探索性因素分析

一份問卷有四十道題。它們究竟在測「一件事」，還是「三件事」？背後有幾個潛在的向度？哪幾題又對應哪一個向度？探索性因素分析（exploratory factor analysis, EFA）正是回答這類問題的工具。它的妙處在於：研究者無須事先告訴它結構，它便能從「一大堆觀測變項彼此的相關」之中，找出少數幾個足以解釋這些相關的潛在因素。一堆糾纏在一起的題目，經它一提煉，就可能濃縮為「外向性」「語文能力」這類可詮釋的向度。本章要把 EFA 的核心，也就是共同因素模型，建立起來，把它與一個經常被混淆的近親（主成分分析）區分清楚，並正面迎戰 EFA 最難的兩個判斷：究竟有幾個因素，以及該如何旋轉。開篇之前，先花一節回顧這門技術的思想史，因為 EFA 的許多爭議，其實從它誕生的那一刻起便已埋下。

從相關到因素：一段思想史

因素分析的故事，要從一個觀察說起。當一群人接受各式各樣的認知測驗，例如語文、數學、空間，會發現一件耐人尋味的事：這些分數幾乎全都正相關，某方面強的人，其他方面往往也不弱。Spearman (1904) 正是由這個「正流形」（positive manifold）出發，提出以單一個「一般智力」因素 g 來解釋，並輔以各測驗的特殊因素，這便是著名的雙因素理論。Spearman 甚至給出一個可檢驗的印記，即第二章提過的四差分：若一組測驗確由單一共同因素支配，則任取四個測驗的相關會滿足特定的乘積等式。這使「背後是否只有一個因素」由玄想化為可用資料檢驗的命題，堪稱因素分析的濫觴。

然而世界顯然不只一個因素。二十世紀三○年代，Thurstone 提出多因素理論，主張人的能力由多個共同因素（語文、數值、空間等）構成，並在《心智的向量》一書中，把因素分析改寫為一套線性代數：觀測變項是若干共同因素的線性組合，因素分析的任務便是由相關矩陣反解出這組負荷。在電子計算機問世之前，他以繁複的形心法（centroid method）手工逼近這一分解，其計算量之大，今日難以想像。Thurstone 更提出兩個至今仍居核心的概念：一是簡單結構（simple structure），主張應把因素旋轉到「每個變項只在少數因素上有高負荷」的位置以利詮釋；二是以著名的「盒子問題」示範，因素分析能由一批盒子的各種測量，回復出長、寬、高這三個實質的維度，藉此論證因素並非純粹的數學虛構。差不多同時，Hotelling (1933) 發展出主成分分析，雖在數學上與因素分析相鄰，出發點卻不同，這一區別將於後文詳論。

Thurstone 的簡單結構，其實是對一個更深難題的回應，這個難題便是旋轉不定性，也是本章稍後要正式推導的核心。早在因素分析數學化的初期，學者便已察覺一件令人不安的事：由相關矩陣反解出的因素負荷，在數學上並非唯一，任意一個正交旋轉都給出適配完全相同的另一組負荷。這意味著，因素分析本身無法指出哪一組負荷才是「對的」，於是萃取之後「該把座標軸轉到哪裡」便成了一個懸而未決的問題，史稱旋轉問題（rotation problem）。Thurstone 主張以簡單結構為準繩，把軸轉到最易詮釋的位置，這是一種訴諸可解釋性的實質判準；然而何謂「簡單」本身帶有主觀性，也因此招來「因素分析不夠客觀」的長年批評。到了一九五○年代，Kaiser 的 varimax 試圖以一個明確的數學準則，把簡單結構形式化為可由電腦自動求解的最佳化問題，旋轉才由手工的藝術，部分地轉為可程式化的程序。這段圍繞旋轉的爭論說明，因素分析的不確定性並非後人吹毛求疵，而是深植於模型結構、自其誕生便已存在。

