非線性動力學：體制轉換、微分方程與早期預警訊號

32.1 當線性是錯的理論時

非線性是一項實質主張，不是一項裝飾，而它必須被實質地辯護。本書的預設一直是線性、單一均衡的模型，而那個預設常常是對的，一方面因為許多歷程在均衡附近近似線性，另一方面因為在非線性的推衍只是趕流行的時候，線性的近似 (approximation) 才是有原則的那一個。要為非線性模型立案，得等到現象展現出某個線性模型產生不出來的指紋 (signature)，而圖 32.1 收集了四個這樣的指紋。一次體制切換展現的是水準 (level) 或動態上的一次突變，而平滑的趨勢會把它說錯。一段持續的週期 (cycle) 展現的是週期性 (periodicity)，而一個均值回歸 (mean-reverting) 的模型會把它當成雜訊。一個遲滯迴圈 (hysteresis loop) 展現的是「狀態取決於某個驅力變項 (forcing variable) 的歷史」，因而同一個輸入在上行與下行時給出不同的輸出，那是任何靜態的輸入輸出函數都抓不住的。而一個雙峰的邊際分配 (bimodal marginal distribution) 展現的是兩個偏好狀態，而線性高斯 (linear-Gaussian) 模型假定只有一個。這些指紋是走向非線性的經驗依據，而它們的不存在則是留在線性的依據。

註：(a) 一次體制切換：水準上的一次突變，而平滑的趨勢會把它說錯。(b) 一段持續的週期：週期性，而均值回歸的模型會把它當成雜訊。(c) 一個遲滯迴圈：狀態取決於驅力的歷史，因此上行與下行的路徑不同，那是任何靜態函數都抓不住的。(d) 一個雙峰的邊際分配：兩個偏好狀態，而線性高斯模型假定只有一個。每一個指紋都是非線性模型的實質依據；它們的不存在則是留在線性的依據。

三種形式論處理這些現象，而圖 32.2 把它們畫成一張地圖。離散體制，也就是系統佔據少數幾個各有其動態的狀態之一，是第 32.2 節那些體制轉換模型所處理的範圍。連續的非線性流動，也就是一股回復力沿一條彎曲的路徑把系統拉回均衡，是第 32.3 節那些微分方程模型所處理的範圍。替代穩定狀態之間的轉變，也就是一個緩慢變化的條件把系統帶過臨界點，是第 32.4 節臨界轉變理論所處理的範圍。前面幾章的線性工具坐落在這幅較大的圖景之內，是那些在非線性指紋都不存在時就夠用的、局部的、近均衡的近似。表 32.1 是這份定位，把每一個現象對映到它的形式論與本章的工具。

註：非線性現象分成三個家族，每一個各有自己的做法：離散體制由狀態轉換模型處理，連續的非線性流動由微分方程處理，替代穩定狀態之間的轉變由臨界轉變理論處理。遞迴量化分析（第 32.5 節）是一種橫跨三者都適用的描述性鏡頭。本章那些線性的前輩是近均衡的特例。

32.2 體制轉換模型

一個體制轉換模型假定系統佔據少數幾個隱藏狀態 (hidden state) 之一，每個狀態各有自己的分配或動態，而它依一個馬可夫轉移結構 (Markov transition structure) 在它們之間移動。最簡單的版本是隱藏馬可夫模型，其中每個狀態各有自己的發射分配 (emission distribution)，而觀察值在給定狀態之下條件獨立 (conditionally independent)；它是第 22 章潛在轉移模型 (latent transition model) 在測量上比較簡單的親戚，而它以同一套前向後向 (forward-backward) 期望最大化 (expectation-maximization) 的邏輯來估計。把它用在 n1_mood 序列上，也就是一個人兩百天的每日效價 (valence)、其中植入了一段「由穩定體制經過一段過渡走到憂鬱體制」的進程，一個三狀態的隱藏馬可夫模型還原出那個結構。它的貝氏訊息準則 (Bayesian information criterion) 偏好三個狀態勝過兩個（\(1451\) 對 \(1504\)），它以八成五的正確率解碼 (decode) 出植入的體制，而它的狀態平均數 \(28.7\)、\(53.6\) 與 \(67.4\) 也追得上植入的體制平均數；憂鬱狀態同時帶著最大的發射標準差 (standard deviation)，\(12.9\) 對穩定狀態的 \(4.3\)，那份上升的變異性 (variability) 正是第 32.4 節將要讀成警訊的東西。圖 32.3 畫出那份解碼與它的後驗狀態機率 (posterior state probability)，而這裡的呈現慣例很要緊：交付出去的東西不是一份「以假的確定性斷言每一天處於哪個狀態」的硬性著色，而是每個時點上每個狀態的後驗機率，它同時顯示了被自信分類的那些段落與真正曖昧的那些轉變。

