驗證性因素分析與分析實務
第十四章的探索性因素分析，讓資料自己「建議」了一個結構。但建議不等於證明。驗證性因素分析（confirmatory factor analysis, CFA）把局面反轉過來：研究者事先明確指定「哪幾題屬於哪個因素」，這是一個精確、可否證的假設，再把它拿到資料面前受檢。這是研究鏈上「驗證」的那一半。然而 CFA 也是整個領域最有爭議的實務所在：該看哪些適配指標？門檻該訂在哪裡？模型不合時，能不能「動手修」？本章要嚴謹地把 CFA 建立起來，並以完整的篇幅，講清楚「如何好好做一次 CFA」。
從探索到驗證
EFA 與 CFA 的根本差別，在於「事先知道多少」。EFA 讓每一題都可以負荷在每一個因素上，再靠旋轉整理，是資料驅動的；CFA 則要求事先把絕大多數負荷固定為零，只留下理論上認為該有的那幾條，是理論驅動的。
舉一個例子。假設研究者主張一份 10 題的量表測「焦慮」與「憂鬱」兩個構念，第 1 至 5 題測焦慮、第 6 至 10 題測憂鬱，而且沒有任何一題同時測兩者。在 CFA 裡，會把「焦慮因素對第 6 至 10 題的負荷」與「憂鬱因素對第 1 至 5 題的負荷」全部固定為零，只估計「該有的」那 10 條負荷。這整組「哪裡是零、哪裡不是零」的設定，就是一個明確而可否證的測量假設：若資料與這個結構嚴重不合，模型便會被拒絕。也正因如此，一個嚴謹的研究鏈往往是：先以一半樣本做 EFA 生成結構假設，再以另一半樣本、或獨立樣本做 CFA 加以驗證；若在探索所用的同一批資料上做 CFA，其「驗證」意義便大打折扣。CFA 由 Jöreskog (1969) 所開創，並透過他的 LISREL 系統普及，成為潛在變項建模的基石。
CFA 測量模型
CFA 的測量模型，形式上與第十四章的共同因素模型一模一樣，差別只在：負荷矩陣 \boldsymbol{\Lambda} 現在有一個「固定的、大量為零」的型態，如下面的方塊所示。
CFA 設觀測向量 \mathbf{x} = \boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{\eta} + \boldsymbol{\varepsilon}，其中負荷矩陣 \boldsymbol{\Lambda} 的型態事先指定（多數元素固定為 0）。在共同因素與誤差不相關、誤差彼此不相關的假設下，模型隱含的共變數矩陣為
其中 \boldsymbol{\Phi} = \mathrm{Cov}(\boldsymbol{\eta}) 為因素的變異–共變數矩陣、\boldsymbol{\Theta} = \mathrm{Cov}(\boldsymbol{\varepsilon}) 為殘差共變數矩陣（通常設為對角）。自由參數 \boldsymbol{\theta} 包含：那些「非零」的負荷、因素的變異與共變數、以及殘差變異。
潛在變項沒有天生的尺度，因此必須「定尺」。常見兩法：一是把每個因素的某一題負荷固定為 1（標記變項法），二是把因素變異固定為 1（標準化法）。少了這一步，模型無法辨識。
CFA 與 EFA 在數學上共用 \boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\Lambda}' + \boldsymbol{\Theta} 這個骨架，差別全在對 \boldsymbol{\Lambda} 施加的約束。也正因為 CFA 施加了這些「零負荷」的約束，模型才有了可能「配不上資料」的空間，也才因此能被否證，這正是它作為「驗證」工具的力量來源。此外，當分析涉及平均數的比較，例如第十九章的測量不變性時，還須把題目的截距納入模型，成為所謂的「平均數結構」；本章暫且聚焦於共變數結構，截距留待該章展開。
