向量自我迴歸、多層次 VAR 與動態 SEM

25.1 一個人的系統：向量自我迴歸

向量自我迴歸把第 24 章單一序列的自我迴歸推廣到一組同時隨時間被測量的變項上。對一個在每個時點都被測了數個變項的人而言，把「相對於這個人自己平均數」的個體內偏離收成一個向量 \(\mathbf{y}_t\)，一階向量自我迴歸就是 \(\mathbf{y}_t = \boldsymbol{\Phi}\,\mathbf{y}_{t-1} + \boldsymbol{\varepsilon}_t\)，其中 \(\boldsymbol{\Phi}\) 是一個方陣 (square matrix) 形式的轉移矩陣 (transition matrix)，而 \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\) 是一個創新 (innovation) 向量，帶著同時 (contemporaneous) 共變數矩陣 \(\boldsymbol{\Sigma}\)。轉移矩陣就是我們關心的對象，而它的每一個元素都有清楚的心理學讀法。一個對角元素 \(\phi_{jj}\) 是變項 \(j\) 的延續效果 (carryover)，也就是前一章命名過的那個慣性，是這個變項自己被抬高的狀態 (state) 延續到下一個時點 (occasion) 的程度。一個非對角元素 \(\phi_{jk}\) 是一條交叉延宕，是變項 \(k\) 在某個時點被抬高、能在多大程度上預測下一個時點的變項 \(j\)，而且是在 \(j\) 自己的延續效果之上再多出來的那一部分。當兩個非對角元素都不為零時，這個系統就含有一個回饋 (feedback) 迴路，兩個變項各自把對方往時間的前方餵；而整個矩陣就是這個人動態組織 (dynamic organization) 的一份精簡陳述。圖 25.1 為一個壓力與負向情緒構成的雙變項系統標出這副解剖。

註：一個雙變項的一階向量自我迴歸。對角係數（藍色自我迴圈）是每個變項的慣性；非對角係數（橘色）是交叉延宕，也就是一個變項對另一個變項延宕一期的影響。兩條不為零的交叉延宕就構成一個回饋迴路。右邊的矩陣方程式是同一件事的代數寫法。

有兩項性質決定這樣一個系統是否行為良好。定態性，這項從第 24 章繼承下來的前提，現在取決於整個矩陣而不是單一個係數：當 \(\boldsymbol{\Phi}\) 的每一個特徵值都嚴格落在複數平面 (complex plane) 的單位圓 (unit circle) 之內時，這個歷程就是定態的，於是衝擊 (shock) 會衰減 (decay) 而不會累積 (accumulate)。圖 25.2 在複數平面上畫出一個穩定的與一個發散 (explosive) 的雙變項系統各自的特徵值，並把各自產生的序列放在旁邊，穩定的那條圍著它的平均數波動，發散的那條則無界地散開。特徵值同時也承載著動態：實數特徵值給出平滑的衰減，複數特徵值給出前一章在二階自我迴歸中遇過的阻尼振盪，而模數 (modulus) 最大的那一個決定了系統整體的持續性 (persistence)。第二項性質是創新的讀法。同時共變數矩陣 \(\boldsymbol{\Sigma}\) 捕捉的是延宕結構沒有預測到的部分，也就是在單一個時點一起抵達的那些衝擊；至於它的解讀，也就是同一時點的關聯究竟是一條快速的因果路徑還是一個沒被建模的共同原因，留到第 28 章的同時網絡再談；在這裡它是一個要被估計的共變數，不是一項要被提出的主張。

註：左：一個穩定（藍）與一個發散（橘）轉移矩陣的特徵值相對於單位圓的位置。右：兩個系統各自產生的序列。所有特徵值都在圓內就表示衝擊會衰減、系統是定態的；只要有一個在圓外，系統就發散。最大的特徵值模數概括了整體的持續性。

一個配適好的 VAR，它的動態可以靠脈衝反應函數 (impulse-response function) 變得生動，那個函數追蹤的是對其中一個變項的一單位衝擊如何在後續的時點中傳遍整個系統。因為這個歷程是線性的，在期程 (horizon) \(h\) 的反應就是把 \(\boldsymbol{\Phi}^{h}\) 作用在最初的衝擊上，而畫出來的曲線同時顯示了被衝擊變項的衰減與它對其他變項的外溢 (spillover)。圖 25.3 呈現 affect_ema 資料中一個人對壓力衝擊的反應：壓力由它的脈衝開始衰減，而負向情緒在一個時點之後升到一個延遲的高峰然後消退，這正是外溢在時間上的指紋。脈衝反應的讀法很有力，但它立基於一些必須說明的假設，也就是線性、定態，以及「哪一個衝擊是原生的」這件事的識別 (identification)；而且在心理學的序列長度下它的抽樣不確定性 (sampling uncertainty) 很大，所以最好把它定性地讀成一種傳播的形狀，而不是定量地讀成一項精確的預測。