註：子圖 (a)：n1_mood 的效價序列，依三狀態隱藏馬可夫模型最可能的解碼狀態著色，它以八成五的正確率還原出植入的穩定、過渡與憂鬱體制。子圖 (b)：每一天每個狀態的後驗機率，也就是誠實面對不確定性的那份交付物。有把握的段落顯示單一狀態的機率接近一；真正的轉變顯示混合的機率。改報硬性的狀態標籤，等於斷言一份資料並不支持的確定性。英文版子圖 (a) 的副標印的是 \(86\%\)，而同章的圖說與正文都寫八成五；實際值是 \(85.5\%\)，中文版改印 \(85.5\%\) 以免圖文相牴觸。見 EN-32-04。

比較豐富的那個版本讓動態、而不只是平均數，跨體制而不同。一個馬可夫轉換自我迴歸給每個體制自己的自我迴歸持續性 (autoregressive persistence) 與創新變異數 (innovation variance)，把一個在臨床上很有共鳴的想法形式化：一個人的心情在憂鬱體制裡不只是比較低，而且是被不一樣地調節的，比較有慣性 (inertia)，也比較波動。解碼 n1_mood 的體制並估計體制內的動態，證實了這一點：憂鬱體制顯示出 \(0.75\) 的自我迴歸持續性與 \(8.97\) 的創新標準差，對比穩定體制的 \(0.29\) 與 \(4.14\)，那是一份在動態本身而不只在水準上看得見的失調 (dysregulation)。圖 32.4 呈現這個對比。同時配適體制與體制特定動態的那個聯合估計式 (joint estimator)，實作在 dynr 套件裡，是黃金標準，而且與第 26 章共用同一套狀態空間 (state-space) 的做法；這裡用的「先解碼再估計」兩步驟做法是它透明的近似版本。表 32.2 列出一個體制轉換狀態空間模型的界定解剖 (specification anatomy)，包括依共變項而定的轉移機率 (covariate-dependent transition probability)，也就是「一個壓力源提高切換進失調體制的機率」，那正是讓這個架構成為「什麼促成一次轉變」的真正模型、而不只是「一次轉變發生了」的描述的東西。

註：在 n1_mood 序列每一個解碼出的體制之內估計的自我迴歸持續性與創新標準差。憂鬱（失調）體制的持續性（\(0.75\) 對 \(0.29\)）與創新（\(8.97\) 對 \(4.14\)）都高於穩定（調節良好）的體制，因此各體制的差異在動態、而不只在平均水準上。這就是一份只講平均數的描述會漏掉的、臨床上有實質意義的內容。

第 22 章的列舉紀律原封不動地移轉過來，而且是本節的知識論拱心石。一個兩狀態模型會配適得了許多根本沒有真體制的序列，因為來自單一體制的厚尾 (heavy-tailed) 或異質變異 (heteroscedastic) 雜訊模仿得出切換的外觀。圖 32.5 展示這個陷阱：一條真的有兩個體制的序列與一條單一體制但雜訊厚尾的序列，兩者都被一個兩狀態模型配適，而光看配適無法分辨它們。那些保險措施就是第 22 章點名過的那幾項：誠實報告後驗體制機率而不是把它硬化成標籤、解碼出的體制與外部共變項的一致性 (coherence)，以及複製 (replication)。一個被還原出來的體制，就像一個被還原出來的潛在類別 (latent class)，是一項關於結構的假設，由「它預測得了什麼」與「它會不會重現」來驗證，而絕不是一項由找到它的那個模型所認證的發現。

