彈性曲線：GAMM、TVEM 與函數型資料取向

30.1 為什麼要彈性，又為什麼要紀律

彈性曲線估計的理由，要由「參數化的那個替代方案會如何失敗」講起。當一個發展歷程真的以任何低階多項式都抓不住的方式非線性 (nonlinear) 時，配適一個多項式並不只是損失一點效率而已；它產出的是一條「形狀由基底而非由現象決定」的曲線，為了遷就一個它搆不到的中段而在兩端往上彎，並且把這些基底造出來的假象 (artifact)，用它加在真實結構上的同一組信賴區間 (confidence interval) 報告出來。另一個替代方案，也就是事先把時間切成命名好的階段，早期一段、晚期一段、各給一個平均數，更糟，因為它把一個階梯函數 (step function) 強加在一個連續歷程上，還把這份強加藏進階段的定義裡。growth_gam 資料是一份模擬 (simulation) 研究，兩百五十位兒童在六到十五歲之間以不等距的年齡受測，並巢套 (nested) 在二十所學校裡，資料由一個羅吉斯 (logistic) 成長衝刺生成：學業成就在早年幾乎持平，在十歲前後陡升，然後趨於平緩，是一個「尾端平、中段陡」而二次式表徵不出來的形狀。配適到這份資料上，二次式對照已知真相的均方根誤差 (root-mean-squared error) 是 \(0.94\)、分段線性模型是 \(0.99\)，而底下要發展的懲罰平滑是 \(0.17\)。教訓不是多項式永遠不對，而是它的對是一件要掙來的假設，而當理論並未把形式釘死時，一個「讓資料選形狀、並對那個選擇報告誠實不確定性」的方法，是比較安全的預設。

懲罰樣條就是那個方法，而在用它那套做法之前，值得先看它的解剖。一個平滑函數被寫成一組固定基底函數的加權和，那些基底函數 (basis function) 是散布在預測變項 (predictor) 值域上的小型局部隆起，於是任何夠豐富的基底，都能靠適當的權重逼近任何平滑形狀。以豐富的基底用最小平方 (ordinary least squares) 去配權重會把雜訊也內插 (interpolate) 進來，因此配適加上一個對擺動度的懲罰，典型是曲線二階導數 (second derivative) 平方的積分 (integral)，也就是曲線彎折程度的度量 (measure)。估計式最小化的是「不合的程度」加上「懲罰乘以一個平滑參數」，而那個平滑參數就是在偏誤 (bias) 與變異數 (variance) 之間取捨的唯一一個旋鈕：它等於零時回傳那條擺動的內插曲線，趨於無限時回傳懲罰碰不到的那條直線，落在中間時回傳一條「資料撐得住多少彈性就有多少彈性」的曲線。圖 30.1 在一個模擬函數上呈現那組基底與那三種狀態。把懲罰迴歸與探索式的畫曲線分開的關鍵一步，是平滑參數由資料以受限最大概似估計出來，而不是由分析者對「曲線該有多平滑」的判斷設定。有效自由度 (effective degrees of freedom) 是平滑矩陣 (smoother matrix) 的跡 (trace)，摘要的是資料買到了多少形狀：一條結果是線性的曲線花掉一個自由度，一條輕微彎曲的花掉三到四個，而圖中那個模擬函數在受限最大概似的最適點上掙到大約七個，對照基底裡可用的十九個。

註：(a) 呈現一組豐富的 B 樣條 (B-spline) 基底；一個平滑就是這些隆起的加權和。(b) 呈現在三種平滑參數設定下對一個模擬函數（虛線）的懲罰配適。過度平滑（有效自由度為一）回傳一條錯過形狀的直線；過度不平滑（有效自由度十八）追著雜訊跑；而受限最大概似的選擇（大約七）還原了真相。平滑參數就是那個偏誤與變異數的旋鈕，而它由資料選，不由眼睛選。

這個想法的深處在於：懲罰就是一個先驗 (prior)，而平滑就是一個隨機效果。把基底拆成不受懲罰的那一部分，也就是懲罰放過的那些函數，以及受懲罰的那一部分，懲罰把受罰係數往零收縮 (shrinkage)，正如一個混合模型把隨機效果往它們的平均數收縮，而平滑參數結果就是「殘差變異數對那些隨機係數變異數」的比值。這不是一個類比而是一個等同：一個懲罰樣條就是一個線性混合模型，其中曲線擺動的那一部分是隨機效果，而第 13 章的受限最大概似做法選平滑參數的方式，與它選任何一個變異數成分 (variance component) 的方式相同。這個等同正是廣義加法混合模型之所以融貫的原因，因為一旦平滑是隨機效果，它就自然地與本書一路建起來的縱貫模型裡的隨機截距與隨機斜率並列而居，而整套裝置一起估。表 30.1 把本章後面用到的基底類型整理起來，而基礎方塊精確地陳述那個混合模型表徵。

