日記與密集縱貫資料的多層次模型

23.1 歷程問題與個體內迴歸

密集縱貫分析的定義性動作，是把問題問到人的裡面去。以壓力與負向情緒 (negative affect) 為例。一個個體間的問題問的是：報告壓力較多的人，是不是也報告較多的負向情緒？這是關於人與人之間如何排序的事實。一個個體內的問題問的是：某一個人在他自己壓力比平常高的那些時刻，是不是覺得更糟？這是關於那個人自己的狀態如何隨時間一起移動的事實。兩者在邏輯上截然不同，它們甚至可以正負相反，而第 13 章那一整套中心化的做法，存在的目的就是把它們分開。把當下的預測變項作個人平均數中心化 (person-mean centering)，也就是從每一筆當下的壓力報告中減去這個人自己的平均壓力，就分離出了個體內的偏離 (within-person deviation)，而以那個偏離為預測變項 (predictor) 的迴歸 (regression)，直接回答了個體內的問題。各人的平均數則另外放進模型，承載個體間的訊息。這種拆解 (disaggregation) 由 Curran and Bauer (2011) 與 Wang and Maxwell (2015) 為追蹤資料發展出來，並由 Enders and Tofighi (2007)、Hoffman and Stawski (2009) 與 Hamaker and Muthén (2020) 為中心化這件事定下規範，它與第 13.4 節是同一套準則，只是在這一章成了家常便飯，因為這裡每一個預測變項都在人之內被重複測量。這類資料的分析有很長的方法學譜系，從 West and Hepworth (1991) 對日常經驗資料的早期處理，到 Hektner et al. (2007) 的經驗取樣手冊。

圖 23.1 把個體內的問題畫得看得見。每一格是一個人自己的迴歸，把當下的負向情緒迴歸到他個人平均數中心化之後的當下壓力上，取自 ema_stress 的十二個人；這份資料是一項為期兩週的經驗取樣研究，120 人、每天六次提示 (beep)。斜率明顯不同。有一個人的情緒隨他的壓力陡升；另一個人的幾乎不動；第三個人的落在量尺 (scale) 的地板 (floor) 上，是平的。這些差異不是圍繞著一條共同斜率的雜訊，不該被平均掉。它就是現象本身：人與人在「自己的情緒對自己的壓力有多敏感」這件事上是不同的，這是一項個別差異 (individual differences) 的發現，而一個只報告平均斜率的模型，會把資料裡最有意思的東西丟掉。這正是隨機斜率的實質讀法，由 Bolger and Zuckerman (1995) 的人格歷程 (personality process) 傳統與 Bolger et al. (1989) 的日常壓力研究發展出來：隨機斜率的變異數是一項個別差異的發現，而「用個人層次的共變項去解釋它」則是下一個問題。

註：每一格把一個人當下的負向情緒迴歸到他個人平均數中心化之後的當下壓力上，取自 ema_stress 的十二個人。斜率因人而異：有些人反應陡峭，有些人幾乎是平的。研究的對象是這份異質性 (heterogeneity)，不是只有那條平均斜率。

多層次模型把這件事形式化。把第 \(i\) 個人在第 \(t\) 個時點的負向情緒寫作 \(\mathrm{na}_{it}\)、他個人平均數中心化之後的壓力寫作 \(\mathrm{stress}^{wc}_{it}\)，模型 \(\mathrm{na}_{it} = \beta_{0i} + \beta_{1i}\,\mathrm{stress}^{wc}_{it} + \gamma_2\,\overline{\mathrm{stress}}_i + e_{it}\) 讓截距 \(\beta_{0i}\) 與斜率 \(\beta_{1i}\) 在人與人之間隨機，於是固定效果 (fixed effect) 的斜率估計的是平均的個體內壓力反應性 (reactivity)，而斜率變異數 (variance) 估計的是它的異質性。配適到 ema_stress 上，平均的個體內壓力反應性在情緒量尺上是 \(0.27\)，而隨機斜率的標準差不小，所以人從幾乎不反應一路到強烈反應都有。圖 23.2 畫出各人反應性的分配，以及分配兩端的兩個人，一個的情緒緊跟著他的壓力走，另一個的不跟。這份散布就是發現。

