線性混合效果模型：基礎

13.1 從受限到有彈性：模型本身

線性混合模型可以寫成兩種等價的形式，要流利就得兩種都握在手上。階層形式 (hierarchical form) 把資料的層次明白地分開。在第一層，也就是個體內的層次，每個人在每一個時點上的結果，是一條屬於他自己的直線加上殘差噪音，\(y_{it} = \beta_{0i} + \beta_{1i}x_{it} + e_{it}\)，其中 \(\beta_{0i}\) 與 \(\beta_{1i}\) 是第 \(i\) 個人自己的截距與斜率。在第二層，也就是個體間的層次，每個人的係數是母體平均加上一個屬於他自己的偏離，\(\beta_{0i} = \gamma_{00} + u_{0i}\)，\(\beta_{1i} = \gamma_{10} + u_{1i}\)。把第二式代進第一式，得到合併形式 (combined form) \(y_{it} = \gamma_{00} + \gamma_{10}x_{it} + u_{0i} + u_{1i}x_{it} + e_{it}\)，它把固定效果 \(\gamma\)，也就是母體平均的截距與斜率，與隨機效果 \(u\)，也就是屬於個人的偏離，以及殘差 \(e\) 分了開來。殘差假定為 \(e_{it} \sim N(0, \sigma^2)\)，而隨機效果假定服從平均數為零的二元常態分配 (bivariate normal distribution)，其共變數矩陣稱為 T 矩陣，\(\mathbf{T} = \left(\begin{smallmatrix} \tau_{00} & \tau_{01} \\ \tau_{01} & \tau_{11} \end{smallmatrix}\right)\)，對角線上是截距的變異數 (intercept variance) 與斜率的變異數 (slope variance)，非對角線上是兩者的共變數 (covariance)。圖 13.1 以 sleepstudy 資料把模型一步一步視覺地建起來，該資料記錄反應時間隨著連續多天的睡眠剝奪而變差：由原始軌跡，到一個容許人們在整體水準上不同、但共用同一個斜率的隨機截距模型，再到讓每個人都有自己的下降速率的完整隨機斜率模型。

註：sleepstudy 資料（反應時間隨睡眠剝奪天數變化）。左：原始軌跡。中：一個隨機截距模型，其中的個體直線（藍）與固定線（紅）平行，只在水準上不同。右：一個隨機斜率模型，其中的個體直線連斜率也不同。隨機效果 (random effects) 就是藍線相對於紅線的偏離。

T 矩陣中的變異數與共變數不是干擾項，而是對個別差異的實質描述。截距變異數 \(\tau_{00}\) 說的是人們的起始水準差多少，斜率變異數 \(\tau_{11}\) 說的是人們的改變速率差多少，而截距與斜率的共變數 \(\tau_{01}\)，通常讀成相關，說的是起點高的人與起點低的人在改變上是否不同。圖 13.2 顯示了兩種可能：相關為正會產生扇形展開 (fan-spread)，起點較高的人上升也較快，於是個別差異隨時間增大；相關為負則產生扇形收攏 (fan-close)，軌跡逐漸靠攏。這個相關往往正是實質上關心的量 (substantive quantity)，它說的是某個結果變項上的不平等 (inequality) 會隨時間拉大還是縮小，而它是由模型自由估計出來的，不是被假定的。

註：模擬的軌跡，左為截距與斜率相關為正，起點高的人上升較快、軌跡向外扇形展開；右為相關為負，起點高的人上升較慢、軌跡逐漸收攏。這個在 T 矩陣 (T matrix) 中估計出來的相關，描述的是個別差異隨時間增大還是縮小。

