認知診斷與診斷分類模型
前面數章的測量模型，無論是連續潛在能力的項目反應理論，或離散潛在類別的混合模型，回答的都是「這個人在某條潛在向度上位於何處」這類程度問題。然而在教學現場，教師真正想知道的往往不是「這名學生數學多強」，而是「他究竟會了哪些、還不會哪些」。一個總分七十分的學生，可能是「四項技能各掌握一半」，也可能是「三項全會、一項全不會」，這兩種人需要的補救截然不同，而一個連續的能力分數卻把他們混為一談。診斷分類模型（diagnostic classification models, DCM），又稱認知診斷模型，正是為回答這類「會不會」的問題而生：它不問「你多強」，而問「你掌握了哪幾項細部技能」。
本章要建立 DCM 作為一個「多向度、類別、驗證性」的測量模型家族。多向度，因為它同時判定多項技能；類別，因為每項技能的掌握與否是離散的；驗證性，因為技能與試題的對應關係由研究者事先以理論界定。DCM 有著雙重血緣：從第二十章看，它是加了理論約束的受限潛在類別分析；從第十七、十八章看，它是把連續的潛在能力，換成了一組離散的潛在屬性剖面。為使討論具體，全章以認知診斷研究的一份經典資料為貫穿實例，即分數減法測驗：它要診斷四項技能，即借位、通分、化簡與整數處理，而每一道分數減法題各自需要其中的某些技能組合。本章將以這個例子，一路走過模型設定、估計、分類報告與教學回饋。
換一個測量問題：從「多強」到「會不會」
認知診斷的思想根源，可追溯至 Tatsuoka (1983) 的規則空間（rule space）取向。她的洞見來自對學生錯誤的細膩觀察：學生在分數減法上的錯誤並非隨機，而往往源於系統性地誤用或缺漏某一條運算規則，例如「該借位時未借位」。若能由作答型態反推學生「缺了哪條規則」，測量便由「排出高低」轉為「診斷病灶」。這一取向把測量的目的，從常模參照的排序，移向標準參照的、可指引補救的細部回饋。
這個轉向也重新定義了測量的目標對象。傳統 IRT 的目標是估計一個連續的潛在能力 \theta；DCM 的目標則是判定一個離散的屬性剖面（attribute profile），即一組「會或不會」的二元判斷。就分數減法而言，模型要輸出的不是一個分數，而是一份形如「借位：會；通分：不會；化簡：會；整數處理：會」的診斷報告。這種以離散技能剖面為目標的測量，天生就與形成性評量、學習診斷的需求相契合，也是 DCM 近年在教育測量中復興的動力。
屬性、剖面與 Q 矩陣
DCM 的三個基本構件是屬性、屬性剖面與 Q 矩陣。屬性（attribute）指所欲診斷的細部技能或知識成分，通常設為二元的潛在變項，即掌握（記為 1）或未掌握（記為 0）。屬性剖面（attribute profile）\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \dots, \alpha_K) 是某位受測者在全部 K 個屬性上的掌握型態；K 個二元屬性共可組成 2^K 種剖面，就分數減法的四個屬性而言，即 2^4 = 16 種可能的技能組合。
連結「屬性」與「試題」的橋樑，是 Q 矩陣（Q-matrix）。它是一個「試題 \times 屬性」的矩陣，其元素 q_{ik}=1 表示答對第 i 題需要掌握第 k 個屬性，q_{ik}=0 表示不需要。Q 矩陣把研究者對「每道題考什麼技能」的認知理論，寫成一張可供模型使用的設定表，如表 21.1 的分數減法例示。
| 試題 | 借位 | 通分 | 化簡 | 整數處理 |
|---|---|---|---|---|
| \frac{3}{4}-\frac{1}{4} | 0 | 0 | 1 | 0 |
