得信賴的檢定力分析與誤導性的檢定力分析區分開來。第一是收斂紀錄 (convergence bookkeeping)。混合模型在某些模擬資料集上會無法收斂，在小樣本時尤其如此；而默默把那些資料集丟掉會把回報的檢定力往上抬，因為這些失敗相對於效果並不是隨機發生的。誠實的做法是記錄每一次配適的收斂狀態、報告收斂率，並事先決定未收斂的配適要如何計入；把它們當成「未偵測到」是保守而站得住腳的做法。第二是種子管理 (seed management)：在最上面設一個種子就能讓整份分析可重現，而若要平行執行，則必須使用平行安全的隨機數產生器（例如 L’Ecuyer 串流），這樣各個工作程序才不會共用或重複同一批隨機數。第三是：步驟 2 的那些參數值，正是檢定力分析生死存亡之處。

那些參數值要從哪裡來？這是檢定力分析的「垃圾進、垃圾出」問題，它沒有完全令人滿意的解答，只有一些有紀律的選項，摘要於表 4.1。前導資料 (pilot data) 給得出現實的變異數成分，但樣本一小，效果的估計就既有雜訊又常被高估。已發表的文獻能提供效果量，卻被發表偏誤 (publication bias) 扭曲，於是照著已發表的效果去規劃，就是照著一個被膨脹的目標去規劃，結果得到一項檢定力不足的研究。最站得住腳的錨點往往是最小關切效果量 (smallest effect size of interest, SESOI)，也就是「低於此值這項發現在實質上就不重要」的那個效果，因為為它準備檢定力，就保證這項研究能偵測到任何值得偵測的東西 (Lakens, 2022)。無論來源是什麼，面對輸入值不確定的補救辦法都是：在一段合理的參數範圍上報告檢定力，給出一條敏感度曲線 (sensitivity curve) 而不是單一個數字，讓讀者看見結論如何取決於假設。

4.4 標準情形的工具捷徑

從零寫出模擬是通用的技能，但對標準模型而言，既有的工具可以省掉那些樣板程式。表 4.2把常見的模型家族對應到工具。對 lme4 模型，simr 把整套流程包起來：它從一個已配適或已指定的模型模擬資料，並回報檢定力以及隨樣本數變化的檢定力曲線 (Green & MacLeod, 2016)。對兩層次與三層次的試驗設計，powerlmm 曾提供便利的封閉解與模擬檢定力，不過撰稿時應確認該套件的維護狀態，若已無法取得則以等效的自寫程式替代。對潛在成長模型與結構方程模型，lavaan 的資料模擬功能搭配一個配適迴圈，實作的就是同一套蒙地卡羅邏輯；而 Mplus 的 MONTECARLO 程序則是這個領域在潛在變項檢定力上長年的主力 (Muthén & Curran, 1997; Muthén & Muthén, 2002)。對帶有自我迴歸結構的密集縱貫設計，Lafit et al. (2021) 的 Shiny 應用程式能為「尊重時間依賴性」的多層次模型做檢定力分析，而現成工具通常忽略這種依賴性。無論用哪一種工具，同樣的三項紀律都成立：指名估計標的、誠實交代參數來源、報告敏感度。

4.5 三個實作的檢定力分析

第 2 章那三個設計小案例在此以檢定力分析的形式回來，每一個都產出一張圖與一段可直接寫進計畫書的文字。

4.5.1 每日日誌研究：主效果便宜，交互作用昂貴

那項壓力與睡眠的日誌研究問兩個問題：每日壓力是否在個體內預測當晚的睡眠，以及這個個體內的耦合是否被某個個人層次的特質所調節。前者是個體內的主效果，後者是跨層次交互作用。圖 4.4顯示個體內效果在「人數 \(\times\) 天數」格點上的檢定力：它很便宜：即使每人只測一週，八十人也已超過 \(.80\)；測滿兩週則三十人上下就達到，而且此後很快就飽和，因為個體內效果取用的是每個人所貢獻的許多時點。圖 4.5把那個主效果與跨層次交互作用放在同一條軸上對照。交互作用很昂貴：在十四天的條件下，它要到七十人附近才達到 \(.80\) 檢定力，大約是主效果所需樣本的兩倍，因為跨層次交互作用本質上是在個體間層次被估計的，而在那個層次上，訊息的單位是人，不是時點。這是日誌與經驗取樣研究最重要的一項規劃教訓，而它經常被忽略：增加天數對跨層次交互作用幫助很小，增加人數才是決定性的。