隨機效果還有一項後果，把本章與前兩章統一了起來。這個模型雖然是以條件的方式設定的，也就是以屬於個人的直線來設定，它卻隱含了重複測量之間的一個邊際共變數 (marginal covariance)，把隨機效果積分掉就得到：對第 \(i\) 個人而言，若隨機效果的設計矩陣為 \(\mathbf{Z}_i\)，則觀察值的邊際共變數是 \(\mathbf{Z}_i \mathbf{T} \mathbf{Z}_i' + \sigma^2 \mathbf{I}\)。這一個式子解釋了很多事。只有隨機截距的模型隱含的 \(\mathbf{Z}_i \mathbf{T} \mathbf{Z}_i' + \sigma^2 \mathbf{I}\) 具有常數的非對角線，那正是第 11 章的重複量數變異數分析所假定的複合對稱 (compound symmetry)，所以隨機截距模型就是那個分析，只是把它的球形假設攤在明處。有隨機斜率的模型則隱含一個變異數隨時間增大、相關隨間隔衰退的共變數，這是一個現實得多的結構，任何固定的共變數菜單都沒有它。圖 13.3 把這兩種隱含的共變數畫成熱圖。同一個式子也就是第 12 章的廣義估計方程用工作相關去近似的那個邊際共變數，而第 19 章會證明潛在成長模型 (latent growth model) 正好重現同一個共變數結構。於是一個條件模型，就把變異數分析的球形、邊際模型的工作相關，以及成長模型的共變數結構全部包了進來。表 13.1 把這同一個模型在幾個文獻傳統中的不同名字對了起來。

註：兩個模型所隱含的邊際共變數 \(\mathbf{Z}_i\mathbf{T}\mathbf{Z}_i' + \sigma^2\mathbf{I}\)。隨機截距（左）隱含複合對稱 (compound symmetry)，任意兩個時點之間的共變數都相同，也就是重複量數變異數分析所假定的結構。隨機斜率（右）隱含變異數隨時間增大、相關隨間隔衰退，這種結構任何固定的共變數菜單都沒有。

13.2 估計：軟體到底做了什麼

變異數參數由兩種概似方法之一估出來，而這項區分在實務上是有影響的。最大概似 (maximum likelihood, ML) 藉由最大化完整概似來估計變異數成分，但它把固定效果當成已知，於是變異數估計值向下偏誤，就像把樣本變異數除以 \(n\) 而不是 \(n-1\) 一樣。受限最大概似 (restricted maximum likelihood, REML) 從已把固定效果投影掉的殘差來估變異數成分，藉此移除這項偏誤，是報告變異數估計值時恰當的預設 (default)。兩種方法在模型比較上有一項影響重大的差別：因為 REML 改動了概似中屬於固定效果的部分，兩個固定效果不同的模型不能用它們的 REML 概似來比較，所以固定效果的概似比檢定必須在最大概似之下進行，而隨機效果的檢定兩者皆可。表 13.2 陳述這些規則。

估計有時會走到邊界 (boundary)，回報為奇異配適 (singular fit)，也就是某個變異數被估到零，或某個隨機效果相關被估到正負一。這不是錯誤，而是一則訊息：資料中沒有足夠的訊息去估計所要求的隨機效果結構，最常見的原因是群集太少、或每個群集的時點太少而識別不出斜率變異數，也可能是兩個隨機效果幾乎共線 (collinear)。正確的回應不是無視這個警告，而是有原則地把隨機結構簡化，做法在第 13.5 節發展。R 裡有兩套實作分工：lme4 快、能處理交叉隨機效果 (crossed random effects)，是本書各個模型的主力；nlme 較慢，但可以直接配適殘差共變數結構與異質變異 (heteroscedasticity)，這些能力在第 14 章的成長模型中會用到。讀者應該學會逐行讀懂一個配適好的模型的輸出，第 13.6 節的實作範例會完整地標註一份。

