縱貫模型的貝氏估計

17.1 推論架構，最精簡的版本

貝氏推論建立在一條恆等式上。給定資料之後參數的後驗分配，正比於給定參數之後資料的概似，乘上參數的先驗分配，\(p(\bm{\theta}\mid \mathbf{y}) \propto p(\mathbf{y}\mid \bm{\theta})\,p(\bm{\theta})\)。概似就是最大概似所要最大化的那個東西，先驗編碼的是在看到資料之前對參數已知的事，後驗則是看過之後更新過的知識狀態。圖 17.1 為單一個參數畫出這三個東西，那個參數是 ‘sleepstudy‘ 反應時間資料的平均斜率。一個弱訊息先驗 (weakly informative prior)，相對於合理範圍而言很寬，貢獻很少；概似承載資料中的訊息；而後驗幾乎疊在概似上，只被朝先驗輕輕推了一點。這是資料有訊息、先驗又弱時的常態：後驗由資料主導，先驗主要是拿來正則化 (regularize) 而不是拿來導向的。當資料稀疏或參數弱識別 (weakly identified) 時，先驗做的事就多了，這也是為什麼先驗的選擇下面要自成一節。

註：對 ‘sleepstudy‘ 資料的平均斜率而言，一個弱訊息先驗（灰）、資料的概似（橘），以及由此得到的後驗（藍）。後驗是一個以精確度加權 (precision-weighted) 的折衷，這裡幾乎與概似重合，因為資料有訊息而先驗很弱。資料稀疏時先驗貢獻較多，這正是先驗必須被選擇也被檢查的原因。

這套做法的產物是每一個參數的完整分配，而推論直接從那個分配上讀出想要的量。可信區間是一個以某個陳述好的後驗機率包含參數的區間，而它的意思正好就是新手誤以為信賴區間 (confidence interval) 所指的那件事：在給定資料、模型與先驗之下，參數落在九十五百分比可信區間內的機率是九十五百分比。信賴區間下的是那個比較細緻的頻率論 (frequentist) 陳述，講的是程序的長期涵蓋率 (coverage)，不是講這一個區間。在先驗弱且資料充足時兩者數值相近，先驗有訊息或樣本小時就會分歧，而差別在於什麼被當成隨機的：對貝氏而言是參數，對頻率論者而言是區間。本書使用貝氏方法的取向是估計與預測，為參數報告後驗與可信區間、為新觀察報告預測分配，而把用於假設檢定的貝氏因子 (Bayes factor) 那套做法留到本章稍後，作簡短且帶告誡的處理。

縱貫模型之所以一再走到貝氏估計，這個理由值得寫成一張地圖。第 13 章碰上落在參數空間邊界上的變異數參數，在那裡最大概似估計值是一個退化 (degenerate) 的點，而它的不確定性是無定義的。第 15 章碰上對隨機效果的難解積分。第 16 章碰上一個坐在變異數裡面的隨機效果。接下來的幾部把這些困難疊在一起：第六部的潛在變項動態、連續時間 (continuous-time) 與狀態空間 (state-space) 模型，以及動態結構方程模型 (dynamic structural equation model)，實務上都以馬可夫鏈蒙地卡羅估計，因為沒有別的方法能優雅地處理它們那種弱識別、高維度的後驗。因此本章被放在這個位置，當作全書的估計引擎：建造一次，反覆使用。

17.2 縱貫模型參數的先驗

先驗是一項建模抉擇，而如同任何建模抉擇，它必須是刻意的、而且要被檢查。對固定效果而言，標準建議是在標準化尺度 (standardized scale) 上給一個弱訊息先驗，一個常態分配，寬到對效果的正負號 (sign) 與大致量級 (magnitude) 不提供訊息，但又窄到能排除荒謬 (absurd) 的值，這樣既穩住 (stabilize) 估計，又在資料足夠時不會實質影響後驗。縱貫模型中真正有意思的先驗是放在變異數成分與相關上的，而在這裡，近年的實務已經果斷地離開了舊的預設值 (default)。