註：兩狀態模型配適得同樣好的兩條序列：一個真的有兩個體制的歷程（上），與一個單一體制、雜訊厚尾的歷程（下）。光看模型配適無法分辨它們，因為來自一個體制的厚尾模仿得出兩個體制之間的切換。保險措施在外部：解碼出的體制與共變項的一致性、誠實的後驗不確定性，以及複製，也就是第 22 章的列舉紀律。

32.3 微分方程與振盪子

在調節就是理論的地方，微分方程是它天然的語言，因為一股回復力就是一個關於導數 (derivative) 的陳述：一個狀態的變化率取決於它離設定點 (set point) 多遠。標準的形式化是阻尼線性振盪子，\(\ddot{x} = \eta\,x + \zeta\,\dot{x}\)，其中狀態的加速度透過一個頻率參數 \(\eta\) 取決於它的位移 (displacement)，並透過一個阻尼參數 \(\zeta\) 取決於它的速度 (velocity)。心理學的讀法是把「情緒即恆溫器 (thermostat)」這個隱喻量化 (Chow et al., 2005)：一個負的 \(\eta\) 產生振盪，也就是一個被拉回設定點的系統那種衝過頭再回來，而一個負的 \(\zeta\) 對那段振盪施加阻尼，使振幅 (amplitude) 衰減、系統安定下來。頻率標示一個人繞著自己的均衡循環得多快，阻尼標示每一次偏離被調節掉得多徹底，而這些參數上的個別差異 (individual difference) 正是實質的報酬：一個阻尼不佳的情緒系統在被擾動之後會振盪比較久，那是情緒失調 (emotional dysregulation) 一個說得通的操作化 (operationalization)。圖 32.6 畫出參數區與它們的軌跡。

註：阻尼線性振盪子 \(\ddot{x}=\eta x + \zeta\dot{x}\) 在四個參數區之下的軌跡。欠阻尼 (underdamped) 而衰減慢：看得見的持續振盪。阻尼：很快安定下來的振盪。反阻尼 (anti-damped，\(\zeta>0\))：振幅放大的振盪，一個失控的系統。\(\eta\) 接近零：回到均衡而看不出任何振盪，與單純的均值回歸難以分辨；嚴格說，圖上這一格的參數（\(\eta=-0.02\)、\(\zeta=-0.15\)）判別式仍為正、在數學上並非過阻尼 (overdamped)，只是隱含週期遠長於衰減時間，因此在可見的時窗內看起來就是過阻尼的極限情形。英文版此處逕稱過阻尼，中文版改述為 \(\eta\) 接近零。見 EN-32-05。調節就是振盪的衰減；失調就是它的持續或放大。

估計振盪子需要從離散而有雜訊的資料估計導數，而廣義局部線性近似 (GLLA) 的做法是把序列嵌入 (embed)，也就是形成 \(D\) 個連續觀察值的重疊窗，再套用一個固定的線性算子，對局部配一個二階多項式，以還原每一點上的水準、速度與加速度 (Boker & Nesselroade, 2002)。把估計出的加速度對估計出的水準與速度作迴歸，就得到 \(\eta\) 與 \(\zeta\)。在一個已知的阻尼振盪子上（\(\eta = -0.25\)、\(\zeta = -0.06\)、週期 \(12.6\)），GLLA 在嵌入維度為四時還原得不錯（\(\hat\eta = -0.26\)、\(\hat\zeta = -0.05\)、週期 \(12.3\)）。但估計值取決於嵌入維度，而這份依賴正是這個方法的核心脆弱之處，要拿出來教，不要藏起來。圖 32.7 就是那份告白：當嵌入維度由三變到九，頻率的估計值由 \(-0.32\) 漂移到 \(-0.19\)，把真值夾在中間，卻沒有把它釘住。一份「報出單一組 \((\eta, \zeta)\) 而不呈現它對嵌入選擇之敏感度」的振盪子分析，正是在隱瞞關於它最重要的那件事，而誠實的報告是那條敏感度曲線，不是那個點估計。