其後的發展，大致沿兩條線推進。理論線上，Lawley 於一九四○年代把因素分析放進最大概似的框架，使它得以「自帶推論」，這條線後來由 Jöreskog 推向驗證性因素分析（第十五章）。計算線上，Kaiser 於一九五八年提出 varimax 正交旋轉，並適逢電子計算機普及，因素分析遂由少數專家的手藝，變成一般研究者按鍵可得的日常工具，其副作用則是誤用的氾濫。至於 Spearman 與 Thurstone 之間「一個 g 還是多個因素」的爭論，最終在階層模型中獲得調和：多個一階因素之上，可再抽取一個高階的一般因素，Cattell 的流體與晶體智力、以至 Carroll 的三階層理論，都是這一調和的體現。這段歷史留下的教訓是：因素分析既是一套統計技術，也承載著關於「心智結構為何」的實質理論主張，兩者從未真正分開。

因素分析的歷史，也留下了一則必須銘記的警示，即命名不等於證成。一個因素被抽取出來、被冠上「一般智力」或「內化問題」之名後，人們往往不自覺地把它當成真實存在的實體，這便是所謂的具體化謬誤（reification）。然而，一個能重現相關結構的數學因素，未必對應任何實質的心理實體；它究竟是真實的共同原因，還是僅為統計上的方便，須靠第二章的量化預設與第七章的效度證據來論斷，而非因素分析本身所能回答。這一自省，貫穿了因素分析百年的爭論，也預告了第三十五章網絡取向對「共同潛在原因」本體論的正面挑戰。

共同因素模型

把上述直覺寫成數學，就是共同因素模型（common factor model）。它主張：每一個觀測變項，都可拆解為「共同因素的加權和」加上「一個專屬於它自己的部分」，如下面的方塊所示。

值得停下來體會一件事：這個共同因素模型，其實就是第三章所談的反映性測量模型，因素是「因」、指標是「果」，每個指標等於「負荷乘以構念，加上誤差」。因素分析，正是估計這個測量模型的方法。這也是何以「因素分析」與「潛在變項」在心理計量裡幾乎成為同義詞。

因素分析與主成分分析：一個常見的混淆

在應用心理學裡，最普遍的一個技術混淆，就是把主成分分析（principal component analysis, PCA）當成因素分析。許多論文寫著「做了因素分析」，實際上跑的卻是 PCA，這往往是舊版統計軟體預設選項所致。兩者表面相似，都給出一個「負荷矩陣」、都在「化約維度」，本質卻南轅北轍。

差別的關鍵，在於「有沒有誤差」。PCA 把主成分定義為觀測變項的加權和，成分是觀測變項「湊出來的」，方向反而與第三章的形成性測量較為相近；它的目標是以少數成分重現「全部」的變異，模型裡沒有獨特因素、沒有誤差項。因素分析則相反：因素是潛在的共同原因，只解釋變項之間「共享」的那部分變異（共同性），並明確地把「獨特／誤差」那部分分離出去。這也正是 Hotelling (1933) 的成分取向與 Thurstone 的因素取向自始便分道揚鑣之處。

這個差別有實質後果。因為 PCA 把「誤差變異」也算進去一起解釋，它估出的負荷通常會系統性地偏高，也無法把測量誤差與真實共變分開。因此，若目的是「測量一個潛在構念」，而這正是心理計量的核心目的，那麼共同因素模型才是正確的選擇，PCA 並不是一個測量模型。Fabrigar et al. (1999) 與 Preacher & MacCallum (2003) 對心理學界濫用 PCA、以及其他 EFA 陋習，提出了經典的批評與可操作的建議。一個簡單的判準是：若研究者相信題目背後有一個「造成」它們的潛在構念，就用因素分析；若只是想把一堆變項壓縮成幾個綜合指標、不假設任何潛在原因，PCA 才適用。

因素萃取：主軸因素與最大概似

確立了模型，下一步是「萃取」（extraction），也就是由樣本相關矩陣估出負荷 \boldsymbol{\Lambda} 與獨特變異 \boldsymbol{\Psi}。有兩種主流方法。