30.2 縱貫資料的廣義加法混合模型

一個廣義加法混合模型，在一個混合模型的隨機效果結構上加進預測變項的平滑，而 mgcv 提供兩條路。函式 gamm 透過它的線性混合模型表徵、借用 nlme 來配適，這條路讓相關殘差 (correlated residual) 結構可用；而 gam 搭配隨機效果基底（bs="re"）或因子平滑基底（bs="fs"），以懲罰概似配適同一類模型，比較快，而且在 bam 這個變體下，能擴展到密集縱貫設計所產生的大型資料集。對 growth_gam 資料，第一順位的模型是「年齡的一個母體平滑加上學校的隨機截距」，而它還原了那個羅吉斯真相：年齡平滑的有效自由度是 \(7.4\)，學校標準差是 \(1.04\)、對照真值 \(1.2\)。守住這份配適的診斷是基底維度檢查：基底大小 \(k\) 是彈性的天花板，不是彈性本身的選擇，而 mgcv 的 gam.check 會以「在平滑的尺度上檢驗殘差還有沒有剩下的型態」來回報天花板有沒有卡住。這裡的檢查回傳 \(k\) 指數 \(1.02\)、\(p\) 值不顯著，表示基底夠大，做平滑的是懲罰、不是天花板。圖 30.2 把那個平滑與那些參數化的替代方案一起對照已知真相。

註：growth_gam 資料中學業成就隨年齡的變化。廣義加法混合模型（藍，附信賴帶）以 \(0.17\) 的均方根誤差跟上了羅吉斯真相（虛線）；二次式（橘）與分段線性模型（綠）被迫在真相持平之處彎曲、在真相陡峭之處拉直，誤差分別是 \(0.94\) 與 \(0.99\)。那個平滑的信賴帶在資料稀疏的地方變寬，這份誠實是「到處都報同一個窄區間」的參數化配適給不出來的。

有少數幾個實務設定決定一個廣義加法混合模型會不會乖，表 30.2 把它們連同理由一起收齊。反覆出現的原則是：基底大小是一個要慷慨設定並加以檢查、而不是要調校的天花板；受限最大概似是最不容易過度配適的平滑參數選法；而項目選擇 (term selection) 可以打開，好讓一個平滑在某個預測變項完全掙不到形狀時收縮到零。

母體平滑 (population smooth) 抓的是平均軌跡，但縱貫的問題通常是關於異質性 (heterogeneity) 的，而因子平滑基底提供了第 14 章隨機斜率的非參數對應物。一個「年齡的母體平滑加上年齡依兒童的因子平滑」的模型，給每個孩子一條自己的平滑軌跡，而全部共用單一個平滑參數，於是個別曲線是由母體、也由彼此借力，而不是把每個孩子那少少幾筆觀察配到過度配適。圖 30.3 呈現四十位兒童的那面畫廊：每一條細線是一個人的非參數軌跡，在紅色的母體平滑周圍擺動，擺多少由那個共用的懲罰允許多少決定。這是隨機斜率成長模型的彈性手足，適用於「理論並未指定個體變化的函數形式」、且「每個人的資料太少而估不出一條自由曲線」的時候。第 14 章關於殘差自我相關 (autocorrelation) 的告誡原封不動地移植過來：來自一個平滑的個體內殘差通常是相關的，而如果那份相關本身有意思，可以透過 gamm 以自我迴歸 (autoregressive) 結構為它建模；但那個混淆 (confounding) 的警告仍然成立，因為一個時間的彈性平滑與一個自我迴歸的殘差，會競相解釋同一份個體內依賴，而讓兩者都自由浮動而不加檢視，可能在實務上讓模型不可識別 (unidentified)。

註：來自因子平滑（"fs"）基底的四十位兒童個別平滑軌跡（細線），紅色為母體平滑，灰色為原始觀察值。每個人的曲線都是非參數的，但與其他所有人共用一個平滑參數，於是個別軌跡是被往母體形狀正則化，而不是被自由配適。這是第 14 章隨機斜率成長模型的彈性對應物，用於「個體變化不假設任何函數形式」的時候。