變異數的歷史預設值是逆伽瑪 (inverse-gamma) 分配，選它是為了共軛性 (conjugacy)，但它偏偏在縱貫模型所居住的那個地帶、也就是零附近，表現很差，因為一個真的很小的變異數，會被逆伽瑪先驗以一種很難做到無訊息的方式推離零 (Gelman, 2006)。現代的建議把先驗放在標準差上而不是變異數上，並使用半常態 (half-normal) 或半 \(t\) (half-\(t\)) 分配，這些密度在零處最大而後平滑衰減 (decay)，於是一個很小或為零的變異數是被允許的、而不是被禁止的。這就是第 13 章的邊界故事以先驗的形式重講一遍：最大概似把一個小變異數壓成恰好為零的地方，半常態先驗讓後驗集中在零附近而仍保有它的不確定性。使一個先驗成為弱訊息的不是一句口號，而是一項可查核的隱含結果，而查核的方式就是先驗預測模擬：從先驗抽參數，再檢視它們所隱含的資料或衍生量。圖 17.2 對三個變異數先驗所隱含的組內相關 (intraclass correlation, ICC) 做了這項檢查。一個尺度很大的半常態，本意是無訊息的，實際上卻把先驗質量堆在零與一附近，這是一個「大部分變異不是全在群集內、就是全在群集間」的不合理先驗信念；一個比較窄的半常態把隱含的組內相關散得比較均勻；而一個半 Cauchy 則把大量質量放在兩個極端。教訓是，一個放在變異數上的先驗，就是放在這個變異數所隱含的一切之上的先驗，而只有先驗預測模擬能揭露 (reveal) 實際上假設了什麼。

註：三個放在隨機效果標準差與殘差標準差上的先驗，各自隱含的組內相關之先驗預測分配。一個很寬的半常態，本意是無訊息的，卻隱含了「組內相關接近零或一」這個先驗信念；一個比較窄的半常態比較均勻；半 Cauchy 則偏好極端值。使一個變異數先驗成為弱訊息的，是它所隱含的分配，不是它名目上的寬度。

隨機效果之間的相關，也就是第 13 章 T 矩陣的非對角線 (off-diagonal)，有它自己的先驗。標準的選擇是放在相關矩陣上的 LKJ 先驗 (Lewandowski et al., 2009)，由單一個形狀參數 (shape parameter) \(\eta\) 掌管，而圖 17.3 顯示它在單一個相關上的行為。\(\eta=1\) 時先驗在合法範圍上是平坦的，\(\eta\) 大於一時它朝零集中、因而把相關往獨立的方向正則化，\(\eta\) 小於一時則偏好極端值。像 \(\eta=2\) 這樣溫和的值是一個合理的預設，表達的是「隨機效果並非完全相關」這個弱信念 (weak belief)，同時讓資料說話。先驗敏感度 (prior sensitivity) 於是成為工作流程的例行部分，而不是事後補的：模型在兩三組站得住腳的先驗之下重新配適，而後驗結論只有在都撐得過的時候才報告為穩健 (robust)。從先前研究取得的有訊息先驗，在早先的證據可靠時是正當而且有價值的，但要記得一個標準的告誡：一份被發表偏誤 (publication bias) 扭曲過的文獻，會提供過度自信、也離零太遠的先驗。表 17.1 收齊了預設建議。

註：在幾個形狀參數 \(\eta\) 之下，單一個隨機效果相關在 LKJ 先驗下的先驗密度。\(\eta=1\) 時先驗是平坦的；\(\eta\) 越大，相關越集中於零附近，朝獨立的方向正則化；\(\eta\) 低於一時偏好強相關。\(\eta=2\) 附近是常見的弱訊息預設值。

17.3 實務上的馬可夫鏈蒙地卡羅

後驗只知道到一個常數為止，一般也無法解析地摘要，因此要以模擬探索它。馬可夫鏈蒙地卡羅建構一條參數抽樣的鏈，其平穩分配 (stationary distribution) 就是後驗，於是在一段起始的暖身 (warmup) 之後，那些抽樣就是後驗的樣本，而任何感興趣的量都以對它們取平均來估計。現代的預設演算法是 Hamiltonian 蒙地卡羅 (Hamiltonian Monte Carlo) 及其會自我調校的變體「不掉頭取樣器」(no-U-turn sampler)，它用對數後驗的梯度 (gradient) 來提出遠距離、有訊息的移動 (move)，因而探索相關的高維度後驗，比早期實務中的隨機漫步 (random walk) 與 Gibbs 取樣器有效率得多 (Betancourt, 2017)。實務上的預設是：跑好幾條鏈 (chain)、各自從不同的起點 (starting point) 出發，丟掉一段暖身期，並跑足夠多的暖身後疊代 (iteration)，好把感興趣的量估到可接受的精確度；當下面的診斷有要求時就把次數拉高。