註：(a) 由 ema_stress 的隨機斜率模型算出來的各人壓力反應性（最佳線性不偏預測 (best linear unbiased prediction, BLUP)）的分配；直線標示平均數。(b) 反應性最高與最低的兩個人：一個人的負向情緒隨他當下的壓力上升，另一個人的幾乎是平的。人與人之間的這份差異是一項實質結果，不是統計上的保險。

一旦反應性被認出是會變動的，問題就變成「是什麼在解釋它」，而答案是一個跨層次交互作用 (cross-level interaction)：一個個人層次的共變項去調節那條個體內的斜率。在 ema_stress 中扮演這個角色的是神經質 (neuroticism)。把個人平均數中心化的壓力與神經質的交互作用加進去，也就是 \(\beta_{1i} = \gamma_{10} + \gamma_{11}\,\mathrm{neuroticism}_i + u_{1i}\)，估出 \(\gamma_{11}=0.13\)（\(SE=0.01\)）：神經質較高的人，對自己的壓力反應較強。圖 23.3 把這個交互作用探測 (probe) 出來，畫出預測的個體內斜率如何隨神經質的全距 (range) 而變並附上信賴帶 (confidence band)，各人的反應性散在它周圍。這個跨層次交互作用解釋掉了一部分的斜率變異數，把一份被描述的異質性變成了一份被建模的異質性。這些設定從問題到公式的文法，整理在表 23.1。

註：預測出來的個體內壓力反應性斜率隨神經質上升（線條附 95% 信賴帶）；圓點是各人的反應性。這個跨層次交互作用解釋掉了圖 23.2 所呈現的反應性異質性當中的一部分。

23.2 結構：這個設計造出幾個層次？

一個密集設計把觀察值巢套進一個階層裡，而分析者必須決定要建模幾個層次。提示巢套在人之內，這就是前面用的兩層次結構；但提示同時也巢套在「天」之內，而天又巢套在人之內，這給出三層次結構；又因為同一批「一天中的時段」在各天重複出現，提示還被個人與時段交叉分類。圖 23.4 把三者畫出來。這個決定不只是技術性的，因為一個「天」層次的隨機效果代表著某件真實的東西，也就是一個人的某一天整體上比較好或比較糟，凌駕於那一天之內的當下起伏；當它確實存在而被忽略時，聚集 (clustering) 的程度會被低估，推論也可能被扭曲。「需要幾個層次」的證據，就是第 7 章那套組內相關的邏輯，現在用到多出來的「天」這一層上。

註：提示（藍色圓點）可以只當成巢套在人之內 (a)；可以當成巢套在人之內的「天」裡面 (b)，這會多出一個「天」層次的隨機效果，承載整天的高低；也可以當成被個人與重複出現的時段交叉分類 (c)。由虛無模型 (null model) 估出來的各層次組內相關，是選擇的依據。

在 ema_stress 上，一個三層次的虛無模型把負向情緒的變異數拆成個人的一份、人之內各天的一份，以及提示層次的一份。個人的組內相關是 \(0.42\)，所以有很大一部分的變異數是穩定的個體間差異，這正是中心化要緊的理由。多出來的「天」層次那一份是 \(0.06\)，不大但不為零：天確實把它裡面的提示聚在一起，而三層次模型捕捉得到「一個人的星期二整體上可能比他的星期三糟」這件事。要不要帶著第三層，是一項在這份證據、精簡原則 (parsimony) 與收斂 (convergence) 之間權衡的判斷，表 23.2 把這個決定攤開來。另一個相關的問題是「一個預測變項住在時刻的層次還是天的層次」，也就是「當下的一次壓力報告」對「一天彙總起來的壓力」，這是第 5 章提過的那種建構 (construction) 選擇：把當下的報告彙總 (aggregate) 成一天的平均數，會造出一個天層次的預測變項，它自己又有天與天之間、天之內兩個部分，而這道彙總應該是刻意的，不是不小心的。