註：對一條參數已知的序列（虛線），廣義局部線性近似對振盪子頻率 (\(\eta\)) 與阻尼 (\(\zeta\)) 的估計值隨嵌入維度變化的情形。頻率的估計值隨嵌入選擇系統性地漂移，把真值夾住而不是釘住；阻尼的估計值比較穩定，但也不是固定的。嵌入維度是一個研究者的自由度 (researcher degree of freedom)，而報告它上面的敏感度、不是一個點估計，才是誠實的做法。

在真實資料上，這份脆弱更深，而那份報酬也必須以相應的謹慎來陳述。把振盪子配適到 affect_ema 資料中每個人的正向情緒 (positive affect) 序列上，每一個人的估計值都有負的頻率、也都滿足欠阻尼的條件，那看起來像是在說每個人都在振盪。其實不然。一個負的頻率估計只表示序列是均值回歸的，而一個有雜訊的均值回歸歷程被嵌入並微分之後，不論它裡面有沒有真的週期，對 GLLA 來說看起來都是局部振盪的。換句話說，振盪子模型幾乎什麼都配適得了，而這正是為什麼一項來自生態瞬時評估 (ecological momentary assessment) 的振盪主張不能只靠配適來撐：它需要原始序列上看得見的週期、一個短到在研究期間內觀察得到的隱含週期，以及一份撐得過嵌入選擇的敏感度分析。表 32.3 列出參數、它們的心理學語意與它們的估計敏感度，而它也延續了與第 27 章的連貫：在那裡，同樣的振盪動態以一個連續時間 (continuous-time) 模型的複數特徵值 (complex eigenvalue) 出現，是同一個現象的第二種形式論。

32.4 臨界轉變與早期預警訊號

最有野心的非線性假設是：一次突然的臨床變化，例如一次憂鬱發作的發生，是一次臨界轉變，也就是當一個緩慢變化的條件把系統帶過一個摺疊分岔 (fold bifurcation) 到達另一個穩定狀態時，它原本所在的均衡失去了穩定性。這套理論作出一個引人注目的預測。當系統接近臨界點，它所佔據的均衡變得比較不穩定，它的回復力變弱，而它從擾動中復原得越來越遲緩，這個現象叫做臨界減速 (critical slowing down)。遲緩的復原有可測量的統計指紋：系統的延宕一期自我相關 (lag-one autocorrelation) 朝一上升，因為復原慢的時候每一個值都與前一個值更像，而它的變異數也上升，因為擾動被壓抑得比較少。這些就是早期預警訊號 (early-warning signal)，而它們的承諾，也就是「由例行監測資料算出一份對臨床轉變的預告警報」，大到值得本書最仔細的評價。基礎方塊勾勒出減速為何隱含自我相關上升，而圖 32.8 畫出這套理論底下那幅位能地景 (potential landscape) 的圖像。

註：把系統看成一顆在位能地景上的球。離轉變還遠時（左），球坐在一個深井裡，被輕推之後很快回來。當一個控制參數漂移（中），球所在的那個井變淺，因此球回來得遲緩，那就是臨界減速。在分岔處（右），那個井消失，球滾向另一個狀態，那就是翻覆。早期預警訊號那些上升的自我相關與變異數，就是井變淺在統計上的影子。