CFA 的測量模型還常須放寬一個過嚴的假設，即殘差彼此不相關。當某些題目共享了與目標構念無關的成分時，例如採用相同的作答方式、或若干題目在文字上高度雷同，它們的殘差便會相關；此時若強行維持對角的 \boldsymbol{\Theta}，模型會系統性地失配。因應之道有二：一是在有理論依據下，允許特定幾對殘差相關；二是明確設立一個「方法因素」，把共同的方法變異吸收進去，這正是第七章多特質多方法矩陣在 CFA 中的落實。一個典型的例子，是量表中正向題與反向題所形成的用詞效應（wording effect）：像 Rosenberg 自尊量表這類正反向題交錯的工具，其反向題之間往往共享一個與自尊無關的作答成分，若不加處理，這個純由題目措辭方向造成的共變，便常被誤判為「正向自尊」與「負向自尊」兩個實質構念，而它其實只是方法造成的假象。將這類用詞效應以相關殘差或方法因素明確納入模型，能還原量表本應有的單維結構。更廣泛地說，反向題效應只是反應風格（response styles）的一個特例，默許反應、極端反應等系統性的作答傾向，同樣會在測量模型中留下方法變異的印記，其專門的建模留待第二十五章討論。這類設定必須出於事前的理論，而非事後為了改善適配而添加，否則便落入下文將談的修正陷阱。
模型辨識
在估計之前，須先確認一件事：這個模型「估得出來嗎」？也就是辨識（identification）問題，模型的參數，能否從資料（樣本共變數矩陣）唯一決定。設定得不好，模型會有無限多組同樣好的參數，估計器便無所適從。
辨識的資訊上限，來自樣本共變數矩陣 \mathbf{S} 中「不重複」的元素個數。對 p 個觀測變項，這個數是 p(p+1)/2（對角的變異加上下三角的共變數）。
必要條件（t 準則）：自由參數的個數 t，不能超過這個上限，即模型自由度 df = p(p+1)/2 - t \ge 0。df < 0 者必然不可辨識；df = 0 者「恰好辨識」（saturated），能完美重現 \mathbf{S}，卻因此無從檢驗；df > 0 者「過度辨識」，這才是我們要的：模型施加了可被否證的約束，因此可以檢定。
充分條件（經驗法則）：t 準則只是必要、非充分。三指標法則：一個因素若有三個以上、只負荷於它的指標，加上標準假設，通常即可辨識；兩指標法則：只有兩個指標的因素，唯有在它與別的因素相關時才辨識。此外還有「經驗性辨識不足」（第十二章）：理論上可辨識，但這批資料剛好提供不了足夠資訊，症狀常是不收斂或標準誤爆炸。
估計與適配函數
辨識沒問題後，便進入估計。CFA 沿用第十二章的最大概似：找出一組參數 \boldsymbol{\theta}，使「模型隱含的共變數 \boldsymbol{\Sigma}(\boldsymbol{\theta})」盡量貼近「樣本共變數 \mathbf{S}」。衡量兩者差距的，是適配函數，如下面的方塊所示。
在多元常態假設下，CFA 的最大概似估計，等價於最小化下列適配函數：
其中 |\cdot| 為行列式、\mathrm{tr} 為跡、p 為觀測變項數。這個函數有一個關鍵性質：當且僅當 \boldsymbol{\Sigma}(\boldsymbol{\theta}) = \mathbf{S} 時 F_{ML}=0（完美適配），否則為正。估計就是找 \hat{\boldsymbol{\theta}} 使 F_{ML} 最小。更進一步，在虛無假設「模型正確」下，
自由度為前述的 df。這正是第十二章談過的「卡方適配檢定」在 CFA 裡的具體形式，也是所有近似適配指標的計算基礎。
至於「該用哪一種估計器」，直接沿用第十二章的選單。連續且大致常態的指標，用 ML；連續但明顯偏離常態，用穩健最大概似 MLR（以 Satorra-Bentler 校正卡方與標準誤，見 (Satorra & Bentler, 1994)）；而心理計量最常見的次序類別指標（如李克特量表），正確做法是用加權最小平方的穩健變體 WLSMV，它以多分相關與閾值為基礎，避免了「把次序當等距」的錯誤。至於一份量表究竟該設幾個反應選項，以及在多少個類別以上、分布多接近對稱時，把次序資料逕當連續處理才不致造成明顯偏誤，則是一個關乎反應格式的實證問題，其系統性的證據將於第二十五章整理。若資料還有缺失，則搭配第十三章的 FIML。須補充的是，次序型 CFA 常另行報告 WRMR 這個為類別資料設計的殘差指標，而各適配指標的慣用門檻，在 WLSMV 之下未必與連續情形相同，這也提醒了門檻的情境依賴。這一整套「看資料型態選估計器」的決策，是做 CFA 的第一道實質關卡。