| \frac{2}{3}-\frac{1}{6} | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 3\frac{1}{4}-1\frac{3}{4} | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 4\frac{1}{3}-1\frac{5}{6} | 1 | 1 | 1 | 1 |
註. q_{ik}=1 表示答對該題需要該屬性。Q 矩陣把「每道題需要哪些技能」的認知理論明文化，是 DCM 模型設定的核心，其正確與否直接左右診斷結果。
Q 矩陣的地位，在 DCM 中無可取代：它既是測驗設計的藍圖，也是模型設定的核心，更是連結認知理論與統計模型的接榫。正因如此，Q 矩陣一旦界定錯誤，整個診斷都會隨之偏斜，這一風險將於後文專門討論。就測驗編製而言，如何由構念界定推導出 Q 矩陣、並把它落實為測驗藍圖，是第二十二章測驗編製方法學的一環；本章則聚焦於「給定 Q 矩陣之後，模型與推論如何運作」。
DINA 與 DINO：兩種最簡規則
有了 Q 矩陣，還須指定一條「反應規則」，說明「一個人的屬性剖面，如何決定他答對某題的機率」。最簡單、也最具代表性的一條，是 DINA 模型（deterministic inputs, noisy-and gate），如下面的方塊所示 (Junker & Sijtsma, 2001; Torre, 2009)。
DINA 採取一種「全有全無」的連結邏輯：唯有當受測者掌握了某題所需的「全部」屬性時，才被期望答對；缺任一項，即被期望答錯。這一期望以理想反應（ideal response）\eta_{ij} 表示：
當受測者 j 掌握了第 i 題所需的每一個屬性時 \eta_{ij}=1，否則為 0（此即「and 閘」，缺一不可）。但真實作答帶有雜訊，故引入兩個試題參數：失誤率 s_i = P(X_{ij}=0 \mid \eta_{ij}=1)，即已掌握卻答錯的機率；猜測率 g_i = P(X_{ij}=1 \mid \eta_{ij}=0)，即未掌握卻答對的機率。反應函數遂為
其意涵一目了然：\eta_{ij}=1 者答對機率為 1-s_i（高），\eta_{ij}=0 者答對機率為 g_i（低）。DINA 因此只用兩個參數，就刻畫了一道題的全部作答行為。
DINA 的「缺一不可」是一種合取（conjunctive）邏輯，適合「所有步驟都對才算對」的題目，例如需要同時借位與通分的分數減法題。它的鏡像是 DINO 模型（deterministic inputs, noisy-or gate），採取析取（disjunctive）邏輯：只要掌握了所需屬性中的「任何一個」即被期望答對，適合「條條大路通羅馬」、有替代解法的情境。DINA 與 DINO 是最簡的兩種規則，各自對應一種極端的認知假設，其價值在於直觀與精簡；但真實的認知歷程往往介於「缺一不可」與「有一即可」之間，這便需要更一般的模型。
一般化：G-DINA 與 LCDM
DINA 把「掌握部分屬性」的所有情形都壓成同一個低機率 g_i，這在許多情境下過於粗糙：掌握了三項所需屬性中的兩項，直覺上應比一項都沒掌握更可能答對，DINA 卻視之為相同。一般化的模型鬆開了這個限制，讓「部分掌握」也能有區別地提升答對機率。
Torre (2011) 的一般化 DINA（G-DINA）不再只分「全掌握」與「非全掌握」兩檔，而是為某題所需屬性的「每一種掌握組合」各設一個答對機率。設第 i 題需要 K_i^* 個屬性，則其飽和參數化為