組別的比較，正是彈性曲線交出一個「參數化模型難以表達的估計標的 (estimand)」的地方：不是兩組平均而言有沒有差，而是它們在時間上的何處有差。差異平滑為每一組配一條分別的曲線，並把它們的差估計成預測變項的一個函數，而它的推論必須把「這個差是一整條曲線、不是單一個數字」這件事算進去。一條逐點信賴帶，也就是每個時點上的估計值加減大約兩個標準誤 (standard error)，在任何單一時點上都有正確的涵蓋率 (coverage)，但它低估了「整條曲線作為一個整體」的不確定性，因為一條在許多時點中的每一個都待在自己逐點帶之內的曲線，依那條帶自己的邏輯來看是不太可能的。同時信賴帶 (simultaneous confidence band) 修正這一點：它把區間加寬到「一次整條曲線的偏離」所需要的那個乘數，做法是由係數的後驗 (posterior) 抽樣，並取「整條曲線上最大標準化偏離」的分配。對 tvem_rct 資料，一份「治療效果被做成會浮現、然後部分消退」的兩組試驗，同時帶用的乘數 (multiplier) 大約是 \(2.5\)、而不是逐點的 \(1.96\)，而兩組之間的差異在同時的意義下，於第六到第二十週之間顯著。圖 30.4 呈現那條差異平滑連同兩種帶與那個顯著區間，而基礎方塊勾勒它的構造。

註：tvem_rct 資料中組別差異作為週的函數，已知真相為虛線。內側的帶是逐點的（乘數 \(1.96\)）；外側的帶是同時的（乘數大約 \(2.5\)），那才是「在整條曲線上何處兩組有差」這個問題的正確帶。差異在同時的意義下於陰影區間內顯著，也就是第六到第二十週。這個估計標的，也就是一個組別差異的位置與時機，是單一個對比表達不出來的。

週期性現象是本節縱貫應用的最後一項，也是與第 23 章的接觸點。一個日內節律 (diurnal rhythm)，例如一種在午間下沉、到傍晚又回升的心情，是週期的，而一個循環樣條強制「配適曲線與它的斜率在週期的兩端相合」，於是節律接得平順，不會由最後一小時跳到第一小時。diurnal_ema 資料帶著這樣一個節律，而圖 30.5 以兩種方式配適它：一個循環樣條，花掉大約五個有效自由度、貼著那道弧走；以及第 23 章那一對三角函數，也就是日頻率上的一個正弦與一個餘弦，恰好花掉兩個，抓到了大致的形狀但彎不到那道弧的細部。取捨就是本章反覆出現的那一個。三角函數對是參數化的、可以解讀成一個振幅 (amplitude) 與一個相位 (phase)，而且在節律接近正弦時有效率；循環樣條有彈性、忠於偏離純正弦之處，而在節律本身的形狀就是待答問題時是比較安全的選擇。兩者都不佔絕對優勢，而這個決定屬於「循環的形狀」還是「振幅的一個摘要」才是科學標的。

註：diurnal_ema 資料中負向情緒的母體日內平均（虛線為真相）。循環樣條（藍，大約五個有效自由度）忠實地跟著那道弧，均方根誤差為 \(0.020\)；那一對三角函數（橘，兩個參數）抓到了大致的節律，但被限制在一個純正弦上，均方根誤差為 \(0.041\)，是循環樣條的兩倍，端點上的誤差也由 \(0.035\) 拉大到 \(0.080\)，而那道弧的整體振幅只有 \(0.50\)。循環樣條以彈性買到忠實度；三角函數對以剛性買到可解讀性。

30.3 時變效果模型

到目前為止的模型，讓一個結果變項的形狀變得有彈性。一個時變效果模型讓一個係數的形狀變得有彈性，而問題的這一次轉移是真的。它問的不是一個結果變項如何隨時間變化，而是一個預測變項的效果如何隨時間變化：壓力與負向情緒之間的關聯 (association) 在青春期是加強還是減弱，渴求對復發的箝制在一次戒除嘗試中是否鬆開，一項治療的好處是否逐漸浮現然後淡去。它的設定就是 Hastie and Tibshirani (1993) 的變動係數模型：一個預測變項上的係數，本身是時間的一個平滑函數，\(y = \cdots + \beta(t)\,x + \cdots\)，其中 \(\beta(t)\) 是一個懲罰樣條。在 mgcv 裡變動係數寫成 s(time, by = x)，也就是一個時間的平滑乘上共變項 \(x\)，而承自 Methodology Center 一脈的專用套件 tvem 把同一個想法包起來，並為密集縱貫資料加上便利設施。輸出的讀法是一條曲線、不是一個係數，而它的帶就是上一節那條同時帶，因為問題再一次是關於一整條曲線的。