一條配適好的鏈在被信任之前必須先被診斷，而四項診斷做掉大部分的工作。潛在尺度縮減因子 (potential scale reduction factor) \(\hat{R}\) 比較鏈內的變異數與鏈間的變異數；當各鏈都收斂到同一個分配時兩者一致，\(\hat{R}\) 接近一，而大約高於 \(1.01\) 就是各鏈尚未混合 (mix) 的訊號 (Vehtari et al., 2021)。圖 17.4 顯示它的視覺對應物：健康的鏈互相重疊、像白雜訊 (white noise) 一樣圍著一個共同的水準交錯，而病態的鏈從不同起點出發、跑了同樣的量之後仍未相遇，它們的分離就是一個大的 \(\hat{R}\) 背後的幾何，這裡是 \(6.63\) 對上健康的 \(1.08\)。有效樣本數衡量一條自我相關的鏈相當於多少個獨立抽樣，在分配中央算「主體」的、在兩端算「尾部」的，而有效樣本數小就表示後驗摘要本身也帶著雜訊。發散轉移 (divergent transition) 是 Hamiltonian 模擬的失敗，標示出取樣器穿不過去的一個區域，而它是最專屬 (specific) 於縱貫模型的診斷，因為它源自階層模型所造出來的漏斗幾何。表 17.2 列出每一項診斷、它的門檻、它偵測的病態，以及它的解法。

註：左：一個識別良好的參數的健康鏈，互相重疊、圍著一個共同水準交錯，\(\hat{R}\) 接近一。右：從不同起點出發、跑了同樣的量之後仍未收斂到共同分配的病態鏈，這是一個大 \(\hat{R}\) 的視覺特徵。軌跡圖是最先也最快的收斂診斷。

漏斗值得自己一張圖，因為它是階層模型的招牌病態，也是一個設定良好的模型仍然可能配適失敗的原因。當一個組層次的標準差自己就是一個參數時，這個標準差的對數與它所掌管的那些組效果的聯合後驗，會有一個漏斗形狀：標準差小的地方，組效果被擠進一段狹窄的頸部；標準差大的地方，它們散開成一個寬闊的口。圖 17.5 把它畫了出來。在頸部裡，組效果的條件分散程度整個塌下去，在跑的這個例子中由口部的約 \(4.5\) 掉到頸部的約 \(0.2\)，是二十倍以上的尺度變化 (change in scale)，沒有任何單一個步長 (step size) 能同時應付，於是一個調校 (tune) 到口部的梯度取樣器會衝過頭 (overshoot) 而發散。解法不是一個調校旋鈕，而是一次變數變換。非中心化參數化 (non-centered parameterization) 把每一個組效果改寫成組標準差乘上一個標準常態的輔助變項，這把兩者解耦 (uncouple)，也把漏斗變成圖右側那團無害的雲 (blob)。模型沒有改變，改變的只有它的座標 (coordinates)，而現代軟體預設就會施加這項重新參數化，同時在發散仍然出現時把它報出來。這一類重新參數化的直覺，也就是認出問題出在模型的幾何而不是它的設定，是以馬可夫鏈蒙地卡羅配適階層模型時最有用的單一技能。

註：左：在「組標準差的對數」與「組效果」這組中心化座標中，後驗是一個漏斗，取樣器穿不過它的頸部，因為組效果的條件分散程度在那裡塌掉了。右：非中心化座標，其中組效果被寫成標準差乘上一個標準常態變項，兩軸因而解耦成一團無害的雲。兩者描述的是同一個模型。

17.4 模型批判與比較

一個貝氏模型以後驗預測檢查來批判：從配適好的模型模擬資料，再把模擬資料的某些特徵與觀察資料的同一些特徵對照。如果模型夠好，觀察資料看起來就像是從它抽出來的一個合理樣本；如果某個特徵系統性地偏掉了，那個落差就把設定錯誤 (misspecification) 定位 (localize) 出來。技藝在於挑選要檢查的特徵，而它們應該是「模型為了它預期的用途必須算對」的那些量：隨時間變化的平均軌跡、個體軌跡的分散程度，或者第 16 章明確建模的那個變異數結構。圖 17.6 檢查 ‘sleepstudy‘ 模型的平均軌跡：觀察到的每日平均數都落在後驗預測帶內，所以模型重現了平均結構。瞄準變異數、或瞄準個人層次軌跡的檢查，會盤問模型的其他承諾 (commitment)，而一份周全的報告會集合一小組這樣的檢查，不會只靠其中一個。