23.3 一天之內與一週之內的時間：週期

情緒在一天之中不是平的。它有節律 (rhythm)，隨著時辰上升或下降，而那條日內節律 (diurnal rhythm) 要不是一個要移除的干擾項 (nuisance)，就是一個要研究的現象；但無論是哪一種，它都必須被建模，否則它會汙染其他一切。標準的工具是三角函數迴歸 (trigonometric regression)：在一天這個週期上放一對正弦與餘弦，\(\beta_c\cos(2\pi\,h/24) + \beta_s\sin(2\pi\,h/24)\)，其中 \(h\) 是時辰，用兩個係數就表示了一條平滑的週期。這一對係數比看起來好解讀，因為它們可以還原成振幅與相位：振幅 \(\sqrt{\beta_c^2+\beta_s^2}\) 是由當日平均數擺盪到高峰的幅度，而相位 \(\arctan(\beta_s/\beta_c)\) 把高峰定位在一天當中的哪個時刻。基礎概念方塊給出代數與 delta 法 (delta method) 的信賴區間。在 ema_stress 上，配適出來的餘弦與正弦係數是 \(0.23\) 與 \(0.12\)，還原成 \(0.26\) 的振幅（\(SE=0.01\)），負向情緒在中午前後最低，整個下午一路上升到傍晚的高峰。圖 23.5 畫出配適出來的節律與它的振幅，以及一組因人而異的節律。

註：(a) 由一對正弦餘弦項得到的母體日內節律，振幅 \(0.26\)：負向情緒在中午前後下探，往傍晚上升。(b) 由隨機的正弦與餘弦係數得到的個人節律；人與人在每日擺盪的大小與形狀上並不相同。振幅與相位由那兩個三角函數係數還原而得。

週期是干擾項還是現象，取決於問題。如果關心的是壓力反應性，而日內節律只是一個變異數的來源，放著不管會把殘差灌大、還會與同樣隨時辰變動的預測變項混淆 (confound)，那麼就把週期偏除 (partial out) 然後忘掉它。如果關心的是節律本身，是時型 (chronotype)，是「有些人的情緒在早晨到頂、有些人在夜裡到頂」這件事，那麼因人而異的振幅與相位就是估計標的。一週的週期值得同等的照料：負向情緒在週末可能較低，一個平日與週末的對比 (contrast) 或一個星期幾的因子 (factor) 就捕捉得到，而 Liu and West (2016) 警告，沒有被建模的每週週期是日記資料中常見的疏漏。在 ema_stress 中，週末對負向情緒的效果是 \(-0.06\)。表 23.3 是週期設定的菜單。

23.4 趨勢：波動與變化的分岔

在兩週之內，一個人的情緒可能會漂移，而那條趨勢逼出一個完全取決於估計標的的決定。如果問題是關於波動，是關於一個人在有壓力的那些時刻、他的情緒如何繞著自己的水準移動，那麼趨勢就是汙染物：它會把個體內變異數灌大，更糟的是，如果預測變項本身也有趨勢，它還會滲漏進個體內效果。如果問題是關於變化，是關於這個人的水準本身如何演變，那麼趨勢就是訊號，必須被建模，通常是在一個「成長加歷程」(growth-and-process) 的合成模型裡，同時帶著一條軌跡 (trajectory) 與環繞著它的個體內波動。這個分岔的用語，是刻意與第 14.4 節的時間變動共變項 (time-varying covariate) 處理、以及第 25 章的動態模型協調過的，因為這是同一套準則在三個地方現身。

滲漏值得看一眼。圖 23.6 模擬一個隨時間有趨勢的個體內預測變項，以及一個既依賴該預測變項的波動、又帶著自己趨勢的結果變項。當預測變項照慣例作個人平均數中心化時，中心化之後的偏離裡仍然含著趨勢，而結果變項裡的趨勢與它相關，於是估出來的個體內效果被灌大，是 \(0.38\)，而真值是 \(0.30\)。逐人去趨勢，也就是在形成個體內偏離之前先把每個人的線性趨勢迴歸掉，把真相還原到 \(0.30\)。教訓是：個人平均數中心化假設了定態性 (stationarity)，而當趨勢存在時，中心化之前必須先去趨勢，或者把趨勢當成共變項放進去，否則個體內效果就會把它吸收進來。表 23.4 陳述這個分岔。