註：在一個 affect_ema 的人身上，壓力（橘）與負向情緒（藍）在一單位壓力衝擊之後十個時點內的反應。壓力衰減；負向情緒在一個時點之後升到高峰再淡出。這些曲線是把 \(\boldsymbol{\Phi}^{h}\) 作用在衝擊上得到的，並且假設了線性與定態。

Granger 預測值得精確地陳述，因為它太常被過度解讀。說一個變項 \(k\) 對一個變項 \(j\) 有 Granger 因果 (Granger-cause)，指的是 \(k\) 的過去能在 \(j\) 自己的過去所提供的基礎之上改善對 \(j\) 的預測；這是一項關於預測內容的陳述，僅止於此。它不是機制 (mechanism) 的證據，因為一個被遺漏的、同時驅動兩者的個體內變項就能製造出那份預測上的改善；而且它依賴測量的時間間隔 (measurement interval)，因為一個運作得比取樣速率更快或更慢的歷程可以憑空出現或憑空消失。配適到一個 affect_ema 的人身上，延宕的壓力在負向情緒自己的延續效果之上改善了對它的預測，是一項顯著的 Granger 改善；而誠實的注解是：這個人的壓力帶著關於他下一刻情緒的預測訊息，不是壓力被證明造成了它。下面示範的 \(N=1\) 配適估出轉移矩陣、以特徵值檢查定態性，並跑了 Granger 檢定；表 25.1 則把參數與它們的心理學語意收在一起。

# 對一個人配適 N=1 的 VAR(1)：壓力與負向情緒
d1 <- subset(affect_ema, person == 59)
d1$cs <- d1$stress - mean(d1$stress, na.rm=TRUE)   # 個人平均數中心化
d1$cn <- d1$na     - mean(d1$na,     na.rm=TRUE)
d1$Lcs <- c(NA, head(d1$cs, -1)); d1$Lcn <- c(NA, head(d1$cn, -1))
fit_s <- lm(cs ~ 0 + Lcs + Lcn, d1)      # 壓力方程式
fit_n <- lm(cn ~ 0 + Lcs + Lcn, d1)      # 負向情緒方程式
Phi <- rbind(stress = coef(fit_s), na = coef(fit_n))   # 轉移矩陣
Mod(eigen(Phi)$values)                    # 都 < 1 即為定態（最大 0.53）
# Granger：延宕的壓力在 NA 自己的延宕之上還加得了預測力嗎？
anova(lm(cn ~ 0 + Lcn, d1), lm(cn ~ 0 + Lcn + Lcs, d1))   # p = 0.021

一個人的 VAR 之所以只是起點，是因為轉移矩陣並非人人相同。把同一個縮減式 (reduced-form) VAR 配適到一批 affect_ema 的人身上，再讀出其中一個係數，也就是延宕的壓力對下一刻負向情緒的效果，得到的就是圖 25.4：估計值在人與人之間散得很開，有些人反應強烈、有些人幾乎沒有，而每個人的估計值都帶著很寬的信賴區間 (confidence interval)，因為一個人只提供得出幾十次可用的轉移。散布就是現象，與第 23 章的隨機斜率是同一個道理；而區間很寬則是問題，與第 24 章短序列的限制也是同一個道理。兩者都指向同一步：把逐人的矩陣建模成隨機效果、跨人借力，也就是多層次 VAR。

註：十二個 affect_ema 的人，每個人估出來的「延宕壓力對負向情緒」效果（藍點）與它的 95% 信賴區間、那個人的真值（紅色菱形），以及樣本平均（綠線）。動態因人而異，而每一個單人估計值都不精確，這兩件事正是多層次彙整的動機。