其中 \delta_{i0} 是截距（一項所需屬性都未掌握時的基準答對機率），各 \delta_{ik} 是單一屬性的主效果，各 \delta_{ikk'} 是屬性間的交互效果。這個式子與變異數分析或迴歸的飽和模型形式上完全相同，只是預測變項換成了二元的屬性掌握指標。DINA、DINO 以及其他常見模型，都可由對這組 \delta 參數施加特定約束而得到，因而 G-DINA 成為一個能統攝眾多特例的一般框架。
與 G-DINA 精神相通、卻由另一條路建構的，是 Henson et al. (2009) 的對數線性認知診斷模型（log-linear cognitive diagnosis model, LCDM）。它把答對機率的 logit 寫成屬性主效果與交互效果的對數線性組合，本質上是把 G-DINA 放進廣義線性模型的語言，這也再次呼應了第十八章「測量模型多可統一於廣義線性混合模型」的主題。更廣的一般診斷模型（general diagnostic model, GDM；(Davier, 2008)）則進一步容許屬性為多級而非僅二元，並以連結函數統攝連續與離散的潛在結構。這些一般化模型的共同貢獻，是把原本各自為政的診斷模型，收攏為一個由連結函數與參數約束所組織的統一家族，其系統整理見 Rupp et al. (2010) 與 Davier & Lee (2019)。
三張地圖：DCM、受限 LCA 與 MIRT
DCM 的位置，可由它與另外兩類模型的關係來三角定位，如下面的概念方塊所示。
同一個 DCM，可以在三種語言中被等價地描述：
作為受限 LCA：K 個二元屬性界定了 2^K 個潛在類別，而 Q 矩陣與反應規則對各類別的答對機率施加了約束。無約束時即退回一般的潛在類別分析（第二十章）。
作為離散化的 MIRT：把多向度 IRT（第十八章）的連續潛在能力向量，換成離散的二元屬性向量，即得 DCM。兩者共享「多個潛在維度共同決定答對機率」的骨架。
作為驗證性的測量模型：Q 矩陣扮演了如同驗證性因素分析中「負荷型態」的角色，事先規定哪道題載於哪個屬性，使模型可被資料否證。
三種身分並非三個模型，而是同一模型的三個切面，各自接通了本書不同章節所建立的機制。
這三張地圖的實用價值，在於它讓 DCM 不再是一套要從頭學起的孤立技術。理解 LCA 的人，可把 DCM 看成「加了 Q 矩陣約束的 LCA」；熟悉 IRT 的人，可把它看成「屬性離散化的 MIRT」；而習慣因素分析的人，則可把 Q 矩陣看成一張二元的、事先固定的負荷型態。本章其後所談的估計、適配與分類，也都可在這三種語言之間自由轉譯。
估計與適配
DCM 的估計，沿用了混合模型的引擎。由於屬性剖面是未觀測的潛在類別，估計時須對其邊際化：一個反應組型的邊際機率，是各屬性剖面條件機率以剖面比例加權之和。在此基礎上，題目參數（如各題的 s_i、g_i 或 \delta）以邊際最大概似搭配 EM 演算法估計，與第二十章混合模型的估計邏輯完全平行；而屬性剖面的分布，可設為飽和（估計全部 2^K 個比例）或加以結構化（如假設屬性間獨立或服從高階模型）以節省參數。當屬性數眾多、2^K 過大時，貝氏取向以 MCMC 抽樣往往更為可行，其細節屬第三十三章。
模型與資料的適配檢驗，在 DCM 中同樣不可或缺，且分三個層次。絕對適配問「模型整體能否重現觀測資料」，常以反應組型的期望與觀察次數比較，或以邊際的雙題關聯統計量檢查局部依賴。試題適配（item fit）問「哪幾道題的模型設定有問題」，往往正是 Q 矩陣界定錯誤的線索。相對適配則以資訊準則（第十二章）在競爭模型間比較，例如判斷某題該用精簡的 DINA 或飽和的 G-DINA。忽略適配而逕自解讀診斷結果，與前面各章的告誡如出一轍：DCM 的分類再細緻，也唯有在模型設定正確時才有意義。