適配指標與它們的門檻
第十二章說過，卡方檢定在大樣本下幾乎必然拒絕，因此實務上，我們靠一整套「近似適配指標」來判斷「模型偏離完美的程度可不可接受」。它們大致分三類，如表 15.1 所示。增量式指標（incremental）拿研究者的模型與一個「最差的基準模型」（通常是假設變項全不相關的虛無模型）比，看進步了多少，代表是 CFI 與 TLI (Bentler, 1990)。精簡調整式指標針對「每個自由度的偏差」懲罰複雜度，代表是 RMSEA (Browne & Cudeck, 1993)。殘差式指標則直接看「模型隱含相關與實際相關的平均差距」，代表是 SRMR。
| 指標 | 類型 | 良好 | 可接受 |
|---|---|---|---|
| CFI / TLI | 增量式 | \ge .95 | \ge .90 |
| RMSEA | 精簡調整 | \le .06 | \le .08 |
| SRMR | 殘差式 | \le .08 | — |
這幾個指標其實有一個共同的理論根源，即第九章談過的非中心性。當模型有些微設定誤時，卡方統計量不再服從中央卡方，而服從一個非中央卡方，其非中心性參數衡量了模型偏離正確的程度。RMSEA 直接由此構造，大致定義為
分子的 \chi^2 - df 正是非中心性參數的估計，再除以自由度（懲罰複雜度）與樣本數；而 CFI 則以「你的模型」相對於「基準模型」在非中心性上的改善比例來刻畫。Browne 與 Cudeck 還提出以 RMSEA 的信賴區間，以及「接近適配檢定」（檢定 RMSEA 是否小於某個門檻如 .05），把單一個點估計，變成一個帶不確定性的判斷。理解這一共同根源，有助於看清何以這些指標會隨樣本數、自由度而系統性地變動，這正是下一節的主題。
這一非中心性的視角，也釐清了兩種常被混淆的檢定。傳統卡方檢的是「精確適配」，也就是「模型完全正確」這個幾乎注定被大樣本拒絕的虛無假設；而以 RMSEA 信賴區間為基礎的「接近適配檢定」，檢的則是「模型的偏誤小到可接受」這個較實際的假設。兩者的虛無假設不同，結論也常不同，報告時務必分清。此外，當指標為次序類別、以 WLSMV 估計時，這些指標的分布性質會改變，慣用的連續型門檻未必適用，晚近的研究因此建議改用為類別資料另行校準的門檻，這再次呼應了門檻的情境依賴。
「黃金門檻」的迷思
上面那張表的門檻，很多人奉為圭臬。它們的來源，主要是 Hu & Bentler (1999) 那篇極具影響力的模擬研究，CFI \ge .95、RMSEA \le .06、SRMR \le .08 這組數字，即由此而來，並迅速成為期刊審查的「潛規則」。
但把這些數字當成放諸四海皆準的「及格線」，是一個嚴重的誤解。Marsh et al. (2004) 在一篇著名的評論中直言，把 Hu 與 Bentler 的建議當成「黃金律」來套用，是一種危險的過度概化；Hu 與 Bentler 自己也強調，這些門檻是在「特定的模型、特定的樣本數、特定的分布」條件下得出的，並不通用。事實上，適配指標的數值，會隨模型類型、樣本數、指標數目、負荷大小、以及「錯在哪裡」而變動，同一個門檻，在不同情境下的意義天差地別。結果是：一個模型可能「通過了門檻，卻其實設定錯誤」；另一個可能「沒達到門檻，卻完全堪用」。把一條固定的線，套到千變萬化的模型上，本身就不合理。這場爭論的一個極端立場甚至主張，既然近似適配指標如此難以標準化，不如回歸卡方檢定；儘管多數學者不採此見，它仍凸顯了問題的嚴重。