註：當一個個體內的預測變項隨時間有趨勢時，天真的個人平均數中心化會讓趨勢滲漏進個體內效果，把它灌到真值 \(0.30\) 之上。在中心化之前先逐人去趨勢，就還原得出真相。長條是模擬樣本上的平均數，鬍鬚是第 \(2.5\) 到第 \(97.5\) 百分位數。

23.5 昨天有影響：延宕與序列依賴

相鄰的時刻並不獨立。一個人此刻覺得糟，過不久往往還是覺得糟，而第一層的這份序列依賴必須處理；但要怎麼處理，是一個真正的分岔，兩條路回答不同的問題、也帶著不同的偏誤。第一條路把相依當成殘差的性質：個體內的誤差是自我相關 (autocorrelated) 的，一個一階自我迴歸 (first-order autoregressive, AR(1)) 結構，其中 \(e_{it}=\rho\,e_{i,t-1}+\text{雜訊}\)，把它建模可以校正個體內效果的標準誤，而不改變它們的意義。個體內反應性仍然是估計標的；AR(1) 只是承認歷程的雜訊不是白雜訊 (white noise)。在 ema_stress 上，以一般化最小平方 (generalized least squares) 配適的 AR(1) 殘差結構把自我相關估在 \(0.30\)，而圖 23.8 顯示，在忽略它的模型裡明顯存在的殘差自我相關，一旦把 AR(1) 放進去就被漂白了。第二條路把先前的狀態放進平均數模型，作為延宕依變項，也就是把當下的情緒迴歸到它自己前一刻的值上，這改變了估計標的：各項係數現在都以先前的狀態為條件，而延宕依變項的係數本身就是一個實質的量，是情緒的延續效果 (carryover) 或慣性 (inertia)。圖 23.7 把兩者畫出來，表 23.5 陳述各自何時較好。

註：(a) AR(1) 殘差結構把個體內誤差當成自我相關的（\(\rho\)）；個體內反應性不變，它的標準誤被校正。(b) 延宕依變項的設定把前一刻的情緒放進平均數模型（\(\phi\)）；延續效果成為估計標的，而所有效果都變成以前一刻的狀態為條件。兩者回答不同的問題。

註：在 ema_stress 上，只放隨機截距的模型所留下的第一層殘差的自我相關（橘色）呈現 AR(1) 的特徵：延宕一期的相關接近 \(0.28\)，並隨延宕遞減。把 AR(1) 殘差結構建模之後，殘差就被漂白了（藍色）。這項診斷應該出現在每一份密集縱貫的報告裡。

延宕依變項這條路帶著一個必須明講的危險。在放進個人的隨機截距 (random intercept) 的同時，把當下的情緒迴歸到它自己前一刻的值上，會在每人的時點數少的時候產出一個有偏誤的延續係數，因為隨機截距與延宕依變項相關，而從很少的觀察值 (observation) 裡估不好它。圖 23.9 用模擬把它量出來：在真實的延續效果為 \(0.40\) 時，隨機截距的估計值在五個時點時被灌大到 \(0.62\)，要等到時點數增長到數十個，它才落回真值。這是第 21 章遇過的 Nickell 偏誤 (Nickell, 1981) 在多層次世界的對應物，在那裡同一個估計式的固定效果版本是往相反方向、向下偏誤；兩者在 \(T\) 小的時候都不可信，而 McNeish and Stapleton (2016) 綜覽了各種小樣本的校正。誠實的結論是，延宕依變項模型需要每人有很多時點，而當動態才是真正的興趣所在時，第 25 章的動態結構方程模型 (dynamic structural equation model) 才是正確估計它們的地方。在延宕依變項模型還站得住腳的範圍內，它在真正動態的問題上是有價值的：在控制住今天的情緒之後，今天的衝突能不能預測明天的情緒？這種跨日的延續效果對比，正是 Bolger and Laurenceau (2013) 與 Laurenceau et al. (1998) 這個傳統的招牌分析。圖 23.10 在 ema_stress 上把同時效果與延宕效果並排：當下的壓力在當刻把情緒推得很強，情緒的延續效果不小，而延宕的壓力效果在以前一刻的狀態為條件之後很小、甚至略為負值，提醒我們延宕效果與同時效果是不同的量。