13.3 推論

混合模型的推論比一般迴歸細緻，而對這份細緻誠實，是把模型用好的一部分。對固定效果 (fixed effects) 而言，困難在於檢定統計量的精確分配未知，因為資料不平衡、誤差又相關時，分母的自由度不是一個簡單的計數。這正是 lme4 套件刻意不報 \(p\) 值的原因：不是因為混合模型有爭議，而是因為沒有唯一正確的自由度可以報。實務上的解法是 Satterthwaite 與 Kenward-Roger 兩種近似，它們估計一個有效自由度 (effective degrees of freedom)，而 Kenward-Roger 還會一併調整標準誤；兩者在 R 中都有，而且在小樣本下的校準 (calibration) 都遠比樸素的大樣本常態近似好。圖 13.4 說明了為什麼這項修正要緊：在一項模擬中，建立在樸素常態近似上的信賴區間在群集數少時涵蓋率嚴重不足，在六個群集時掉到百分之九十二以下，而 Satterthwaite 區間則全程守在名目的百分之九十五附近。教訓是：群集少時自由度修正不是可有可無，而在樣本最小的情況下以 Kenward-Roger 為佳 (Luke, 2017; McNeish, 2017)。

註：一項模擬中，某個固定斜率的名目百分之九十五信賴區間的實徵涵蓋率，對群集數作圖。樸素的大樣本區間在群集少時涵蓋率不足；Satterthwaite 自由度修正把涵蓋率拉回接近名目水準。Kenward-Roger 的表現類似，而在樣本最小時以它為佳。

對變異數成分 (variance components) 的推論面對的是另一個問題：虛無假設把參數放在它的參數空間的邊界上，因為變異數不可能是負的。因此，要檢定是否需要一個隨機斜率，也就是它的變異數是否為零，不能用配上通常卡方參照的普通概似比檢定，因為標準理論假定虛無值落在參數空間的內部。在正確的邊界理論之下，概似比統計量服從的不是卡方分配，而是一個混合分配，在恰好等於零的地方有相當可觀的機率質量 (Self & Liang, 1987; Stram & Lee, 1994)。圖 13.5 由模擬顯示了這個統計量的虛無分配：零點有一根很高的尖峰，因為變異數的無約束估計有一半的機會是負的、於是被設為零；其餘部分則呈卡方的形狀，但落在樸素的卡方密度之下。因此樸素檢定是保守的 (conservative)，拒絕得太少，而修正很簡單，就是把 \(p\) 值減半，或等價地拿混合分配去比。這一點的實務意涵與一般的擔憂正好相反：危險的不是誤判有隨機斜率，而是漏掉一個真實存在的隨機斜率。

註：由模擬得到的、斜率變異數的概似比統計量的虛無分配，在零有一大塊點質量 (point mass)，而正的部分落在樸素卡方密度（紅）之下。因為樸素的卡方參照高於真正的虛無分配，樸素檢定是保守的；正確的檢定是把 \(p\) 值減半，或改用混合參照。

隨機效果也給出個體量的預測值，也就是最佳線性不偏預測 (best linear unbiased predictions, BLUPs)，又稱條件眾數 (conditional modes)，它估計的是每個人自己的截距與斜率 (person-specific intercept and slope)。它們並不單純是那個人自己的最小平方 (ordinary least squares) 配適，而是那個配適與母體平均之間、以信度為權重的收縮 (shrinkage) 折衷，正是第 7 章為個人平均數所預告的部分合併 (partial pooling) 想法。一個有許多可靠觀察值的人會被信任，他的預測值就停在自己的資料附近；一個觀察值少或很嘈雜的人則被收縮向群體，理由是當個體的估計不可靠時，群體是比較好的猜測。圖 13.6 顯示了這在 sleepstudy 受試者身上的效果：逐人的最小平方估計被往內拉向合併估計，越不可靠的拉得越多。基礎概念方塊明確給出這個收縮權重。這些預測值對描述很有價值，可以畫毛毛蟲圖 (caterpillar plot) 與個體軌跡圖，但拿它們當第二階段分析的輸入時必須謹慎，因為把收縮過的估計值當成觀察到的資料，會低估它們的不確定性 (uncertainty)，並使後續的結果產生偏誤 (bias)。表 13.3 收齊了各種推論選項。

註：sleepstudy 受試者截距與斜率的逐人最小平方估計（橘）與模型的最佳線性不偏預測（藍），並以箭頭連接。預測值被拉向合併估計（紅），一個人自己的估計越不可靠就拉得越多，這就是基礎概念方塊所推導的部分合併折衷。