分類品質：正確率與屬性信度
DCM 的產出是分類，因此評估其品質的方式也與連續模型不同。估計完成後，每位受測者被指派一個屬性剖面，依據是後驗機率：對每一種可能的剖面，計算「在觀察到此人作答的條件下，他屬於該剖面的機率」，再取後驗機率最大者為其診斷（最大後驗，MAP），或報告各屬性掌握的後驗期望（EAP）。
給定題目參數，受測者 j 屬於屬性剖面 \boldsymbol{\alpha} 的後驗機率，由貝氏定理給出：
分子為剖面先驗機率乘上各題反應機率之積（在局部獨立下），分母對所有 2^K 個剖面加總。最大後驗分類取後驗機率最大的剖面；而單一屬性 k 的掌握機率，則由所有「\alpha_k=1」的剖面後驗機率加總而得。當某人的後驗機率高度集中於單一剖面時，分類明確；若後驗分散於數個剖面，則診斷帶有不確定性。
分類既然帶有不確定性，就須有指標量化其可靠程度。分類正確率（correct classification rate）以模擬估計「被正確歸類的比例」，可分屬性層次（每項技能判對的比例）與剖面層次（整份剖面完全判對的比例）。而屬性層次的分類一致性與精確性指標，則扮演了 DCM 版本的信度，回答「若重測，屬性判定有多穩定」。此處與第六章的信度概念遙相呼應：連續測量以測量誤差刻畫精度，分類測量則以「判對、判穩的機率」刻畫精度，兩者形異而神同。一份負責任的診斷報告，不應只給出剖面，還應交代其分類的可靠程度。
Q 矩陣的效度與修訂
DCM 一切推論的正當性，都繫於 Q 矩陣是否正確。這使 Q 矩陣的效度，成為診斷測量中最關鍵、也最脆弱的一環。若某道題實際需要的屬性與 Q 矩陣所載不符，例如漏標了一個實際需要的屬性，或多標了一個其實不需要的，則該題的參數估計會偏誤，連帶扭曲相關受測者的分類。
因應之道分兩個層次。事前，Q 矩陣應由領域專家依認知理論審慎界定，並輔以認知實驗室的作答歷程分析（如放聲思考）加以檢核，使它真正反映題目所調動的認知歷程，而非事後憑統計湊出。事後，則發展出多種以資料驅動的 Q 矩陣修訂方法，其思路是比較「Q 矩陣所預測的作答型態」與「實際觀察到的型態」，標記出兩者不合的試題與屬性，建議增刪某個 q_{ik}。這些方法能有效指出可疑之處，卻不能取代理論判斷：一個純由資料修出的 Q 矩陣，可能適配良好卻喪失了認知詮釋。Q 矩陣的建立，因而始終是理論與資料交互驗證的歷程，而非任一方可獨力完成。
至於 Q 矩陣在什麼條件下能被唯一辨識，是一個技術性的問題，其結論的直覺是：每個屬性都必須有足夠多、且型態夠分散的題目來「定位」它。若某個屬性只被極少數題目所需要，或若干屬性總是成對出現、從不單獨出現，模型便難以把它們分開，屬性的掌握狀態也就無法被可靠地估計。完備性，即每個屬性至少須有題目單獨測量，是可辨識性的一個直觀必要條件。
retrofitting 的誘惑與風險
DCM 能輸出細緻的技能診斷，這個誘人的前景，催生了一種普遍卻危險的做法，即所謂的 retrofitting：把 DCM 事後套用到一份「原本並非為診斷而設計」的既有測驗上，例如一份現成的大型成就測驗，事後補一張 Q 矩陣，宣稱由此得到了技能診斷。
這個做法的風險，根源於 DCM 與傳統測驗在設計哲學上的根本差異。一份為排序而設計的測驗，其題目通常各自測量寬泛而混合的能力，並不刻意讓每項細部技能都有足夠多、足夠純的題目來支撐診斷；把 Q 矩陣硬套上去，往往得到辨識不良、屬性彼此糾纏的模型，其「診斷」的細部宣稱缺乏足夠的資訊支撐。更深一層，測量的效度是設計出來的，不是事後套模型套出來的：若一份測驗從未依診斷目的來規劃其藍圖與題目，那麼即使 DCM 在統計上勉強收斂，其屬性分類的效度也高度可疑。這一警示與第七章效度論證取向、以及本書一貫的立場一致：模型的適配，永遠不能替代設計的正當性。真正的診斷測驗，應如第二十二章所述，自屬性界定與 Q 矩陣出發，正向地設計出來。