計算與它的推論才是紀律決定成敗的地方。早期預警指標是在一條去趨勢 (detrend) 過的序列上以移動窗 (rolling window) 計算的，而那些選擇，也就是窗寬與去趨勢的方法，都是研究者的自由度，它們的影響必須被檢查。一個指標的趨勢以它與時間的肯德爾等級相關 (Kendall rank correlation) 來摘述，而關鍵在於，那份趨勢必須對照一個「可能純由機會產生它」的虛無 (null) 來檢定，因為上升的自我相關可以出現在任何一條有持續性的序列裡，而不需要有任何逼近中的轉變。那個虛無由替代序列建起來，它們共用觀察到的自我相關、卻不含任何朝向轉變的趨勢；把觀察到的肯德爾趨勢拿去和這些替代序列的趨勢分配比較，就得到一個誠實的 \(p\) 值。圖 32.9 在 bistable_sim 序列上驗證整條管線，那條序列由一個真的摺疊分岔生成，其中一個控制參數緩慢地漂移越過臨界點。指標如理論所預測地上升，自我相關的趨勢（\(\tau = 0.51\)）與變異數的趨勢（\(\tau = 0.47\)）對照替代序列虛無都顯著（分別是 \(p < 0.001\) 與 \(p = 0.01\)），而預警領先臨界點很長一段。這就是這個方法照廣告運作的樣子，在來自一次已知轉變的乾淨資料上。

註：子圖 (a)：由一個真的摺疊分岔生成的 bistable_sim 序列，先待在下方的狀態，其間一個控制參數漂移越過分岔點（綠；英文版為橘，中文版把橘保留給體制的著色），隨後翻覆到上方的狀態（紅）。子圖 (b)：移動窗的延宕一期自我相關與標準差都在翻覆之前上升，如臨界減速理論所預測；兩個趨勢對照一個自我相關相符的替代序列虛無都顯著，而預警領先臨界點很長一段。在來自一次已知轉變的乾淨資料上，這個方法是有效的。英文版把兩個指標畫在同一個 \(y\) 軸上，而它們的尺度差一到兩個數量級，被壓扁的那一條在圖上幾乎是一條直線；中文版把它們拆成各自的分面與各自的 \(y\) 軸。見 EN-32-02。

令人清醒的那份示範隨後就到，因為真實資料並不乾淨，而單一個案並不是母體。圖 32.10 把同一條管線用在 n1_mood 序列上，取到憂鬱體制發作之前為止。結論是分歧的：變異數顯著上升（\(\tau = 0.71\)、\(p = 0.008\)），但自我相關，也就是理論上比較核心的那個指標，沒有（\(\tau = 0.44\)、\(p = 0.11\)）。而比較深的那份警戒不是關於這條序列的特定結果，而是關於它的身分：一個單一的、事後的個案。一次事後才被觀察到的轉變，發生在一個人身上，而且分析上的選擇是在已知轉變落在何處的情況下作出的，這是一份對「預告式警報」而言最弱的證據，不管那幅圖看起來多乾淨，因為轉變的基本率 (base rate) 很低、分析上的選擇很多，而一個在某一次轉變之前出現的訊號，並沒有告訴我們它在那許多次「沒有轉變」之前會發出多少假警報 (false alarm)。表 32.4 定義這些指標與它們的失效模式，而表 32.5 消化這份經驗證據的現狀。文獻慶祝過一些單一個案的成功 (van de Leemput et al., 2014; Wichers et al., 2016)，也遇到過針對基本率、窗寬選擇與預告表現的尖銳批評 (Bos & De Jonge, 2014)，而這個領域在預告與複製上的紀錄，至截稿為止，確實是分歧的。本書的判斷因此是有界的：早期預警訊號是一個有前景的「產生假設用的監測」基礎，不是一個經過驗證的臨床警報，而一項「它們預先察覺得到某個個體的轉變」的主張，必須對基本率與分析者自由度的反駁提出辯護，而不只是用一個動人的個案來說明。

註：把早期預警的管線用在 n1_mood 序列上，取到憂鬱體制發作（虛線）之前為止。變異數顯著上升（\(\tau = 0.71\)、\(p = 0.008\)）而自我相關沒有（\(\tau = 0.44\)、\(p = 0.11\)），這是一份分歧的結論，而在那之前還有更深的問題：這是一個單一的、事後的個案，對預告式警報而言是最弱的證據。決定一份預警是不是真的，是基本率與分析者的自由度，不是某個指標上升的外觀。與圖 32.9 相同，中文版把兩個指標拆成各自的分面與各自的 \(y\) 軸；這一格尤其要緊，因為它的重點正是「標準差上升而自我相關沒有」。見 EN-32-02。