一個斜率該不該當成隨機的，一部分是統計問題，一部分是設計問題，而這件事曾引起一場真正的爭論。一種立場主張，驗證性的分析應該納入設計所能支持的最大隨機效果結構 (maximal random-effects structure)，也就是每一個被檢定效果的群集內預測變項都給一個隨機斜率，理由是省略它會膨脹偽陽性率 (false-positive rate) (Barr et al., 2013)。相對的立場則主張，最大結構往往是資料撐不起來的，會產生第 13.2 節的奇異配適並損失檢定力，隨機結構應該修剪到資料能識別 (identify) 的程度 (Matuschek et al., 2017)。這場爭論起源於實驗心理語言學 (psycholinguistics)，那裡的設計平衡、群集也多，要搬到縱貫的情境必須小心，因為每個人的時點往往很少。本書的立場居中：對理論核心的個體內效果納入隨機斜率；當資料撐不起完整結構時就簡化，而不是硬撐出一個奇異配適；並報告固定效果的結論對所選隨機結構的敏感度 (sensitivity)。實務方塊把這場爭論消化過一遍。

13.4 中心化：改變問題本身的那個抉擇

在縱貫混合模型中，後果最嚴重、也最常被處理錯的抉擇，是一個時間變動預測變項要怎麼中心化，因為中心化決定了這個預測變項的係數在回答兩個不同問題中的哪一個。這是自第 1 章就預告的完整處理。一個時間變動預測變項 \(x_{it}\) 可以像第 7 章那樣分解成一個個人平均數 \(\bar{x}_{i\cdot}\) 與一個個體內偏離 \(x_{it} - \bar{x}_{i\cdot}\)，而這兩個成分與結果變項的關係可以完全不同。個人平均數中心化 (person-mean centering)，也稱為群集內中心化 (centering within cluster)，放進去的是偏離 \(x_{it} - \bar{x}_{i\cdot}\)，於是它的係數是純粹的個體內效果，也就是當一個人高於他自己平常水準一個單位時，結果變項預期的改變。再把個人平均數 \(\bar{x}_{i\cdot}\) 當成第二個、屬於第二層的預測變項放進去，它的係數就捕捉到個體間效果，也就是兩個平常水準相差一個單位的人，結果變項預期的差異。相對地，把原始預測變項 \(x_{it}\) 放進去而不放個人平均數，等於逼一個係數同時扮演兩個角色，而那個係數是個體內與個體間效果以變異數為權重的混合 (variance-weighted blend)，除非兩者恰好相同，否則它哪一個都不是。總平均數中心化 (grand-mean centering) 只是移動截距，並不能解開這個混淆，因為它改的是原點，沒有把層次分開。

當個體內與個體間效果符號相反時，這個抉擇的後果最嚴重，而圖 13.7 在第 1 章引進的咖啡因與疲倦資料上正好顯示了這一點。在個體內，喝比平常多的咖啡因與感覺比較不疲倦有關，個體內效果為負，\(-0.78\)；在個體間，習慣喝比較多咖啡因的人比較疲倦，個體間效果為正，\(+0.89\)，推測是因為疲倦驅動了習慣性的攝取。原始係數 \(-0.78\) 只抓到了個體內的故事，把正向的個體間關聯完全遮住了，這正是個人平均數中心化要防止的那種生態謬誤 (ecological fallacy)。這張圖同時也顯示了一個同號的例子，也就是壓力與負向情緒的資料，其中個體內效果（\(0.35\)）與個體間效果（\(0.46\)）指向同一個方向，但大小仍然不同，所以即使原始係數不會在符號上誤導，它仍然混淆了兩個不同的量。脈絡效果 (contextual effect)，也就是個體間係數與個體內係數之差，往往正是實質上關心的量，它衡量的是一個人相對於其他人的位置，在他當下的狀態之外還額外有多少影響 (Curran & Bauer, 2011; Enders & Tofighi, 2007)。另一種等價的參數化，也就是 Mundlak 設定，把原始預測變項與個人平均數一起放進去，個人平均數的係數就可以直接讀成脈絡效果；它會還原出同樣的個體內效果，並把混合模型接上計量經濟的固定效果估計式 (fixed-effects estimator)，這座橋在第 21 章的交叉延宕模型中會再次造訪。表 13.4 是中心化的總表。