25.2 多層次 VAR

多層次 VAR (multilevel VAR) 把每個人的轉移矩陣當成從「轉移矩陣的母體 (population)」中得到的一次抽樣。個體內的模型就是上一節的向量自我迴歸；多層次的那一層則讓每個人的自我迴歸 (autoregression) 與交叉延宕係數成為隨機效果，固定效果 (fixed effect) 估的是平均的動態，隨機效果變異數估的是它們的異質性 (heterogeneity)，正是第 23 章隨機斜率的邏輯，現在被用到延宕的預測變項上、而且同時用在好幾條方程式上。估計會產出三個矩陣，而把它們分清楚至關重要。時間矩陣 (temporal matrix) 是固定效果的轉移矩陣，也就是平均的延宕動態。同時矩陣 (contemporaneous matrix) 是個體內創新的偏相關 (partial correlation) 結構，也就是把延宕結構移除之後還留著的同一時點關聯。個體間矩陣 (between-person matrix) 是各人平均數的共變數，也就是「在某一個變項上平均較高的人，在其他變項上傾向落在哪裡」。這就是第 28 章會解讀成圖 (graph) 的三個網絡層；在這裡它們是要被估計的統計物件，而且因為 affect_ema 本來就是由一個已知的多層次 VAR 生成的，它們還可以拿去對照真相。

那項對照是本章最令人滿意的展示。圖 25.5 把估出來的時間、同時與個體間三個矩陣放在生成資料所用的數值旁邊，每一格上排是多層次估計值、底下是真值。時間矩陣把種下去的結構還原了出來：對角線的慣性接近它們的生成值，壓力延宕外溢到負向情緒的那一格是 \(0.24\)、真值也是 \(0.24\)，而真值為零的那些格子估出來也接近零。對角線的估計值略低於它們的真值，那正是基礎概念方塊推導出來的樣本平均數偏誤看得見的指紋：平均的延續效果被還原成 \(0.31\)，而真值是 \(0.35\)。同時矩陣把壓力與情緒之間為正的耦合、以及負向情緒與正向情緒之間為負的耦合都還原了出來；個體間矩陣則還原了各人平均數之間的相關。一個能從有雜訊 (noisy)、有遺漏、有界 (bounded) 的資料中重現一個已知的轉移矩陣、一個已知的創新結構與一個已知的個體間結構的估計式，才是讀者在真相未知的資料上信得過的估計式。

註：把一個多層次 VAR 配適到 affect_ema 之後，時間、同時與個體間三個矩陣估出來的（以及括號內生成資料所用的）元素；這份資料的生成歷程本身就是一個已知的多層次 VAR。填色編碼的是估計值。估計式把三個矩陣都還原了出來；時間矩陣對角線的元素略低，那是基礎概念方塊裡那個樣本平均數偏誤。

通往這些估計值有兩條路，而兩者的對比正是通往 DSEM 的概念階梯。透明的那條路是兩階段：先為每個人各配適一個 VAR，再用平均或後設分析 (meta-analysis) 把逐人的係數彙整起來。它好講解也好計算，但在序列短時是有偏誤的，因為每個人的估計值都帶著上一節那個小樣本偏誤，而後設分析那一步又把那些有雜訊的估計值當成精確的來對待。比較好的那條路是聯合估計，把所有人放進同一個多層次模型一起配適，於是每個人的動態都是在「以母體為先驗 (prior)」的情況下估出來的，這會把有雜訊的逐人估計值往平均收縮，並改善它們的準確度。圖 25.6 呈現這份回報：未經處理的逐人交叉延宕在它們的真值周圍散得很開，而收縮之後的多層次估計值更緊地聚在真值線附近，均方根誤差 (root-mean-square error, RMSE) 由 \(0.142\) 降到 \(0.088\)，這是完全靠跨人借力 (borrowing strength) 買到的一段可觀改善。收縮後的估計值明顯比未收縮的平坦，而這是刻意的，因為當一個人自己的資料薄到釘不住他的動態時，誠實的估計值就該被拉向「母體說什麼比較可能」的方向。多層次 VAR 的套件生態系是逐節點 (nodewise) 配適這個模型的，也就是每個變項跑一條多層次迴歸，而下面的程式面板勾勒的就是這套流程。

註：逐人的交叉延宕對照它們的真值：未經處理的逐人（兩階段）估計值為橘色，收縮後的多層次估計值為藍色，虛線標示完美還原。收縮把有雜訊的逐人估計值拉向母體，並把均方根誤差由 \(0.142\) 降到 \(0.088\)。