註：每日預測變項的個體內效果之模擬檢定力（每格 \(300\) 次重複），作為人數與天數的函數。個體內效果在不大的樣本下就達到高檢定力，並且很快飽和。

註：每人十四天下的模擬檢定力。個體內主效果（藍色）在三十人附近達到 \(.80\)；跨層次交互作用（橘紅色）需要大約兩倍的人數，而且增加天數並不會把這個差距補起來。

這項研究可直接寫進計畫書的一段文字是：「本研究的主要假設關乎每日壓力與特質反芻思考在預測睡眠上的跨層次交互作用。假定個體內壓力對睡眠的斜率為 \(0.15\)、調節效果為 \(0.10\)、隨機斜率變異數為 \(0.03\)、殘差變異數為 \(0.50\)（取自前導資料與最小關切效果量），每個條件 \(300\) 次重複的蒙地卡羅檢定力分析顯示：\(120\) 位參與者完成十四天的日誌，在 \(\alpha = .05\) 之下偵測該交互作用的檢定力至少為 \(.90\)。對調節效果由 \(0.07\) 到 \(0.13\) 所做的敏感度分析，檢定力介於 \(.72\) 與 \(.98\)；上述各條件的收斂率均超過 \(99\%\)。」

4.5.2 加速成長研究：偵測變化上的個體差異

那項加速世代的學業成就研究（school_growth 設計）問的不只是兒童是否成長，而是他們成長的速度是否有差異，也就是隨機斜率的變異數是否不為零。正如式 (4.2) 早已預告的，這是一個大 \(N\) 的問題。圖 4.6顯示斜率變異數的檢定力：從五十位兒童時的約 \(.45\)，上升到四百位時的幾乎等於一，並在一百五十位附近跨過 \(.80\)。一項只按「估計平均成長軌跡」來定樣本數的研究，需要的兒童遠少於此，卻會在「個體差異」這個經常真正驅動發展研究的問題上嚴重檢定力不足 (Hertzog et al., 2006)。指名這兩個問題中哪一個是主要問題，是規劃這類研究的第一個動作。

註：四波成長模型中隨機斜率變異數之概似比檢定 (likelihood-ratio test) 的模擬檢定力（每點 \(200\) 次重複），作為兒童人數的函數。偵測變化上的變異數需要很多人，與式 (4.2) 一致。

4.5.3 臨床試驗：在現實的退出率下規劃檢定力

那項兩組的憂鬱症試驗（therapy_rct 設計）檢定的是處理與時間的交互作用：實驗組的症狀軌跡是否比控制組下降得更快。試驗會流失參與者，而規劃者必須問：退出對檢定力做了什麼？圖 4.7顯示該交互作用的檢定力如何隨樣本數變化，並比較零、百分之十五與百分之三十的隨機遺漏退出。值得注意的結果是：損失是溫和的。在八十位病人時，檢定力從無退出下的約 \(.68\) 降到百分之三十退出下的約 \(.55\)，是真實但不大的減損。理由很重要，而且預告了第 6 章。由於混合模型是以概似來估計軌跡，會使用每一位病人確實提供過的每一筆觀察，隨機遺漏的退出會耗掉訊息，因而耗掉檢定力，但不會使估計值產生偏誤。天真的替代做法是只分析完成者 (completer)，那既會損失更多檢定力，也會因為完成者與退出者有系統性的不同而引入偏誤。因此為退出預作規劃的意思是：適度增加樣本以抵銷精確度的損失，而不是把退出當成災難；前提是遺漏可合理假定為隨機遺漏 (MAR)，而分析是以概似為基礎的。

註：十二週試驗中處理 \(\times\) 時間交互作用的模擬檢定力（每點 \(400\) 次重複），比較三種單調的隨機遺漏退出水準。退出把曲線適度往下移；代價是精確度而不是偏誤，因為概似會用上所有可得的資料（第 6 章）。

4.6 在限制條件下設計

檢定力分析與現實相遇的形式是一份預算。人數、時點數與每個時點的密度各自都要花錢，也要花掉參與者的善意，而它們替不同的估計標的買檢定力，如表 4.3所摘要。核心的取捨在於人數與時點數之間。在觀察總數固定的條件下，怎麼分配並不是中性的：個體間的估計標的與跨層次交互作用是用人數買來的，而個體內效果、成長形狀與動態是用時點數買來的。一百個人各測十次的研究，與十個人各測一百次的研究，含有同樣的一千筆觀察，卻回答幾乎不相交的問題；這就是為什麼「重要的是 \(N \times T\) 的總數」這種坊間說法是錯的。設計必須與估計標的相匹配，而預算要花在估計標的的訊息所在之處。