註：原始、個體內（個人平均數中心化）與個體間（個人平均數）三種設定所得的係數。左：壓力與負向情緒的效果同號但大小不同。右：咖啡因與疲倦的個體內效果為負、個體間效果為正，而原始係數把正向的個體間關聯完全藏了起來。只有個人平均數中心化能把兩者分開。

13.5 實作流程

建一個混合模型是一連串有原則的決定，不是一道指令，而把這個順序記錄下來也是分析的一部分。一套穩健的策略從無條件平均數模型開始，也就是只有隨機截距、沒有預測變項的模型，它給出組內相關 (intraclass correlation, ICC) 並確認多層次結構有其必要；接著加入時間的固定效果與任何由理論驅動的固定預測變項；再對核心的個體內效果加入隨機斜率；並以恰當的概似方法比較這一連串模型，固定效果的改動用最大概似，隨機效果的改動兩者皆可。每一步都記在一張建模表中，範本是表 13.5，好讓讀者能跟著推理從虛無模型走到最終設定。當估計無法收斂或回報奇異配適時，依序套用圖 13.8 的排除流程：把預測變項重新調整規模 (rescale) 並中心化，讓最佳化器 (optimizer) 面對的是可比的規模；簡化隨機結構，先移除相關，再移除最不核心的斜率；換一個或合併多個最佳化器；提高疊代上限；而對一個資料以概似真的支撐不起來的結構，最後一步是走向第 17 章的貝氏估計，它的先驗 (prior) 可以把一個弱識別 (weakly identified) 的變異數正則化 (regularize)。

註：當混合模型無法收斂或回報奇異配適時，依序套用。每一步對付一個常見的原因，從規模不佳的預測變項，到過於野心的隨機結構，再到最佳化器的設定；最後一步是貝氏估計，它的先驗可以把概似識別不出來的變異數正則化。奇異配適是一則關於資料的訊息，不是一個該被壓下去的錯誤。

配適好的模型必須診斷，而混合模型在兩個層次上都有殘差與假設。圖 13.9 顯示 sleepstudy 模型的診斷圖組：第一層殘差應該是同質變異 (homoscedastic) 且大致常態的，以殘差對配適值的圖與分位數圖 (quantile plot) 檢查；隨機效果應該近似常態，以它自己的分位數圖檢查；而隨機截距與隨機斜率的聯合分配 (joint distribution) 則顯示兩者的相關以及任何離群 (outlying) 的人。讓人安心的是，混合模型的固定效果估計對隨機效果的非常態相當穩健，所以隨機效果分位數圖上的輕微偏離並不致命，不過影響力 (influence) 極端的人值得細看 (Schielzeth et al., 2020)。最後，解釋的變異數以 Nakagawa and Schielzeth (2013) 的邊際與條件 \(R^2\) 摘要：邊際的那個，此處為 \(0.30\)，是單靠固定效果解釋的變異數比例；條件的那個，此處為 \(0.79\)，是固定效果與隨機效果一起解釋的比例，兩者之間的落差衡量的是個別差異多添了多少。更完整的 Rights and Sterba (2019) 架構把解釋的變異數分解成可解讀的群集內 (within-cluster) 與群集間 (between-cluster) 來源，在來源本身要緊時它才是認真的答案，而 Nakagawa 那組指標則作為通用的貨幣；兩者都應該優先於樸素的擬 \(R^2\) (pseudo-\(R^2\)) 來報告，因為後者可能有反常的行為，甚至在加入一個有用的預測變項時反而下降。

註：sleepstudy 模型的診斷：第一層殘差對配適值以及它的分位數圖（上），隨機截距的分位數圖與隨機截距、隨機斜率的聯合分配（下）。混合模型在兩個層次上都有假設；它的固定效果對隨機效果輕微的非常態相當穩健，但有影響力的個人值得細看。