註：觀察到的每日平均反應時間（紅），對上由配適好的模型算出的後驗預測中位數與九十五百分比帶（藍）。觀察值落在帶內，是模型重現了平均軌跡的證據。後驗預測檢查的選擇，要瞄準模型為了它的目的必須算對的那些特徵。

模型以它們對新資料的期望預測準確度來比較，估計方式是留一交叉驗證或與它關係很近的廣泛適用訊息準則 (widely applicable information criterion, WAIC)，兩者都由後驗抽樣算出。這些工具估計的是樣本外 (out-of-sample) 的預測表現，不是真理：它們偏好的模型，是期望能把一筆新觀察預測得最好的那一個，而那未必是描述機制的那一個，這個區分在預測與解釋分歧的地方都要緊，而第 31 章會展開它。它們的診斷，也就是每一筆觀察的 Pareto 形狀參數，標示出近似不可靠的點，而那些點通常正是有影響力 (influential)、實質上也有意思的點，例如一位軌跡讓模型難以容納的受試者。表 17.3 把這些比較工具並排放好。貝氏因子比較兩個模型的邊際概似 (marginal likelihood)，回答的是一個確實不同的問題，也就是一個模型相對於另一個的證據強度，但它們對參數的先驗惡名昭彰地敏感，包括那些對估計而言無害的先驗，而且需要專門的計算。它們有它們的用處，但本書比較模型的預設是預測導向的，透過交叉驗證，再補上任何自動準則都取代不了的實質判斷。

17.5 三項好處的示範

三項示範顯示貝氏估計買到了什麼，而每一項都以一句誠實的話收尾，說明在哪裡最大概似仍然比較好。第一項是邊界搶救。在一份只有八個人的小資料集上，一個隨機斜率模型以受限最大概似配適會回傳一個奇異配適，把斜率標準差壓到零這個邊界上，而且不為它報告任何不確定性，正是第 13 章的那個病態。同一個模型的貝氏配適，在斜率標準差上放一個半常態先驗，回傳一個集中 (concentrate) 在零附近但不貼著零的後驗，並帶著一個很寬的可信區間，在跑的這個例子中大約由 \(0.03\) 到 \(2.42\)。圖 17.7 把兩者對照起來。貝氏的答案不是「斜率變異數很大」；它是「資料解析不出這個變異數」，而後驗誠實地這麼說，不是塌成一個假的確定性 (false certainty)。往下游走，任何依賴斜率變異數的量都繼承這份誠實的不確定性，而不是繼承一個落在邊界上的點。

註：對一個建在八個人身上的隨機斜率模型，受限最大概似回傳一個斜率標準差落在邊界上的奇異配適（紅線），而且沒有不確定性。貝氏後驗（藍）讓這個標準差離零有段距離，並帶著一個很寬的可信區間，誠實地表達「資料解析不出這個變異數」，而不是把它壓掉。

第二項好處是小樣本推論。當群集數很少時，一個固定效果建立在天真常態近似上的頻率論區間會涵蓋不足 (under-cover)，因為它忽略了估計出來的變異數成分中的不確定性 (uncertainty)，正是第 13 章 Satterthwaite 與 Kenward-Roger 修正所處理的同一個問題。圖 17.8 摘要了一個只有五個群集的模擬：天真區間在大約八十九百分比的樣本中涵蓋到真值，而名目 (nominal) 上是九十五百分比；貝氏可信區間因為對變異數中的不確定性做了積分而比較寬，涵蓋率則約為九十三百分比。貝氏區間在小樣本下校準 (calibrate) 得比較好，不是靠魔法，而是靠對「什麼是不知道的」誠實；而下面會展開的那個告誡是，這份誠實依賴合理的先驗：一個草率的先驗會讓小樣本的貝氏推論變得更差，而不是更好 (McNeish, 2016; Smid et al., 2020)。

註：一個只有五個群集的模擬中，固定斜率的名目九十五百分比區間之涵蓋率。天真的最大概似區間因為忽略變異數成分中的不確定性而涵蓋不足；比較寬的貝氏可信區間則比較接近名目值。這項改善依賴的是合理的先驗，不是那個標籤。