本章的招牌圖還原了兩種不同的時變效果。在 tvem_rct 資料中，治療效果 \(\beta_{\text{arm}}(t)\) 被做成在起點附近接近零，在第六週前後浮現，在第十週附近到達約 \(1.3\) 個症狀分的削減高峰，並在第二十週之前部分消退；變動係數模型以 \(0.10\) 的均方根誤差還原了這條曲線，把浮現放在第六週、把高峰放在第十週，兩者都恰好落在真相上。在 diurnal_ema 資料中，連結當下壓力與當下負向情緒的個體內係數被做成會習慣化，由研究第一天的大約 \(0.65\) 平順地下降到第十四天的大約 \(0.30\)，因為那個人適應了監測、也適應了那些壓力源；模型幾乎分毫不差地還原了那份下降，由 \(0.65\) 到 \(0.29\)。圖 30.6 呈現兩者。這兩格讓這個想法的普遍性變得具體：一個係數可以沿著一項治療的時間軸 (time axis) 變動，也可以沿著一份研究的時間軸變動，而在每一種情形裡，交付物都是一條帶著信賴帶的曲線，說出效果何時在場、以及它如何移動。

註：(a)：tvem_rct 資料中的治療效果 \(\beta_{\text{arm}}(t)\)（藍，附同時帶；虛線為真相）在第六週附近浮現、第十週附近到頂（圓點），然後消退，這是一條單一個危險比或平均對比表達不出來的軌跡。(b)：diurnal_ema 資料中個體內的「壓力對負向情緒」係數 \(\beta_{\text{stress}}(\text{day})\)（紫；虛線為真相）在研究過程中習慣化，由大約 \(0.65\) 下降到 \(0.30\)。兩者的估計標的，都是一個效果隨時間的形狀。

讓時變效果模型不至於被過度推銷的那個區分是：一個與時間的參數化交互作用，是時變效果的一個特例 (special case)，不是它的等價物。放進一個 \(x\) 乘時間的乘積項 (product term)，讓 \(x\) 的效果隨時間線性變化，那是一個被約束在直線上的時變效果；變動係數模型鬆開那道約束，讓效果取任何資料撐得住的平滑形狀，於是它找得到一個「浮現又消退」的效果，而那是任何單一個乘積項都做不到的。這個蘊含是有方向的：每當一個與時間的線性交互作用被配適，一個時變效果模型就把它巢套在內、並檢驗那份線性是否成立；而一個結果是直的時變效果，只不過是把那個交互作用重現一次，外加關於它自身線性的誠實不確定性。表 30.3 把這個方法放在它的鄰居之間。本節誠實標示出來的前沿 (frontier)，是多層次的時變效果模型，也就是時變係數本身跨人變動，\(\beta_i(t)\)；做法是有的，靠的是把因子平滑與 by 變數結合起來，但估計很細緻、文獻 (literature) 也還在沉澱，因此關於逐人時變效果的主張應該謹慎提出，並對照當前的方法學工作查核。

30.4 函數型資料分析：一份實作導論

函數型資料分析做了一個把一切重新框架的概念動作：資料點不是一個純量或一個向量，而是一整條曲線 \(y_i(t)\)，一個人一個函數。一份日內心情的研究產出的不是一張提示的表格，而是一份「每日心情曲線」的樣本；一份動作的研究產出的是一份軌跡的樣本；一份生理的研究產出的是一份訊號的樣本。有兩條路可以進到曲線裡。先平滑的那條路把每一條曲線表徵在一組基底上，並把平滑後的函數當成分析的對象，那是古典的函數型資料立場；模型本位的那條路，也就是第 30.2 節的廣義加法混合模型，以平滑與隨機效果為逐點的資料建模，達到許多相同的目的。兩者一致的程度，足以讓一位工作中的研究者把廣義加法混合模型當成多數縱貫問題的足夠工具，而把完整的函數型裝置留給「它那些獨有的工具真的需要」的時候。第一件這樣的工具就是對位。