13.6 實作範例與報告

sleepstudy 資料把整段歷程完整走了一遍。無條件模型給出的組內相關是 \(0.39\)，也就是反應時間 (reaction time) 的變異數有三分之一以上是在個體間穩定 (stable) 存在的，多層次模型因而有其必要。加入天數的固定效果之後就確立了平均軌跡，每多剝奪一天睡眠，反應時間大約增加十毫秒。再加入隨機斜率則顯示人們在這個速率上差異相當大，斜率的標準差大約是每天六毫秒，而截距與斜率的相關接近零，所以起始的反應時間並不能預測惡化的速率。最終配適的模型畫在圖 13.10 中，一邊疊在資料上，一邊畫成個體斜率的毛毛蟲圖，這兩種「模型疊資料」(model-over-data) 的呈現方式是第 8 章立為標準的。天數的固定效果估計為每天 \(10.47\) 毫秒，配 Satterthwaite 修正的檢定（\(SE = 1.55\)，\(t = 6.77\)，\(\mathit{df} = 17\)，\(p < .001\)），而邊際與條件 \(R^2\) 分別是 \(0.30\) 與 \(0.79\)。示範段落可以這樣寫：「反應時間以線性混合模型建模，包含天數的固定效果、一個隨機截距，以及天數在受試者之間的隨機斜率，以 lme4 的受限最大概似估計，並由 lmerTest 提供 Satterthwaite 自由度。反應時間每天增加 \(10.47\) 毫秒（\(SE = 1.55\)，\(\mathit{df} = 17\)，\(p < .001\)）。受試者在增加的速率上差異相當大（斜率 \(SD = 5.9\) 毫秒／天），而截距與斜率的相關可以忽略。固定效果與隨機效果合起來解釋了 \(79\%\) 的變異數（邊際 \(R^2 = .30\)）。」表 13.6 是這一段所滿足的報告檢核表，它也是後續成長、廣義與密集資料各章沿用的標準。

註：左：配適好的 sleepstudy 模型，個體預測軌跡（藍）與固定效果軌跡（紅）疊在觀察資料上。右：個體斜率與其區間的毛毛蟲圖，依大小排序；區間不含平均斜率（虛線）的受試者，惡化得比典型 (typical) 的人可靠地更快或更慢。這是第 8 章的兩種標準「模型疊資料」呈現方式。

13.7 在 R 中執行混合模型

模型以 lme4 的 lmer 配適，而 Satterthwaite 檢定來自載入 lmerTest，它會在摘要中加上自由度與 \(p\) 值。建模順序與中心化各只需要幾行。

library(lme4); library(lmerTest); library(dplyr)
data(sleepstudy)

m0 <- lmer(Reaction ~ 1 + (1 | Subject), sleepstudy)        # 虛無模型：ICC
m1 <- lmer(Reaction ~ Days + (1 | Subject), sleepstudy)     # 加固定斜率
m2 <- lmer(Reaction ~ Days + (Days | Subject), sleepstudy)  # 加隨機斜率
summary(m2)                                                 # Satterthwaite df
ranova(m2)                                                  # 隨機斜率的邊界檢定
VarCorr(m2); confint(m2)                                    # 變異數；輪廓 CI

把個體內與個體間效果分開的個人平均數中心化，是一個分組的轉換再把兩個成分一起放進去，而邊際與條件 \(R^2\) 則由預測值的變異數算出。

# --- 以個人平均數中心化作個體內／個體間分解 ---
ae <- readRDS("Examples/data/affect_ema.rds") |>
  filter(!is.na(na), !is.na(stress)) |>
  group_by(person) |> mutate(pm = mean(stress), cwc = stress - pm) |> ungroup()
lmer(na ~ cwc + pm + (1 | person), ae)     # cwc = 個體內效果；pm = 個體間效果

# --- Nakagawa 的邊際／條件 R^2 ---
vf <- var(predict(m2, re.form = NA)); vt <- var(predict(m2)); ve <- sigma(m2)^2
c(marginal = vf/(vf + (vt-vf) + ve), conditional = (vt)/(vt + ve))