應用：形成性評量與學習診斷
DCM 最自然的應用場域，是形成性評量。相對於總結性評量只給一個分數，形成性評量的目的是回饋於教與學，而 DCM 所輸出的屬性剖面，恰好提供了可操作的回饋：它告訴教師「這名學生會了借位與化簡，卻卡在通分」，於是補救可以精準地對準那個未掌握的屬性，而非籠統地「多練幾題」。就分數減法而言，一份 DCM 報告能把全班學生依其未掌握的技能分群，讓教學資源投注於最需要的環節。
這類應用也延伸到大型評量的診斷再分析，以及線上學習系統的即時診斷。然而，診斷回饋的價值，最終取決於一個仍待更多實證的問題：這些細緻的分類報告，是否真的改變了教學、進而提升了學習？一份技術上精確的診斷，若無法轉化為有效的教學行動，其實務意義便有限。因此，DCM 的效度評鑑，不能止於分類的統計品質，還須延伸到「診斷回饋是否帶來學習上的實質改善」這一後果層次的證據，這也正是第七章後果效度關切的具體體現。
前沿：階層、縱貫與知識追蹤
DCM 仍是一個活躍發展的領域，幾個方向特別值得一提。其一是屬性階層模型：許多技能之間存在先備關係，例如須先會通分才能做異分母加減，把這類階層約束納入模型，能減少參數、貼合認知現實，並勾勒出學習路徑。其二是縱貫診斷模型：把 DCM 與潛在轉移的思路結合，追蹤同一名學生的屬性掌握如何隨學習而變動，等於為學習軌跡提供了逐項技能的診斷追蹤，與第二十九章的縱貫建模相呼應。其三是探索式或正則化的 Q 矩陣估計：以懲罰或搜尋的方法，讓資料協助判定 Q 矩陣的元素，緩解純靠專家界定的主觀性。
一個尤其值得關注的前沿對話，是 DCM 與知識追蹤（knowledge tracing）的相遇。知識追蹤源自教育資料探勘與機器學習的傳統，同樣試圖由學生的作答序列，即時推斷其對各知識點的掌握狀態，晚近更以深度神經網路實作。它與 DCM 追求的目標高度重疊，卻來自迥異的學術傳統：DCM 重視參數的可解釋性與模型的效度論證，知識追蹤則重視預測的準確性與對大規模序列資料的擴充性。兩個傳統如何相互借鏡，即 DCM 如何吸納知識追蹤的縱貫預測力，知識追蹤又如何補上 DCM 的心理計量嚴謹性，是一場正在進行、尚無定論的對話，其計算面的細節與機器學習的交會，將於第三十四章再現。
小結
診斷分類模型把測量的問題，由「這個人多強」轉為「他會了哪幾項技能」，從而把測量的產出，由一個連續分數轉為一份可指引補救的技能剖面。本章的核心可收攏為幾點：屬性、屬性剖面與 Q 矩陣是 DCM 的三個基本構件，而 Q 矩陣作為認知理論與統計模型的接榫，其效度是一切診斷的地基；DINA 與 DINO 是最簡的合取與析取規則，G-DINA 與 LCDM 則把它們統攝為一個由參數約束與連結函數組織的一般家族；而 DCM 的三重身分，即受限 LCA、離散化 MIRT 與驗證性測量模型，把它接回了本書前面各章所建立的機制。
DCM 也標誌著第四部「潛在變項測量模型」的收束。回望這一部，從連續潛在變項的因素分析、結構方程與項目反應理論，到離散潛在變項的混合模型與診斷分類模型，看似分歧的技術，其實共享同一副潛在變項的骨架，差別只在潛在變項是連續或類別、測量是探索或驗證、目的是排序或診斷。理解了這副共同骨架，這些模型便不再是一份要逐一背誦的清單，而是同一種思考方式在不同設定下的展開。至此，測量的模型已大致齊備；接下來的第五部，將把這些測量理論帶出實驗室，落實到測驗如何編製、如何等化、如何適性施測、如何確保公平這些最貼近實務與社會的層面。