第三項好處是不確定性傳遞。因為貝氏估計回傳的是聯合後驗的抽樣，參數的任何一個函數都免費繼承一個完整的後驗分配，包括那些最大概似的點估計做法只能笨拙近似的量。圖 17.9 顯示其中一個這樣的衍生量：對 ‘sleepstudy‘ 資料中的每一個人，他真正的斜率為負的後驗機率，也就是在睡眠剝奪之下他的反應時間變好而不是變差的機率。幾乎沒有人有值得一提的變好機率，而估計最曖昧的那一位所帶的機率接近二分之一，而這一切不確定性都被恰當地量化了。這一類問題，某個人屬於某一類的機率、母體中軌跡在下降的比例、一位尚未被觀察到的個體的預測路徑，都直接從後驗抽樣回答；最大概似則必須訴諸 delta 法 (delta method) 或拔靴法 (bootstrap)，而且仍然難以把變異數成分中的不確定性傳遞出去。圖 17.10 接著給出每一項示範結尾都要說的那句平衡的話：在重新配適的 ‘sleepstudy‘ 模型的各參數上，最大概似估計值與貝氏後驗平均數相當一致，變異數成分在貝氏配適下只稍大一些，因為它不帶最大概似那個向下的偏誤。兩具引擎通常回傳同樣的數字；它們的差別在於把什麼當成不確定的，以及在資料很薄時能誠實地說什麼。表 17.4 就本書的幾個模型家族，列出各自在什麼時候比較好。

註：對 ‘sleepstudy‘ 資料中的每一個人，他真正的斜率為負、也就是反應時間在睡眠剝奪之下變好的後驗機率。幾乎沒有人如此，而最曖昧的那一位坐在五五波的位置。這一類屬於個人的衍生量連同它們的不確定性，直接由後驗抽樣得出，要從最大概似的點估計值誠實地取得則相當彆扭。

註：‘sleepstudy‘ 模型各參數的最大概似估計值對上貝氏後驗平均數（截距在兩者之下都接近 \(250\)，已略去，好讓比較小的參數看得清楚）。這些估計值落在單位線 (identity line) 上；隨機效果的標準差在貝氏配適下稍大，因為它沒有最大概似那個向下的變異數偏誤。數字上一致，對待不確定性的方式不同。

17.6 報告一項貝氏縱貫分析

一項貝氏分析要報告到一個標準，讓一位抱持懷疑 (skeptical) 的讀者能夠重建它並信任它，而學界也已經為此收斂出一份檢核表 (Depaoli & van de Schoot, 2017)。先驗必須連同它們的理由一起陳述，而且要報告一項先驗敏感度分析，因為一個沒有被陳述的先驗就是一個無法稽核 (audit) 的假設。軟體與它的版本必須指名，因為預設值會變。收斂診斷，\(\hat{R}\)、有效樣本數與發散轉移的次數，必須被報告出來，而不是只斷言一句「都沒問題」，而任何發散都必須被解釋或解決。後驗以它的集中趨勢 (central tendency) 與一個可信區間摘要，絕不只用一個點估計值，而衍生量也要連同它們的區間一起報告。後驗預測檢查要秀出來。表 17.5 就是那份檢核表。最後一件實務上的事是怎麼面對抱持懷疑的審查者或口試委員：最有效的回應是證據，也就是圖 17.10 那張一致性圖，顯示在兩者都有效的地方貝氏與頻率論的估計值重合，再加上一份把先驗與診斷交代完整的報告，好消除「有沒有藏起來的選擇」這層疑慮。

17.7 在 R 中執行貝氏模型

brms 套件以與 lme4 相同的式子語法設定一個貝氏多層次模型，並以 Stan 配適它，同時提供可以檢視 (inspect) 也可以覆寫 (override) 的弱訊息預設先驗。

library(brms)
# sleepstudy 的隨機斜率模型，貝氏版
m <- brm(Reaction ~ Days + (Days | Subject), data = sleepstudy,
         prior = c(prior(normal(0, 50), class = b),          # 固定效果
                   prior(normal(0, 50), class = sd),          # 隨機效果 SD（半常態）
                   prior(lkj(2),        class = cor)),        # 相關上的 LKJ
         chains = 4, cores = 4, seed = 1)
summary(m)                                                    # 後驗摘要 + Rhat、ESS