註：在真實的延續係數為 \(0.40\) 時，帶隨機截距的延宕依變項估計值在每人時點數少的時候被灌大，要等到時點數增加才落回真值。同一個估計式的固定效果版本則是向下偏誤（第 21 章）。在第 25 章的工具之下，兩者在 \(T\) 小的時候都會誤導人。

註：在 ema_stress 上：當下的壓力在同一個時刻把負向情緒推得很強；先前的情緒延續效果不小；而延宕的壓力效果在以前一刻的狀態為條件之後很小、且略為負值。把同時效果與延宕效果分開，是密集縱貫研究的一項招牌分析。

23.6 個體內的中介與調節

一個歷程問題往往帶著一套機制：壓力提高反芻 (rumination)，反芻又提高負向情緒，而這條鏈上的三個變項都在人之內被重複測量，是一個 1-1-1 中介。多層次的那套做法估得出它，但其中有一個細微之處，是這個領域裡最常見的一個錯誤。由壓力到反芻的 \(a\) 路徑與由反芻到情緒的 \(b\) 路徑都在人與人之間變動，而當兩個隨機斜率相乘時，它們乘積的期望值不是兩個平均數的乘積，而是乘積再加上它們的共變數：平均的個體內間接效果是 \(a\,b + \mathrm{cov}(a_i,b_i)\)。把共變數項省略掉，就像天真的兩模型作法那樣，會讓間接效果產生偏誤。Bauer et al. (2006) 的解法，是把兩條方程式堆疊 (stack) 進單一個多層次模型一起估計，並讓 \(a\) 路徑與 \(b\) 路徑的隨機效果互相共變，共變數項就直接讀得出來。圖 23.11 畫出這個帶著隨機路徑的 1-1-1 模型。

註：三個變項都在人之內被重複測量。\(a\) 路徑（壓力到反芻）與 \(b\) 路徑（反芻到情緒）在人與人之間隨機變動，所以平均的個體內間接效果是 \(a\,b + \mathrm{cov}(a_i,b_i)\)，也就是兩條平均路徑的乘積再加上它們的共變數。直接路徑 \(c'\) 是扣掉中介那條路之後剩下的反應性。

以堆疊模型配適到 ema_stress 上，\(a\) 路徑是 \(0.34\)、\(b\) 路徑是 \(0.23\)、直接路徑是 \(0.19\)；固定的間接效果 \(a\,b\) 是 \(0.076\)，蒙地卡羅 (Monte Carlo) 95% 信賴區間為 \([0.062, 0.091]\)，而估出來的 \(a\) 與 \(b\) 的共變數再加上 \(0.006\)，所以平均的總間接效果是 \(0.081\)。蒙地卡羅區間的作法，是從兩條路徑的聯合抽樣分配中抽樣、再取它們乘積的百分位數 (percentile)；對一個間接效果而言這才是恰當的不確定性 (uncertainty)，因為它的抽樣分配 (sampling distribution) 並不常態。這與第 21 章的中介是同一套邏輯，只是搬進了人之內。Vuorre and Bolger (2018) 那種貝氏 (Bayesian) 實作，在一個步驟裡同時處理隨機的共變數與區間，在軟體可用時往往是最乾淨的路。Preacher et al. (2010) 的多層次結構方程架構是另一個有原則的選擇，它把中介的個體內部分與個體間部分明確分開。個體內的調節，也就是兩個個體內預測變項的交互作用，遵守同一套中心化紀律：兩個預測變項都要作個人平均數中心化，而它們的乘積要由中心化之後的版本形成，否則交互作用會把個體內與個體間的效果混在一起。