# 多層次 VAR，逐節點作（每個變項一條多層次迴歸）。
# 先把每個變項與它的延宕作個人平均數中心化（欄名 c_*、Lc_*）。
library(lme4)
m_na <- lmer(c_na ~ Lc_stress + Lc_na + Lc_pa +
                    (1 + Lc_na + Lc_stress | person), data = d)
fixef(m_na)                       # 時間矩陣的一列（平均動態）
coef(m_na)$person[, "Lc_stress"]  # 逐人的交叉延宕（收縮後的 BLUP）
# 同時矩陣：逐節點殘差的偏相關
# 個體間矩陣：各人平均數的相關

25.3 動態結構方程模型

動態結構方程模型是把多層次 VAR 重建在潛在變項 (latent variable) 基礎上的產物，而它的定義性動作是一次分解。每一個觀察分數 (observed score) 被寫成一個個體間部分與一個個體內部分之和，\(y_{it} = \mu_i + \tilde{y}_{it}\)，其中 \(\mu_i\) 是這個人的潛在平均數，是個體間層次的一個隨機效果，而 \(\tilde{y}_{it}\) 則是承載序列動態 (serial dynamics) 的潛在個體內偏離 (deviation)。自我迴歸與交叉延宕作用在潛在的 \(\tilde{y}\) 上，而不是作用在「觀察分數減去一個樣本平均」上，這正是基礎概念方塊那份偏誤被移除的原因：因為 \(\mu_i\) 是一個借用了跨人訊息估出來的參數，而不是一個個體內的樣本平均數，偏離就不會機械性地與自己的過去相關，動態也就在沒有那股向下拉力的情況下被還原出來。圖 25.7 畫出這個架構，個體間層次供給每個人的潛在平均數與他因人而異的動態參數，個體內層次則在潛在偏離上跑那個向量自我迴歸。

註：每一個觀察分數 \(y_{it}\) 都是一個潛在個人平均數 \(\mu_i\)（個體間層次）與一個承載自我迴歸與交叉延宕動態的潛在個體內偏離 \(\tilde{y}_{it}\)（個體內層次）之和。動態參數 \(\phi_i,\beta_i\) 與對數創新變異數本身也是隨機效果，共有一個個體間的聯合分配。以 \(\mu_i\) 而非以樣本平均數作中心化，正是移除小樣本偏誤的那一步。

潛在中心化 (latent centering) 的回報在圖 25.8 中被量化出來，那是本章方法學上的核心展示。一個已知係數為 \(0.40\) 的兩層次自我迴歸，在逐漸加長的序列上以三種方式估計：減去每個人觀察到的平均數；減去這個人真正的平均數，那是一個沒有任何分析者拿得到的神諭 (oracle)；以及把平均數當成一個階層貝氏模型中的潛在參數，而那正是 DSEM 所做的事。樣本平均數中心化在短序列上向下偏誤得很嚴重，在十個時點時還原成 \(0.23\)、二十個時點時 \(0.32\)，而且只有隨著序列加長才慢慢爬向真值。神諭中心化在每一種長度下都不偏。潛在中心化緊跟著神諭，即使在二十個時點時也移除了幾乎全部的偏誤，只有在十個時點這個極端上有一點往上的擺動，因為在那裡個體間與個體內兩部分幾乎分不開。教訓很直接：在心理學實際收得到的序列長度下，樣本平均數中心化低估了每一條自我迴歸與每一條交叉延宕，而潛在分解就是那個實用的修法。

註：一個真值為 \(0.40\) 的自我迴歸，分別以樣本平均數中心化（橘）、神諭的真平均數中心化（綠）與潛在的階層中心化（藍）估計，對照序列長度。樣本平均數中心化在短序列上偏向零；潛在中心化緊跟著神諭。兩者的落差就是 DSEM 移除掉的那份偏誤。

這個架構還買到三項進一步的能力。動態參數是隨機的，所以 DSEM 估出來的不是單一個轉移矩陣而是一整個轉移矩陣的分配，而且它問得出「一個人的動態會不會與他的平均水準共變」，例如平均壓力較高的人，是不是也把壓力更強地傳遞到情緒上。圖 25.9 呈現逐人交叉延宕在樣本 (sample) 中的分配，以及它與平均壓力水準的關係，而在這份資料上那個關係基本上是零，這本身也是一項發現：外溢的強度與平均水準是兩項分開的個別差異。創新變異數也被允許是隨機的，而且是在對數尺度上，於是人與人的差別不只在動態，還在他們時時刻刻的波動性 (volatility)，那正是第 16 章位置尺度 (location-scale) 的想法在動態模型中的再生。圖 25.10 呈現逐人創新標準差的散布，而那份波動性是一個固定變異數的模型會錯誤地假設為常數的東西。至於測量那一層也可以做成潛在的：一個每個構念配上多個指標的 DSEM，估的是一個潛在因素 (latent factor) 的動態，而不是單一個會犯錯的題目 (item) 的動態，而這件事之所以要緊，是因為測量誤差會把自我迴歸的估計值往零的方向衰減。圖 25.11 示範那份衰減，一個 \(0.50\) 的自我迴歸在信度 (reliability) \(0.8\) 時被還原成 \(0.38\)、在信度 \(0.5\) 時被還原成 \(0.23\)；而多指標 (multiple-indicator) 的 DSEM 就是那個修補，等於讓第 24 章的 P 技術在更大的規模上翻身，而且配上了它當初缺的那套序列結構。