診斷、先驗與後驗預測檢查，以及預測導向的比較，各只要一次呼叫，而衍生量則由後驗抽樣得出。

pp_check(m)                                    # 後驗預測檢查
loo(m)                                         # 留一交叉驗證
# 先驗預測：以 sample_prior = "only" 重配一次，再 pp_check
# 衍生量：由後驗抽樣算 P(某人的斜率 < 0)
post <- as_draws_df(m)                          # 後驗抽樣，含隨機效果
# 先驗敏感度：在 2-3 組先驗之下重配並比較後驗

隨附的腳本 ch17_analysis_V01.R 收錄了本章完整的分析，包括先驗預測與 LKJ 的示範、一個從第一原理寫出分裂 \(\hat{R}\) 與有效樣本數函式的透明馬可夫鏈蒙地卡羅取樣器、漏斗幾何、邊界搶救、小樣本涵蓋率模擬，以及衍生量與一致性的圖示；圖形則由中文版的 ch17_figures_zh_V01.R 繪出。該腳本為了透明與可攜性而用自己寫的取樣器配適模型；配上 Stan 後端的 brms 才是建議用於實務生產的工具，也是後面幾章建立在本章之上時所預設的引擎。

17.8 常見的迷思

關於貝氏方法，有幾個信念會誤導讀者。第一個是貝氏估計讓人在小樣本下想說什麼都行；資料稀少時先驗確實在做事，所以敏感度分析是必要的，而一個草率的先驗會傷害而不是幫助 (McNeish, 2016)。第二個是可信區間不過是哲學比較好的信賴區間；兩者在先驗弱、資料充足時數值接近，但它們下的是不同的陳述，而差別正好在於什麼被當成隨機的。第三個是發散轉移是可以容忍的警告；它們標示取樣器穿不過後驗的某一塊，所以那些抽樣是有偏誤的，不只是沒效率，必須加以解決。第四個是交叉驗證會選出真的模型；它估計的是預測準確度，而預測最好的模型未必是有解釋力的那一個。第五個是平坦先驗是客觀、無假設的選擇；一個放在變異數上的平坦先驗是一項很強、而且通常不合理的陳述，正如圖 17.2 的先驗預測檢查所顯示的。

接下來要去哪裡

本章被後面大部分的內容消費掉。第五部的結構方程模型，也就是潛在成長與變化分數模型以及交叉延宕追蹤模型，越來越多以貝氏估計透過 blavaan 與商業程式的貝氏選項來配適，而第 18 章的恆等性檢定也獲得一個近似的貝氏形式。第六部的密集縱貫模型幾乎完全依賴它：第 25 章的動態結構方程模型原封不動地繼承本章的診斷表，而第 26 章與第 27 章的連續時間與狀態空間模型實務上就是貝氏的。交叉驗證那一節的預測取向會在第 31 章回來，而報告檢核表則餵給第 36 章的工作流程。第 16 章的位置尺度模型把讀者送到這裡來取它的估計方法，現在可以帶著理解、而不是借來的工具，重新配適一次。本章養成的習慣，以隱含結果檢查先驗、在看估計值之前先看診斷、把不確定性傳遞到每一個衍生量，就是貝氏縱貫分析的工作紀律。

習題

1. 17.1 先驗預測的設計。對一個結果變項介於零到一百之間的成長模型，為固定效果與變異數成分選擇先驗，從它們模擬，並在碰資料之前就顯示所隱含的軌跡與組內相關是合理的。
2. 17.2 診斷與修復。給定三個植入了不同病態的配適模型：一條未混合的鏈、一個尾部有效樣本數過低的情形，以及來自漏斗的發散，請由各自的診斷把它們一一辨認出來，並說出修復方式。
3. 17.3 重配與一致。把前面某一章的一個混合模型在貝氏估計之下重新配適，產出最大概似對貝氏的一致性圖，並為兩者不同的任何一個參數提出說明。
4. 17.4 衍生量。由後驗抽樣算出某個人的斜率為負的機率，以及一位新受試者軌跡的預測區間，並各寫出它所支持的那一句實質陳述。
5. 17.5 預測導向的比較。以留一交叉驗證比較一個線性與一個分段成長模型，把 Pareto 形狀參數的標示實質地解讀成有影響力的個人，並陳述這項比較確立了什麼、又沒有確立什麼。
6. 17.6 先驗敏感度。在三組站得住腳的先驗之下重新配適一個模型，報告某個關鍵參數在各組之下的後驗，並判斷這項結論是否穩健。