對位面對的是一個逐點方法看不見的問題。當一批曲線共有一個形狀、卻在那個形狀之特徵的時間上有所不同，例如一個高峰對某些單位來說來得早、對另一些來說來得晚，逐點的平均就會把那個高峰糊成一個又低又寬的隆起，像不出任何一條個別曲線的樣子，因為在每一個時點上它平均的是「處在共有軌跡不同位置上」的那些單位。這個區分是在振幅變異 (amplitude variation)，也就是一個特徵高度上的差異，與相位變異 (phase variation)，也就是它時間上的差異，兩者之間，而把它們分開就是對位的工作 (Marron et al., 2015)。圖 30.7 在一束「共有一個高度不一、位置也不一之單峰」的曲線上示範它。左邊那條紅色的未對位平均是糊掉而且偏低的；地標對位 (landmark registration) 把每條曲線的時間軸扭到讓它的高峰落在共同位置上，把高峰時間的標準差由 \(0.095\) 壓到 \(0.010\)，並還原出一條紅色的平均，重新取回每一條個別曲線都擁有的那個銳利高峰。對位後的曲線與那些扭曲函數 (warping function) 接著成為分開的分析對象：對齊後的曲線承載振幅變異，而那些扭曲承載相位變異，各自都可以獨立分析。在事件的時間本身就是實質問題的地方，例如生理反應的對齊或一個發展序列的節奏 (tempo)，對位是不可或缺的，而再多的逐點平滑都替代不了它。

註：共有一個高度不一（振幅）、時間也不一（相位）之高峰的曲線。左：未對位，逐點平均（紅）被糊成一個「不符合任何個別曲線」的低隆起。右：以地標對位到共同的高峰位置之後，高峰時間的標準差由 \(0.095\) 落到 \(0.010\)，而平均（紅）取回了那個銳利的高峰。在對位之前先平均，恰恰摧毀了這些曲線共有的那個特徵；逐點的方法看不見對位所移除的那份相位變異。

第二件獨有的工具是函數型主成分分析，而它是第 19 章成長因子的函數型對應物。一個成長模型以少數幾個潛在因子摘要每個人的軌跡，一個截距與一個斜率，它們是帶著逐人權重的共同形狀；函數型主成分分析以少數幾個函數型主成分 (functional principal component) 摘要每個人的曲線，那些是由實徵估計出來的共同形狀，也就是變異的模態 (mode of variation)，帶著逐人的分數。那些模態是曲線共變異數的特徵函數 (eigenfunction)，依它們解釋的變異數 (variance explained) 排序，而那些分數是每個人在它們上面的負荷量 (loading)，是平均為零的特徵，可以像任何一個個人層次變項那樣被分析。應用到 diurnal_ema 資料的日內剖面 (profile) 上，那份資料是由三個植入的模態生成的，分析乾淨地還原了它們：領頭的成分解釋了百分之六十八的個體間變異數、對照植入的百分之六十五，是一個水準位移，一條幾乎持平的特徵函數，把一整天往上或往下抬；第二個，百分之二十對照百分之二十五，是一個由早到晚的傾斜；第三個，百分之九對照百分之十一，是一個「加深或填平午間凹陷」的午間曲度。還原出來的逐人分數與真正植入的分數相關達 \(0.999\)、\(0.995\) 與 \(0.986\)。圖 30.8 把那些模態呈現成對平均的擾動、把那些分數呈現成逐人的特徵，而表 30.4 把與成長因子的對應關係說明白。那些分數接著可以用在成長因子能用的每一個地方：當成迴歸在共變項上的結果變項、當成後續事件的預測變項，或當成一個兩階段分析裡的個人層次摘要；而函數對純量的迴歸 (function-on-scalar regression) 則把這個想法推廣成「直接把整條曲線迴歸在共變項上」。

註：上排把 diurnal_ema 剖面領頭的三個函數型主成分呈現成對平均曲線（灰）的擾動：加上（藍）與減去（紅虛線）每一個模態。第一個（個體間變異數的百分之六十八）是一個水準位移，第二個（百分之二十）是一個由早到晚的傾斜，第三個（百分之九）是一個午間曲度。下格畫出逐人在前兩個模態上的分數，那是平均為零、可以像成長因子那樣使用的特徵。還原出來的分數與植入的真相相關都在 \(0.98\) 以上。