完整的分析，包括邊界概似比檢定與 Satterthwaite 涵蓋率兩項模擬，以及收縮的計算，都在隨附的腳本 ch13_analysis_V01.R 之中。圖形則由中文版的 ch13_figures_zh_V01.R 繪出。nlme 套件以不同的語法配適同樣的模型，並加上第 14 章會用到的殘差共變數結構，而 performance 與 r2mlm 兩個套件可以自動算出解釋變異數的各種指標。

13.8 常見的迷思

關於混合模型，有幾種說法會誤導讀者。第一種是隨機效果只是為了處理非獨立性的干擾修正；它們往往就是現象本身，也就是驅動整項研究的、改變上的個別差異 (individual differences in change)，而斜率變異數與截距斜率相關是實質的發現 (substantive findings)，不是統計上的記帳 (bookkeeping)。第二種是 lme4 拒絕印 \(p\) 值代表混合模型有爭議；那只反映了分母自由度真正的困難，而這個困難已由 Satterthwaite 與 Kenward-Roger 修正解決。第三種是關於隨機結構的一對相反錯誤，也就是隨機效果越多越安全與奇異配適代表模型錯了；真相是隨機結構應該與理論的要求和資料的支撐能力相稱，而奇異配適是一則要你簡化 (simplify) 的訊息，不是失敗的判決。第四種是虛無模型算出來的組內相關在加入預測變項之後仍然有意義；一旦預測變項進場，變異數成分就是條件的 (conditional)，虛無模型的組內相關不再描述所配適的模型。還有一個反覆被問到的問題，是需要多少群集與多少時點，誠實的答案是「看效果與設計而定」，最好由第 4 章以模擬為基礎的檢定力分析 (power analysis) 來決定；而固定效果所需的群集數比變異數成分少，後者在群集數低於大約三十時就估得很差。

接下來讀哪裡

第四部到第六部的一切都建立在本章上。第 14 章把模型專門化到成長，那裡時間是核心的預測變項，而軌跡的形狀，線性、多項式或分段，本身成為研究的對象。第 15 章與第 16 章把它延伸到非常態的結果變項，也就是廣義線性混合模型，即第 12 章邊際模型的個體特定對應項，並延伸到把個體內變異數本身模型化。第 17 章提供貝氏估計，用來拯救本章排除流程最後所停在的那些弱識別隨機結構。第 19 章揭示潛在成長模型就是結構方程形式的同一個模型，使第 13.1 節的隱含共變數以因素結構的樣貌變得明白。第 21 章把固定效果與中心化這座橋帶進交叉延宕追蹤模型的爭論，而第 23 章則把整套工具用在密集縱貫資料上。這裡建立的符號與流程是它們共同的語言，其中中心化那一節尤其會被反覆引用，因為只要有時間變動預測變項出現，個體內與個體間的區分就會跟著出現。

習題

1. 13.1 在兩種形式之間互譯。對一個給定的兩層模型，寫出階層形式與合併形式，並以文字解讀每一個固定效果、變異數、共變數與殘差。
2. 13.2 建一整套順序。在所提供的縱貫資料集上，把模型從虛無建到最終，把每一步記在一張建模表中，並針對一個更簡單與一個更豐富的替代方案為最終的隨機結構辯護。
3. 13.3 用三種方式中心化。對一個時間變動預測變項配適原始、總平均數中心化與個人平均數中心化三種設定，寫出三種解讀，並指出哪一個係數回答的是個體內的問題。
4. 13.4 涵蓋率模擬。以模擬估計固定斜率在十五個群集時 Satterthwaite 信賴區間的涵蓋率，並與樸素區間比較。
5. 13.5 診斷並修復。給定一個植入了問題的不收斂模型（一個沒有調整規模的時間變項與一個過度參數化的隨機結構），套用排除流程並報告可用的模型。
6. 13.6 邊界檢定。以模擬驗證斜率變異數的概似比統計量在虛無之下於零有一塊點質量，並顯示樸素的卡方檢定是保守的。