註：左：120 個人身上逐人交叉延宕（壓力到負向情緒）的分配，並標出平均。右：那些交叉延宕對照每個人的平均壓力水準；接近零的相關說明在這份資料上外溢強度與平均水準是兩項不同的個別差異。DSEM 直接把這個分配建模。

註：逐人創新標準差的分配，也就是時時刻刻那些不可預測的衝擊有多大。DSEM 讓它以一個隨機的對數創新變異數在人與人之間變動，那是第 16 章的位置尺度模型被帶進動態的場景。

註：隨著單一個會犯錯的指標其信度下降，估出來的自我迴歸如何變化，真值 \(0.50\) 已標出。不可靠的測量會把慣性的估計值往零偏誤；一個把構念建模成潛在變項的多指標 DSEM 修補得回這份衰減。

估計是貝氏的，而且理由充分：潛在分解、隨機的動態與隨機的變異數合起來，讓概似函數 (likelihood function) 對最大概似 (maximum likelihood) 方法而言變得困難，而馬可夫鏈蒙地卡羅 (Markov chain Monte Carlo, MCMC) 自然地處理得了潛在平均數與隨機效果。實務上這個領域的標準是 Mplus，它的 DSEM 實作讀進密集縱貫 (intensive longitudinal) 資料、把它分解成潛在的個體內與個體間兩部分、在參數上放先驗，並以第 17 章的貝氏語彙回傳後驗 (posterior) 摘要與收斂診斷 (convergence diagnostics)，也就是用潛在尺度縮減因子 (potential scale reduction factor) 取代那裡命名的 \(\hat{R}\)，但那是同一個量。下面的輸入檔設定的是帶隨機交叉延宕的「壓力到情緒」外溢模型；&1 這個記法形成延宕，垂直線命名一個隨機斜率 (random slope)，而 TINTERVAL 選項把提示 (beep) 之間不等的間距離散化 (discretize)，那是通往第 27 章連續時間處理的橋。表 25.3 把這些設定翻譯成它們所編碼的決定。

! Mplus 兩層次 DSEM：隨機 AR 與隨機的壓力->NA 交叉延宕
VARIABLE:  NAMES = person day beep stress na pa;
           USEVARIABLES = stress na;
           CLUSTER = person;             ! 人就是群集
           LAGGED = stress(1) na(1);     ! 形成延宕一期的預測變項
           MISSING = ALL(-999);
ANALYSIS:  TYPE = TWOLEVEL RANDOM;
           ESTIMATOR = BAYES;            ! MCMC；ML 在這裡很吃力
           PROCESSORS = 2;
           BITERATIONS = (2000);         ! 下限；一直加到 PSR 穩定
MODEL:
  
    phi  | na     ON na&1;               ! 負向情緒的隨機 AR
    beta | na     ON stress&1;           ! 隨機交叉延宕：壓力 -> NA
    phis | stress ON stress&1;           ! 壓力的隨機 AR
  
    na WITH stress;                      ! 個體間平均數的共變
    phi beta phis WITH na stress;        ! 動態會與水準共變嗎？
OUTPUT:    TINTERVAL STANDARDIZED;