針對這個困境，近年出現了動態適配指標（dynamic fit index）的取徑。McNeish & Wolf (2023) 主張，與其套用一組固定門檻，不如針對研究者手上「這一個」模型與資料條件，以模擬去算出「專屬的」門檻。其運作機制大致如此：先依研究者的模型設定，即因素數、指標數、負荷大小與樣本數等，模擬出大量「正確設定」之下的資料，再模擬出一批帶有某種目標程度設定誤，例如一條被忽略的交叉負荷，之下的資料，各自算出適配指標的分布，最後取一個能最佳區分兩者的數值，作為這一研究專屬的門檻。這把 Hu-Bentler 的「一套數字打天下」，換成了「因模型與資料制宜」，也把門檻的選擇由憑藉一篇舊模擬的權威，轉為一個可在當前情境重新計算、透明可複製的程序。
然而動態門檻也非萬靈丹，其限制須一併認識。它繼承了所有模擬取徑的共同弱點，即結論取決於模擬時所假設的設定誤型態與大小，而「該以何種、多大的設定誤為對照」本身又是一個需要判斷的問題；換言之，它把「門檻該訂多少」的主觀性，部分地轉移到了「該模擬何種錯誤」之上，而非徹底消除。此外，它的計算成本較高，也尚未在所有模型類型上得到充分檢驗。儘管如此，動態適配指標的價值，不在於再給出一條神聖的線，而在於它逼使研究者明白地說出「我把什麼程度的設定誤視為不可接受」，從而把適配評鑑由套用慣例，推回為一個必須言明前提的實質判斷。更根本地，這一切都呼應了第十二章的那句提醒：適配指標是工具，不是判決，它們幫助研究者思考模型合不合，卻不該替他做出「接受或拒絕」的自動裁決。
局部適配與模型修正的陷阱
整體適配指標，看的是「模型與資料整體有多合」。但整體看來還行的模型，局部可能藏著問題，例如某兩題之間有模型沒捕捉到的關聯。要看穿這種局部失配，須檢查殘差（模型隱含相關與實際相關的差），以及修正指標（modification indices, MI）。標準化的殘差矩陣尤其有用，一個特別大的殘差，直接指出「哪兩個變項之間的關係，被模型低估或高估了」。
修正指標的功能是：對每一個「被固定為零」的參數，估計「若把它放開，卡方會下降多少」。它等於在說：「這裡加一條路徑（例如讓某兩題的誤差相關、或讓某題交叉負荷到另一個因素），適配會改善最多。」這個提示很誘人，順著它一路放開參數，適配指標很快就會漂亮起來。
但這正是 CFA 最大的陷阱。順著修正指標「修模型」，等於把「驗證性」偷偷變回了「探索性」，研究者不再是在檢驗一個事前的假設，而是在用同一批資料，反覆挑出「剛好能改善這批資料」的參數，這就是在配雜訊（capitalizing on chance）。MacCallum et al. (1992) 早已以模擬證明，這種資料驅動的修正在不同樣本間往往並不一致，一批資料修出的「改善」，換一批資料便可能消失。因此紀律很清楚：任何修正，都必須有事前的理論理由，不能純為了「讓數字好看」；做了修正，就該誠實報告，並最好用獨立樣本交叉驗證。一個為了通過門檻而被反覆微調的模型，它的「良好適配」其實一文不值。
更複雜的結構：高階與雙因子模型
基本的 CFA 之外，還有兩種常見的擴充，用以處理「構念本身有層次」的情形。
高階因素模型（higher-order model）處理的是：幾個一階因素彼此相關，而這些相關，又可以用一個更上位的「二階因素」來解釋。經典例子是智力，語文、數值、空間等特定能力（一階因素）彼此相關，背後是一個一般智力 g（二階因素）。
雙因子模型（bifactor model）則採取不同的切法：讓每一題「同時」負荷在一個貫穿全部題目的「一般因素」，與一個只涵蓋部分題目的「特殊群組因素」上，而且一般因素與特殊因素彼此正交。它近年非常流行，特別適合回答一個關鍵問題：「這份量表的總分，究竟主要反映單一個一般構念，還是好幾個成分的混合？」，這與第六章的階層 omega 直接相通 (Reise, 2012)。為了回答這個問題，Rodriguez et al. (2016) 整理了一組專屬的雙因子指標，例如解釋共同變異（ECV）、階層 omega，以及未受汙染相關的百分比（PUC），使研究者能量化「總分究竟有多接近單維」。不過須提醒：雙因子模型的彈性很大，容易「過度配適」，它幾乎總是比競爭模型配得更好，卻未必更有意義；因此它的良好適配，不能單獨作為「構念就是這個結構」的證據，仍要回到理論與可解釋性。