主軸因素法（principal axis factoring, PAF）是較傳統的做法。它的巧思在於：先把相關矩陣對角線上的「1」換成「共同性的估計」，因為因素只該解釋共同變異、不該解釋獨特變異，再對這個「化約後的相關矩陣」做特徵分解；由於共同性一開始未知，通常以迭代方式逐步逼近。與之相近的還有最小殘差法（MINRES）等，皆屬幾乎不依賴分布假設的穩健取徑。最大概似法（maximum likelihood, ML）則把因素分析放進第十二章的最大概似框架：假設資料多元常態，找出使概似最大的 \boldsymbol{\Lambda} 與 \boldsymbol{\Psi}。它最大的優點，是「自帶推論」，提供整體適配的卡方檢定、參數的標準誤，也讓研究者能以第十二章的資訊準則去比較不同因素數目的模型。代價是它要求常態假設，違反時檢定會失真。

實務上的取捨相當清楚：資料大致常態、又想要推論統計，用 ML；資料明顯不常態，PAF 較安全。而當題目是次序類別（如李克特量尺）時，兩者都不理想，應改以第十五章將詳談的多分相關為基礎進行萃取，否則會低估負荷、甚至憑空生出因人為的「難度因素」。無論哪一種萃取法，萃取出的初始負荷矩陣，都還不是最終、最易詮釋的版本，因為它面臨一個根本的不定性問題，這就帶到旋轉。

因素旋轉與旋轉不定性

因素分析有一個內建的、深刻的不確定性：同一個模型，有無限多組同樣好的負荷矩陣。這不是估計不夠準的問題，而是模型本身的數學性質，如下面的方塊所示。

既然可以自由旋轉，該往哪裡轉？Thurstone 的答案是簡單結構：把因素轉到「每個變項只在少數幾個因素上有高負荷、在其他因素上接近零」的位置。這樣的負荷矩陣最易詮釋，一看便知哪題屬於哪個因素。旋轉分兩大類。正交旋轉（orthogonal rotation，如 varimax、quartimax）強迫因素之間彼此不相關；斜交旋轉（oblique rotation，如 oblimin、promax、geomin）則允許因素相關。這裡有一個常被忽略卻重要的建議：心理學的構念彼此往往相關，例如焦慮與憂鬱、語文與推理，硬要求它們正交，反而扭曲了現實。因此除非有特別理由，斜交旋轉通常是更誠實、更合理的預設。斜交旋轉會給出兩個矩陣：型態矩陣（pattern matrix，各因素對變項的「偏」效果，用以詮釋）與結構矩陣（structure matrix，變項與因素的相關），詮釋時主要看型態矩陣。

到底有幾個因素？

這是 EFA 最難、也最主觀的一步。抽太多因素（over-extraction），會把雜訊當成結構、擠出一些湊數的小因素；抽太少（under-extraction），則會把不同的向度硬揉成一團。可惜沒有一個完美的判準，只有一組各有優劣的工具，如下面的概念方塊所示。

近年一個大規模的模擬比較 (Auerswald & Moshagen, 2019) 更新了這方面的建議：在多數實際情境下，平行分析與經驗 Kaiser 準則表現優異，而傳統 Kaiser 準則與陡坡圖則不可靠。另有一類「比較資料」取向，以已知因素結構的模擬資料為對照，逐步逼近最能重現實際相關型態的因素數目。這些方法各有適用邊界，因此實務上的黃金守則是：不要只靠單一判準，而應以平行分析等穩健方法為主，輔以理論的可解釋性，並比較「相鄰幾個因素數目」的解，看哪一個最穩定、最說得通。因素數目終究是統計證據與實質判斷的合議，而非某個門檻自動吐出的答案。

因素分數的不定性

配好因素模型後，研究者可能想為每個人算一個「因素分數」，例如某人的「外向性」有多高。但這裡潛藏一個深刻、卻常被忽略的問題：因素分數是不定的（factor score indeterminacy）。