那麼，相對於「用熟悉的工具回答同一個實質問題」的廣義加法混合模型，函數型那一套做法何時值得它的代價？函數型裝置在以下情形付得起：資料是密集函數型的，每個單位有許多次測量、描出一條真正的曲線，例如生理 (physiology)、加速度計 (accelerometry)、眼動 (eye-tracking) 或滑鼠軌跡 (mouse-tracking)；需要對位，因為特徵的時間跨單位變動而且那份變動本身就有意思；以及推論是關於整條曲線的，關於它們變異的模態或它們在共變項上的迴歸，而不是關於一條母體平均軌跡。它在以下情形付不起，而廣義加法混合模型就夠了：每個單位的資料稀疏 (sparse)、問題是關於一條平均軌跡或一個組別差異，以及特徵的時間由設計釘死。稀疏的情形值得對一個常見的誤解 (misconception) 加上一句告誡：函數型主成分分析並不需要密集而等距 (equally spaced) 的網格，因為 Yao et al. (2005) 的稀疏資料方法，是由不規則觀察的匯集共變異數估出那些模態的，這讓這套做法連生態瞬時評估那種參差 (ragged) 的取樣都用得上。

30.5 預防彈性的濫用

彈性模型以幾種特有的方式失敗，而使用它們的紀律，大體上就是預先擋住那些失敗的紀律。第一種是共曲性 (concurvity)，也就是平滑世界的共線性 (collinearity)：當兩個以分別平滑放進去的預測變項近乎函數相依，也就是其中一個近乎是另一個的平滑函數時，它們的平滑就聯合地不可識別，會盪向那些「合起來同樣配適得好、分開來卻毫無意義」的大而互相抵銷的形狀。圖 30.9a 呈現這項病理 (pathology)，兩個近乎相依之預測變項的平滑盪向不同的形狀，其中一條的信賴帶比它自己的幅度還寬；mgcv 的 concurvity 函式會示警，對這一對回傳一個接近它的最大值一的最差情形指數。補救的不是一個更好的懲罰而是一個更好的模型：丟掉多餘預測變項的其中一個，或把它們合起來，因為再多的平滑都救不回一個資料裡本來就沒有的區分。第二種失敗是敘述雜訊。一個被配適得夠激進的平滑，在一個小的或吵的樣本上會造出結構，而危險不在那個擺動本身，而在關於它所講的故事。圖 30.9b 把一條過度不平滑的曲線配到一份完全沒有訊號的資料上，一個持平的真相，而那份配適樂於產出那些凹陷與隆起，配上一條逐點帶；紀律就是去要求一條同時帶，因為在這份純雜訊上，最大的標準化偏離只有 \(2.18\)，遠低於一條同時帶所需的乘數，於是那些擺動一個也站不住，而逐點帶所邀請的那個敘事應該被拒絕。

註：(a)：共曲性。兩個近乎函數相依之預測變項的平滑（最差情形指數 \(0.99\)）盪向不同的形狀，而 \(s(x_2)\) 的信賴帶比它整條曲線的幅度還寬，分開來看它們沒有意義；解方是丟掉或合併一個預測變項，不是平滑得更用力。(b)：過度配適。一條配到純雜訊上（真相持平，虛線）的過度不平滑曲線，造出一些凹陷與高峰；本圖畫的是逐點帶（英文版與中文版的分析都只算到逐點帶），而最大的標準化偏離只有 \(2.18\)，達不到一條同時帶所要求的乘數，因此那些擺動不該被敘述。

其餘的濫用，是一份報告標準管得住的衛生 (hygiene) 問題。外推 (extrapolation) 到資料範圍之外，對一個平滑而言就跟對一個多項式一樣沒有支撐，而且更為陰險，因為一個懲罰平滑在資料之外會退回它未受懲罰的零空間行為，典型是線性的，而且在那裡看起來會有騙人的自信。基底維度診斷 (diagnostic) 必須跑、也必須報告，因為一個過小的基底會毫無預警地過度平滑。平滑參數的選法應該說明，因為廣義交叉驗證與受限最大概似可以不同，而受限最大概似比較不容易過度配適，也是當前的預設建議。而「什麼被固定、什麼由資料選」的區分必須保留下來，一個彈性模型才可能被預先註冊 (preregistration)：一份預先註冊可以固定基底類型、最大基底大小、平滑參數的方法與推論用的帶，只把形狀本身留給資料，而那正是「讓懲罰迴歸成為驗證性而非探索性」的那份分工。表 30.5 把報告的要素收齊，而實作方塊處理「在密集設計如今所達的規模上套用這些模型」的計算現實。