至於高階模型與雙因子模型孰優，並無定論。數學上，高階模型其實是雙因子模型的一個受限特例，因此雙因子通常配得較好，但這部分只是彈性使然，未必反映更真實的結構。選擇的依歸，應是理論：若相信各特殊能力是「一般能力的下位分化」，高階模型較貼切；若相信「一般」與「特殊」是兩組並行、可各自解釋題目的來源，雙因子較貼切。以適配優劣單方面裁決兩者，正是本書反覆告誡的、把統計量當判決的錯誤。
分析實務：如何好好做一次 CFA
把整章的原理，收攏成一套可操作的工作流程。這也是本章標題「分析實務」的核心。
第一步，從理論設定模型：清楚寫下有幾個因素、哪題屬於哪個因素、哪些負荷固定為零，這是要檢驗的假設，必須在看資料之前就定好。第二步，檢查資料以選定估計器：變項是連續還是次序？常態還是偏態？有無缺失？據此決定用 ML、MLR 還是 WLSMV，並在有缺失時搭配 FIML（第十二、十三章）。第三步，檢查辨識：自由度是否 \ge 0、每個因素是否有足夠指標。第四步，估計，並留意收斂。第五步，檢查有無不當解：負的殘差變異、標準化負荷大於 1 這類 Heywood case（第十二章），是模型或資料出問題的警訊，不能視而不見。第六步，評鑑整體適配：同時看卡方、CFI、RMSEA、SRMR 等多個指標，並牢記門檻只是啟發、不是鐵律。第七步，檢視局部適配：看殘差與修正指標，但克制「無理論就修模型」的衝動。第八步，詮釋與報告：報告標準化負荷、因素間相關、以及以 omega（第六章）估計的信度。
樣本數方面，與其記憶「每參數幾人」的粗略規則，不如記住一個原則：因素的指標愈多、負荷愈高、模型愈簡單，所需樣本便愈小，反之則需要相當大的樣本，這也呼應了第九章以蒙地卡羅規劃 SEM 樣本數的做法。報告的規範同樣重要：一份負責任的 CFA 報告，應交代完整的模型設定、所用的估計器、多個適配指標（並註明門檻只是參考）、標準化負荷與因素相關、以及任何做過的修正及其理由。就軟體而言，R 的 lavaan 與 Mplus 是最主流的工具，而 Kline (2016) 對整套 SEM 實務提供了權威而完整的參考；一如前面各章反覆強調，工具再強，也取代不了這一連串的判斷。
值得補充的是，CFA 與第六章的信度直接相連。一旦估出各題的標準化負荷與殘差變異，便可據以計算 omega 係數，這正是第六章所談、優於 alpha 的因素分析取向信度；換言之，一次設定良好的 CFA，同時交付了測量結構的檢驗與信度的估計。就雙因子模型而言，前述的階層 omega 更能回答「總分主要反映一般因素到什麼程度」。因此在報告 CFA 時，一併報告以模型為基礎的信度，遠比另外計算一個與模型脫節的 alpha 來得一致而誠實。
小結與前沿
驗證性因素分析，是一個可否證的測量模型：它把「哪題測哪個構念」寫成一組明確的約束，再以第十二章的估計與適配工具，把這個假設放到資料面前嚴格受檢。它是 EFA 的「驗證」對偶：EFA 生成結構假設，CFA 檢驗它。本章的幾個核心訊息值得記牢：辨識是估計的前提；估計器要看資料型態選（ML／MLR／WLSMV＋FIML）；適配評鑑要靠多個指標加上判斷，而非死守 Hu-Bentler 的黃金門檻；而修正指標是甜美的毒藥，無理論的修模型，會把驗證偷換成探索。
前沿方面，貝氏 CFA 提供了一條迷人的中間道路。傳統 CFA 要求交叉負荷「嚴格等於零」，這往往過於死板；Muthén & Asparouhov (2012) 提出以「小變異的先驗」，讓那些交叉負荷「近似、但不完全等於零」，既保留了理論結構的骨架，又容許現實資料裡難免的微小交叉負荷。與之精神相近的還有正則化 SEM，以懲罰項自動決定哪些交叉負荷該保留、哪些該壓為零；而網絡取向（第三十五章）則更根本地追問，指標間的關聯是否真的須以共同因素來解釋。這些取徑的細節，將於第十六、三十三、三十五章分別展開。
CFA 也是通往後面兩章的橋樑。下一章的結構方程模型，會在 CFA 的測量模型之上，再加入「潛在因素之間的結構關係」，把「怎麼測」與「構念間怎麼相互影響」結合成一個完整的模型。而第十九章的測量不變性，則會用多群組 CFA，去檢驗「同一份量表，在不同群體、不同時點，是不是在測同一件事」，這是任何跨群體比較能否成立的前提。