23.7 完整的示範研究與報告

本章的各項手藝合起來成為一套工作流程，而 ema_stress 把它從頭走到尾。研究問題有三個：情緒對當下的壓力是否有反應、那份反應性如何變動又如何被解釋（反應性與它的調節）；情緒是否延續、壓力又如何跨時間運作（持續性與延宕效果）；以及反芻是否在人之內中介了壓力與情緒的連結（機制）。結構的決定，由組內相關來看，是一個「天」層次佔比不大的三層次模型。週期被建模，一對日內的正弦餘弦 (sine-cosine) 項與一個週末對比，在這裡當成要偏除的干擾項。趨勢被檢查過，而由於這是一項波動研究，有趨勢的地方就把它移除。序列依賴以 AR(1) 殘差處理，因為主要的估計標的是反應性而不是延續效果，而殘差 (residual) 的自我相關被診斷過也被漂白 (whiten) 了。反應性模型交出一個接近 \(0.27\) 的平均個體內效果，帶著可觀的、由神經質解釋掉一部分的異質性；中介模型交出間接效果與它的共變數項；診斷確認殘差已被漂白。圖 23.12 是這項研究的一張總覽：間接效果的蒙地卡羅分配，以及主要效果對照它們的生成真值，每一項都被還原到接近真值。

註：(a) 個體內間接效果（壓力經反芻到情緒）的蒙地卡羅分配，附 95% 區間與真實的 \(a\,b\)。(b) 本研究的主要效果，估計值（藍色）對照它們的生成真值（紅色叉）；設計所瞄準的每一項效果都被還原到接近真值。完整腳本以 ch23_analysis_V01.R 隨書提供。

報告這樣一項研究的結果一節，義務不只是一張係數表，而表 23.6 把第 13 章的報告檢核表延伸到密集縱貫的細節上：中心化的陳述，說清楚哪些預測變項作了個人平均數中心化、個人平均數又是怎麼放進模型的；延宕的建構，說清楚延宕是怎麼形成的、有沒有跨過整夜的空檔；週期與趨勢的決定，說清楚建模了什麼、又把什麼當干擾項偏除；相依的處理，說清楚用的是 AR(1) 殘差還是延宕依變項、以及為什麼；還有軟體與版本，因為這些模型對估計式 (estimator) 與最佳化器 (optimizer) 很敏感。Gabriel et al. (2019) 與 Myin-Germeys and Kuppens (2021) 的開放手冊收集了這個領域正在成形的標準，而 Nezlek (2011) 與 Hoffman (2015) 則給了整本書篇幅的建模處理。常見陷阱、實務要點與軟體提示三個方塊，整理了反覆出現的危險、收斂上的成本，以及語法。

習題

1. 23.1 設定的文法。針對五個「在……的那些時刻」的問題，寫出多層次模型的公式與中心化計畫，然後以表 23.1 為對照，和同儕交換批評。
2. 23.2 反應性與調節。在 ema_stress 上配適隨機斜率的反應性模型，加上神經質的跨層次交互作用，把它探測出來，並寫出結果段落。
3. 23.3 週期實作。由正弦餘弦項還原日內的振幅與相位，加上隨機的三角函數斜率，並解讀其中兩個人配適出來的節律。
4. 23.4 趨勢滲漏。重現圖 23.6 的滲漏模擬，然後寫一份決策備忘錄，說明何時該去趨勢、何時該把趨勢建模。
5. 23.5 延宕的分岔。在 ema_stress 上同時配適一個 AR(1) 殘差模型與一個延宕依變項模型，用文字把兩者的估計標的對照清楚，指名每一個係數的意義。
6. 23.6 個體內中介。以蒙地卡羅區間估計 1-1-1 中介，報告 \(a\) 與 \(b\) 的共變數項，並陳述隨機效果上的告誡。