25.4 偏誤的地景

前面那套做法的價值，在它的失敗模式被聚在同一個地方時最清楚，因為每一項都是一個特定的偏誤配上一個特定的補救，而一個熟悉這片地景 (landscape) 的實務工作者，在收到第一筆資料之前就預期得到估計值會往哪個方向錯。本章出現過四項偏誤，每一項都以模擬對照一個已知的真相示範過。樣本平均數中心化在短序列上把自我迴歸往下偏誤，在十個時點時將近一半、在四十個時點時也還有十分之一，補救是潛在中心化。測量誤差按不可靠的程度把自我迴歸往零衰減，補救是一個潛在測量模型 (latent measurement model)。兩階段估計會把動態的表面異質性灌大，因為它把有雜訊的逐人估計值當成精確的，補救是帶收縮的聯合估計 (joint estimation)。而間隔粗化，也就是把不等距的時點當成等距來處理，會讓動態產生偏誤，因為實際長度不同的各次轉移被彙整進同一個係數裡。圖 25.12 示範最後這一項：一個真實的一步 (one-step) 自我迴歸為 \(0.67\) 的連續時間歷程，被一個天真的等間隔配適估成 \(0.56\)，向下偏誤了十分之一，而一旦尊重了間隔就還原到 \(0.66\)，那正是第 27 章的連續時間修正。表 25.4 陳述每一項偏誤、它大小的驅動因素與它的補救，而表 25.5 則為本章這些模型被要求回答的問題，給出誠實的序列長度與樣本數指引。

註：左：一個以不等間隔取樣的連續時間歷程，長的（過夜）間隔已標出。右：真實的一步自我迴歸（\(0.67\)）、天真的等間隔估計值（\(0.56\)），以及連續時間還原出來的值（\(0.66\)）。忽略間距會低估自我迴歸；第 27 章直接把它建模。

25.5 選擇你的動態工具

本章的模型不是彼此的對手，而是一個分級的家族，而在它們之間的選擇由問題、資料，以及對這套做法的容忍度決定。圖 25.13 把這個決定畫成一張流程圖，而它的邏輯值得用散文說一遍。當關心的是一個被密集研究、序列又長的個體時，單人的 VAR 就是對的、也是足夠的工具，它按設計就是個殊取向 (idiographic) 的。當關心的是一個樣本，目標是平均的動態與它們的異質性、要估得快而且要以網絡 (network) 呈現時，多層次 VAR 是那匹主力。當問題要的是只有潛在架構才給得起的東西，也就是短序列上不偏的中心化、與個人平均數共變的動態、隨機的創新變異數、構念的潛在測量，或有原則的遺漏處理時，DSEM 就值得它的代價。當觀察之間的間隔變動大到「當成相等」會扭曲動態時，第 27 章的連續時間模型接手。而當動態的結構本身就是異質的，也就是不同的人擁有的是性質不同 (qualitatively different) 的系統、而不是同一組係數的不同數值時，第 28 章的群體搜尋 (group search) 方法處理的是這裡任何一個模型都處理不了的問題。表 25.6 以一張動態多層次分析的報告檢核表為本章收尾。

註：這些模型構成一個分級的家族。一個人加上長序列，用 VAR；一個樣本的平均動態，用多層次 VAR；潛在中心化、隨機動態、潛在測量或遺漏處理，用 DSEM；間隔嚴重不等，用連續時間（第 27 章）；人與人的結構性質不同，用群體搜尋（第 28 章）。

寫出一份動態多層次分析，是把前幾章的報告紀律延伸到這些模型特有的決定上。報告應該說明配適的是哪一個模型，VAR、多層次 VAR 還是 DSEM，以及用了哪一種中心化，因為潛在中心化與樣本平均數中心化給出的偏誤不同。它應該給出估出來的動態與它們的心理學讀法，也就是把平均的轉移矩陣讀成慣性與外溢，把異質性讀成隨機效果變異數 (random-effect variance)，並附上不確定性。對 DSEM 而言，它應該報告估計式 (estimator)、先驗、疊代 (iteration) 次數、收斂診斷與間隔的處理，並且描述跑過哪些敏感度分析。全篇都應該讓因果的語言與設計相稱，把交叉延宕報告成個體內的預測性關聯 (predictive association) 而不是因果效果 (causal effect)；也應該承認逐人估計值的收縮，以及序列長度對「什麼識別得出來」的限制。一段示範的段落是這樣的：「本研究以 Mplus 對負向情緒與當下壓力配適了一個兩層次的 DSEM（120 人，每人最多 84 個時點），使用貝氏估計式、潛在的個人平均數中心化，以及隨機的自我迴歸與交叉延宕係數。由壓力到下一刻負向情緒的平均個體內交叉延宕為 0.24（95% 可信區間 (credible interval) [.., ..]）；它在人與人之間變動（隨機效果標準差 ..），而且與平均壓力水準沒有明顯的共變。收斂情況良好（尺度縮減因子 \(<1.05\)；軌跡圖混合良好），而延宕一期的結論在延宕二期的設定下仍然成立。交叉延宕被解讀為個體內的預測性關聯，不是因果效果。」