精確度規劃為同一份預算提供第二種觀看方式。圖 4.8顯示個體內效果的信賴區間預期寬度如何隨人數變化：要把這個效果釘到 \(0.10\) 的寬度，大約需要一百人；不論那個樣本數能不能跨過某個檢定力門檻，答案都是這個數。當審稿人對一個「任何可行樣本都達不到」的變異數成分堅持要求 \(.80\) 檢定力時，精確度這個框架提供了一個誠實的回應：報告這項研究將達到的區間寬度，並主張一個估計良好的界限比一個檢定力不足的檢定更有訊息量。另外還有兩項工具能把固定的預算拉長。計畫性遺漏 (planned missingness) 設計刻意讓每位參與者只被分派到題目或時點的一個子集，能在降低負擔的同時保住主要估計標的的檢定力（第 6 章）。而循序設計 (sequential design，指依期中結果調整規模，與第 2 章的世代序列設計無關) 或內部前導設計 (internal-pilot design) 允許在研究進行到一半時重新估計變異數成分，以累積中的資料精修樣本數的決定。表 4.4把報告要點提煉成一份範本。

註：每人十四天下，個體內效果 \(95\%\) 信賴區間的模擬預期寬度。參數估計準確度所問的問題是「要多少樣本才能達到目標寬度」（此處為 \(0.10\)，約在一百人附近），與圖 4.4的檢定力問題互補。

4.7 常見的迷思

有四種看法會誤導規劃者。第一，認為重要的是觀察總數 \(N \times T\)：訊息是層次專屬的，所以十個人各測一百次無法回答一百個人各測十次所能回答的個體間問題，儘管兩者的總數相同。第二，認為流失只會降低檢定力：在隨機遺漏的退出加上以概似為基礎的分析之下，代價確實主要是檢定力（圖 4.7），但在非隨機遺漏的退出之下它也會使估計值產生偏誤，而那是任何樣本數都無法修補的（第 6 章）。第三，認為一次檢定力分析就是一個數字：它是一條曲線或一個曲面，橫跨各個設計因素，再加上產生它的那些假設；只報告一個孤零零的數字會把兩者都藏起來。第四，是那個實務上的兩難：「審稿人對每一件事都要求 \(.80\) 檢定力，但我的斜率變異數檢定力只有 \(.40\)」：答案不是把假設膨脹到數字看起來可接受為止，而是誠實陳述哪些估計標的檢定力充裕、哪些是為精確度而估計，並以這樣的語言為設計提出理由 (Lakens, 2022)。

接下來讀哪裡

本章各項模擬所用的壓力測試，用到第 6 章所形式化的遺漏機制；本章當成黑盒子處理的那些模型，則在第 13、14 章（多層次成長）、第 19 章（潛在成長）與第 23 章（密集縱貫）中發展。貝氏規劃把單一個檢定力數字換成「在先驗不確定性上平均後的保證度 (assurance)」，見第 17 章。檢定力分析本身就是一個可以預先註冊的對象，第 36 章處理它的預先註冊。這裡引入的可重複使用的 power_sim_template_zh_V01.R 會在後續各章的習題中反覆出現，屆時只需替換各個新模型的資料生成歷程。

習題

1. 4.1 加入未作答。把第 4.3 節的日誌檢定力模擬加以延伸，在配適之前完全隨機刪除 \(20\%\) 的「人 \(\times\) 時點」。報告個體內效果的檢定力變化，並以「訊息的損失」來解釋它。
2. 4.2 使用 simr。取一份小型的前導資料（例如 sleepstudy），配適一個隨機斜率模型，並用 simr 計算固定斜率隨樣本數變化的檢定力曲線。把結果與從零寫出的模擬相比較。
3. 4.3 精確度（AIPE）。使用日誌的資料生成歷程，以模擬找出「要多少人，才能讓標準化個體內效果的 \(95\%\) 信賴區間寬度不超過 \(0.10\)」。把這個 \(N\) 與產生 \(.80\) 檢定力的 \(N\) 相對照。
4. 4.4 評論一段檢定力陳述。給定一段已發表的樣本數說明，指出它為哪一個估計標的準備了檢定力、陳述了哪些假設，以及一位持懷疑態度的審稿人還會想知道什麼。
5. 4.5 寫出說明。依表 4.4，為第 4.5 節的加速成長研究撰寫樣本數段落，為斜率變異數這個估計標的準備檢定力，並納入一項敏感度分析。