32.5 遞迴量化分析

遞迴量化分析是一種看動態序列結構的描述性鏡頭，而它在這裡佔一席之地，是作為前面各章那些以自我相關為本的描述的非線性補充。遞迴圖 (recurrence plot) 在把序列嵌入以重建它的狀態空間之後，標出系統回到相似狀態的每一對時點，而那張圖的視覺質地區分得出動態的體制：一個週期性的系統產生長對角線，因為一個狀態會以規則的間隔重現；一個隨機的系統則產生散開的、沒有質地的圖。遞迴量化分析把那份質地變成數字，也就是遞迴率 (recurrence rate)、決定性 (determinism，落在對角線上的遞迴點比例，標示可預測性)，以及層流性 (laminarity，落在垂直線上的比例，標示被困在狀態裡)。圖 32.11 對比一段持續的振盪與一條等長的自我相關雜訊序列：振盪的遞迴圖佈滿長對角線，它的決定性高（\(0.87\)），雜訊序列是散開的，它的決定性比較低（\(0.70\)），而這個差異對照一個替代序列虛無是顯著的（\(p < 0.001\)）。這個框架必須維持描述性：遞迴的度量刻畫一條序列，而任何建立在它們之上的推論主張，例如「兩條序列的決定性有差異」、「一對雙人的協調 (coordination) 超過機會水準」，都需要一次替代序列檢定，正如這裡所做的。遞迴量化分析最有價值的用處是耦合序列的協調，例如一對正在交談的雙人的同步 (synchrony)，那是應用各章要發展的用途。

註：一條自我相關雜訊序列（左）與一段等長的持續振盪（右）的遞迴圖。一個遞迴點標出系統處於相似狀態的兩個時點。振盪那些長對角線是「週期性的決定性結構」的指紋；雜訊序列則是散開的。決定性這個度量把差異量化（\(0.87\) 對 \(0.70\)），而它對照一個替代序列虛無是顯著的（\(p < 0.001\)）。遞迴量化分析是描述性的；由它出發的推論主張需要替代序列檢定。

32.6 誠實帳本

本章的方法橫跨很寬的資料需求與證據強度的範圍，而前沿正是「把那個範圍老老實實算一遍」最有用的地方。圖 32.12 與表 32.6 就是那份帳：一份「哪一種非線性方法在哪一種資料預算下站得住腳、又各自支持什麼主張」的帳本。一個兩狀態的隱藏馬可夫模型在一百個時點時可行，在數百個時點時證據充分；一個馬可夫轉換自我迴歸需要更多，因為它在每個體制內各估一組動態；振盪子的估計在數百個時點以下是脆弱的，而且不論序列多長，它的主張都被嵌入敏感度封頂；單序列的早期預警推論只有在長紀錄下才可行，而且即使那樣也只支持監測而不是預測；而遞迴量化分析既然是描述性的，可以早一點用，但主張也小。這份帳本的紀律是把主張配上預算，並且對任何一項非線性分析報告結論對分析者選擇的敏感度，也就是早期預警訊號的窗寬與去趨勢、振盪子與遞迴的嵌入、以及轉換模型的起始值與體制個數。一份沒有附上那份敏感度就報出來的非線性結果，還不算是一項發現。本章那些令人興奮的做法與這份令人清醒的帳本並不衝突；在這道前沿上，帳本正是讓那些做法可用的東西。

註：本章各方法對照序列長度的一份能力帳本。體制轉換模型與遞迴量化分析在中等長度下就可用；馬可夫轉換自我迴歸與振盪子估計需要比較長的紀錄，而且仍然脆弱；單序列的早期預警推論只有在長紀錄下才可行，而且支持監測、不支持預測。這份帳本編碼了本章的核心紀律：把主張配上資料預算，並報告每一項非線性結論對分析者選擇的敏感度。英文版此圖的分數向量與 expand.grid 的維度順序不合，畫出來的格子被轉置打散，與表 32.6 及正文相牴觸（例如「\(T<50\) 的單序列早期預警＝證據充分」）；中文版直接以明確的矩陣建表，並與表 32.6 逐格核對。見 EN-32-01。