這個不定性有實質含意：當研究者把因素分數當成「那個人真正的構念值」拿去做後續分析，例如作為另一個迴歸的預測變項，其實是在一個本質上不唯一的量上操作，可能引入偏誤。因應之道有幾種：若測量模型接近 tau 等值，簡單的加總分數（第五章）往往夠用、也更透明；若要嚴謹地把「構念間關係」與「測量」一併處理，最好的辦法是直接用結構方程模型（第十六章），讓潛在變項留在模型裡，根本不必先算出因素分數。換言之，因素分數不定性，正是 SEM 之所以更受青睞的理由之一。

分析實務

把前面的原理，收攏成一套可操作的工作流程。動手之前，先確認「這批資料到底適不適合做因素分析」。兩個常用的檢核是：KMO 取樣適切性量數（衡量變項間是否有足夠的共同變異，一般要求 0.6 以上），以及 Bartlett 球形檢定（檢定相關矩陣是否顯著偏離單位矩陣；若不顯著，表示變項間根本沒什麼相關，做因素分析並無意義）。樣本數方面，與其套用「每題幾人」的粗略規則，不如記住一個原則：當共同性高、每個因素有夠多高負荷的指標時，所需樣本較小，反之則需要相當大的樣本。

接著是決策流程：檢核適切性、選萃取法（常態用 ML，否則 PAF，次序類別用多分相關取徑）、決定因素數目（以平行分析為主、參酌理論）、斜交旋轉、判讀型態矩陣。判讀時要留意幾個訊號：交叉負荷（一題在多個因素上都高，暗示它不乾淨）、過低的共同性（這題與其他題共享太少，或許該刪），以及第十二章提過的 Heywood case（負的獨特變異，是模型有問題的警訊）。最後，列幾個心理學文獻裡最常見的 EFA 陋習作為反面提醒：把 PCA 當因素分析報告；只用 Kaiser 準則決定因素數；不假思索地用正交旋轉；把很小的負荷（如 0.2）也拿來詮釋；以及最根本的，把「探索」得到的結構，當成「驗證」過的結論來報告。就軟體而言，R 的 psych 套件與 lavaan 的 efa 功能都能勝任，但工具再好，也取代不了上述的判斷。

把上述要點串成一棵決策樹，並在每一個分叉點標出最常見的誤用，或許最能幫助研究者避開陷阱。第一個分叉是資料檢核：若 KMO 過低或 Bartlett 檢定不顯著，本就不該勉強進行因素分析，然而實務上常見的誤用，是跳過這一步、對根本不相關的變項硬抽因素，抽出的自然是無意義的雜訊結構。第二個分叉是萃取法的選擇：面對明顯偏態或次序的資料仍套用假設常態的最大概似，是這一步最典型的錯誤，其後果是負荷被低估、甚至憑空生出因作答難度而非構念所致的假因素。第三個分叉是因素數目：僅憑 Kaiser 準則便定案，幾乎必然抽出過多因素，正確的做法是以平行分析或 EGA 為主，輔以理論與相鄰解的比較。第四個分叉是旋轉：對彼此相關的心理構念強加正交旋轉，會扭曲因素間的真實關係，斜交旋轉通常才是誠實的預設。最後一個分叉是詮釋：把 0.2 這類微弱負荷也拿來命名因素、或把交叉負荷嚴重的題目強行歸類，都會製造出比資料所支持的更「乾淨」的假象。這棵決策樹真正的終點，其實不在旋轉後的負荷矩陣，而在一個誠實的認知，即這裡得到的一切都只是有待驗證的假設。

前沿與新近研究

因素分析看似古老，近十年卻是方法學的活躍前沿，這裡擇要介紹幾個新近的發展。

第一是網絡取向對「維度」的重新想像。探索性圖論分析（exploratory graph analysis, EGA）不從特徵值下手，而是把變項間的關聯畫成一張網絡圖，再以社群偵測演算法找出網絡中「抱團」的變項群，每一個社群便對應一個維度 (H. F. Golino & Epskamp, 2017)。就決定因素數目而言，EGA 提供了一個與平行分析並列的網絡替代方案，在若干模擬情境下的準確度可與之比肩，並附帶一張同時回答「有幾維」與「哪些題聚在一起」的直觀圖形 (H. Golino et al., 2020)。對本章的實務目的，可將 EGA 視為決定維度數目的另一件工具，與平行分析交叉參照即可；至於其網絡估計的技術細節、與傳統方法的系統性效能比較，以及拔靴穩定性與階層版本等延伸，則屬網絡心理計量的範疇，留待第三十五章詳述。

第二是機器學習進入因素數目的決定。Goretzko & Bühner (2020) 以大量模擬資料訓練隨機森林等演算法，由相關矩陣萃取上百個特徵，學習「該保留幾個因素」，其準確度在若干情境下超越了傳統判準。這代表因素保留由「單一統計量對照門檻」，走向「以資料驅動的預測模型綜合眾多線索」，也與其他領域的「次一特徵值充分性檢定」等新判準，共同構成一個更豐富的工具箱。

第三是探索與驗證之間的鬆綁。探索性結構方程模型（exploratory structural equation modeling, ESEM；(Asparouhov & Muthén, 2009)）意在化解 EFA 與 CFA 之間的僵硬二分。傳統 CFA（第十五章）要求「每題只負荷在它該屬的因素、在其他因素上嚴格為零」，這個要求常常過嚴，導致適配不良；ESEM 則允許在一個驗證性的 SEM 架構裡，對某些因素採用探索性的旋轉，等於容許次要的交叉負荷存在。與之精神相近的還有正則化因素分析，以懲罰項自動把微小的負荷壓成零，直接估出稀疏而易詮釋的結構，可視為 lasso（第十一章）在測量模型上的應用。這些取向讓研究者在「完全探索」與「完全驗證」之間，有了一塊更貼近真實資料的中間地帶。

此外還有兩條較新的線索值得留意。其一是貝氏因素分析（第三十三章），它以弱資訊先驗把「近乎零」的交叉負荷輕輕壓向零，既保留了 ESEM 的彈性，又給出完整的後驗不確定性，是近似不變性與稀疏測量的自然工具。其二是把因素分析帶入時間維度，以密集追蹤資料（第三十章）對「個體內」的共變結構做因素分析，藉此檢驗一個在群體層次成立的因素結構，是否也在單一個體隨時間的波動中成立，這正呼應了第三章齊質性的關切。這些發展的共同方向，是把因素分析由一張靜態、跨個體的快照，推向更能反映不確定性與動態的模型。

與再現性的關切相呼應，近年也更強調對因素結構本身做交叉驗證，例如以一半樣本探索、另一半以 CFA 確認，或以拔靴法評估負荷與維度估計的穩定性。這類做法把「這個結構是否可複製」由事後的期望，變成分析流程內建的檢驗，與第十二章交叉驗證的精神一脈相承。

最後一個老問題，在再現性的時代更值得警惕，也就是本章一再強調的：一個 EFA 找出的結構，只是「假設」，它需要以獨立樣本、用 CFA 去確認，才能真正站得住腳。無論工具多麼新穎，把探索性結果當成驗證性結論來報告，都是不可取的。

小結

探索性因素分析，把一大堆彼此相關的指標，透過共同因素模型（\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Lambda}' + \boldsymbol{\Psi}）提煉為少數幾個潛在因素，而這個模型，正是第三章反映性測量模型的實作。本章的幾個關鍵訊息值得複誦：因素分析不是主成分分析，前者是測量模型、後者不是；EFA 有兩個最難的判斷，因素數目該靠平行分析、EGA 等工具而非 Kaiser 準則，旋轉該用斜交以逼近簡單結構；而因素分數的先天不定性，提醒我們謹慎，並指向 SEM 這條更嚴謹的路。

最重要的是記住 EFA 的定位：它是「探索」，它生成關於測量結構的假設。這些假設要成為可靠的知識，還必須經過「驗證」。下一章的驗證性因素分析，就是拿一個明確的因素結構假設，以第十二章的估計與適配工具，嚴格地放到資料面前受檢的方法。

參考文獻