第 1 章 · 多層次資料，多層次問題

假設一位研究者想知道：花較多時間寫數學作業的學生，數學成績是否比較高？資料來自一項全國性調查，抽樣時先抽學校，再從每一所學校中抽學生。研究者把所有學生放在一起，以數學成績對作業時間跑一個普通迴歸，得到一個很大且高度顯著的斜率，便據此寫成論文。審查委員退回稿件，並提出三個問題：同一所學校的學生，真的是彼此獨立的觀察值嗎？這個斜率描述的是學生、學校，還是兩者的混合？答案會不會因學校而異？本章要說明的是：只要資料具有巢套結構，這三個問題就會出現；而且它們不是枝微末節的技術問題，而是研究問題實質內容的一部分。

1.1什麼是多層次分析#

Snijders 與 Bosker (2012) 把多層次分析描述為一套方法論，用來處理變異型態複雜的資料，並特別關注彼此巢套的變異來源。學生的分數在其班級平均數上下變動，班級在其學校平均數上下變動，學校則在母群平均數上下變動。這些變異來源各自都可能值得研究，也都可以和在相應層次上測量的解釋變項連結起來。多層次模型就是同時呈現所有這些變異來源的統計模型，模型中也納入一般認為能夠解釋這些變異的解釋變項。

多層次模型幾乎在同一時期於好幾個學科中各自發展，因此有好幾個名稱（表 1.1）。在教育與心理學領域，最常見的名稱是階層線性模式（hierarchical linear model） (Raudenbush & Bryk, 2002)與多層次模型（multilevel model） (Goldstein, 2011; Hox et al., 2018; Snijders & Bosker, 2012)。在統計學與生物統計學中，同樣的模型稱為線性混合效果模型（linear mixed model）或混合效果模型（mixed-effects model） (Laird & Ware, 1982; Verbeke & Molenberghs, 2000)，因為它結合了兩種效果：在各組之間維持不變的固定效果，以及隨組而異的隨機效果。其他名稱還有隨機係數模型 (Longford, 1993)、變異成分模型 (Searle et al., 1992)、用於縱貫性資料的成長曲線模型 (Singer & Willett, 2003)，以及階層貝氏模型 (Gelman & Hill, 2007)。這些名稱強調的面向不同，但就連續的結果變項而言，指的是同一族模型；其中階層貝氏的版本為參數加上先驗分配，並以貝氏方法估計（第 13 章）。廣義線性混合效果模型（generalized linear mixed model）則把同一族模型推廣到二元、次序與計數結果變項，是本書第 VI 篇的主題。

表 1.1 多層次模型的各種名稱

名稱	名稱所強調的面向	常見領域
階層線性模式（HLM）	為巢套結構的每一個層次分別寫出方程式	教育、心理學
多層次模型	數個層次上的變項與變異	教育、社會學、心理學
線性混合效果模型	包含固定效果與隨機效果的單一方程式	統計學、生物統計學、語言學
隨機係數模型	隨組而異的迴歸係數	統計學、經濟學
變異成分模型	把結果變項的變異數分割成各層次的成分	統計學、遺傳學、測量
成長曲線模型	每個人各自的時間軌跡	發展心理學、臨床心理學
階層貝氏模型	參數服從某個分配，而該分配有自己的參數	統計學、認知科學
廣義線性混合效果模型（GLMM）	二元、次序或計數結果變項模型中的隨機效果	以上所有領域

註：這些名稱彼此重疊；就連續結果變項而言，它們指的是同一族模型，只是寫法不同（見第 2 章）。

本書交替使用多層次模型、階層線性模式與線性混合效果模型這三個名稱，並視當下哪一種寫法最有助於說明而選用。第 2 章會說明，同一個模型可以用三種等價的方式寫出：一組分層方程式、單一的合併方程式，以及描述結果變項平均數與共變數的邊際模型；能在這三種寫法之間自由轉換，正是讀懂任何統計軟體輸出的關鍵。

1.2階層無所不在#

1.2.1巢套資料的例子#

心理學、教育、健康與社會科學的資料經常是分組的。學生在班級中上課，班級隸屬於學校；病人接受治療師的治療，治療師則在診所工作；員工在公司內的團隊中工作；調查受訪者由訪員訪問，並住在抽樣地區內的家戶中。表 1.2 列出幾個領域的例子。在每一列中，某一欄的單位都巢套於下一欄的單位之內，只有表中註明為交叉的分類例外。

表 1.2 心理學與社會科學中的階層結構實例

領域	第一層	第二層	第三層（若有）
教育	學生	班級	學校
發展心理學	兒童	家庭	鄰里
臨床心理學	病人	治療師	診所
組織心理學	員工	工作團隊	公司
調查研究	受訪者	訪員或家戶	抽樣地區
縱貫研究	測量時間點	個人	群組（如學校）
經驗取樣	每日或即時報告	個人	伴侶或家庭
實驗心理學	試次	參與者（與刺激交叉）	實驗室
測量	試題反應	個人（與試題交叉）	學校或國家
後設分析	研究參與者	研究	研究團隊
跨國研究	個人	國家－年度調查	國家

註：每一列由最低層次（第一層）往較高層次排列。「與……交叉」表示第二種分類方式，它並不巢套於第一種分類之中（見圖 1.1）。

表中有兩項值得說明。第一，對同一批人的重複測量也構成階層：測量時間點（第一層）巢套於個人（第二層）之中。因此，縱貫性資料與重複測量資料都是多層次資料，而現代對改變的分析，大多就是多層次分析 (Hoffman, 2015; Singer & Willett, 2003)。第二，有些結構並非嚴格巢套。在每位參與者都要對每一個刺激作反應的反應時間實驗中，每個試次（trial）同時依參與者與刺激來分類，而兩種分類都不巢套於另一種之中 (Baayen et al., 2008; Judd et al., 2012)。

1.2.2五種資料結構#

圖 1.1 把五種常見結構畫成單位圖（unit diagram）：每個方框或圓圈代表一個單位，每一條線代表「隸屬於」(另見 Browne et al., 2001)。在兩層次（two-level）結構中（小圖 a），每位學生都恰好隸屬於一所學校。在三層次（three-level）結構中（小圖 b），學生隸屬於班級，班級隸屬於學校。在重複測量（repeated-measures）或縱貫結構中（小圖 c），測量時間點隸屬於個人，而每個人的觀察次數可以不同。在交叉分類（cross-classified）結構中（小圖 d），學生同時隸屬於一個鄰里與一所學校；由於同一鄰里的學生分別就讀不同學校，而每一所學校的學生也來自好幾個鄰里，兩種分類都不巢套於另一種之中 (Rasbash & Goldstein, 1994)。在多重隸屬（multiple-membership）結構中（小圖 e），有些學生隸屬於不止一所學校，例如他們在學年中轉學，而每一段隸屬關係都有一個權數。

圖 1.1：以單位圖呈現的五種多層次資料結構 — 圖 1.1 以單位圖呈現的五種多層次資料結構

本書第 II 至 V 篇主要處理小圖 (a) 至 (c) 的巢套結構。交叉分類與多重隸屬結構在第 26 章討論；人與試題交叉的設計，則會在測量的那一章（第 30 章）再次出現。

1.2.3層次、單位與術語#

一個單位的層次（level），是它在階層中的位置。依慣例，最低的層次（通常也是測量結果變項的層次）稱為第一層。第一層單位也稱為微觀層次單位、基本單位或個體；第二層單位則稱為鉅觀層次單位、叢集或組。本書多半使用「第一層單位」與「叢集」（或直接使用實質名稱，例如學生與學校）；當叢集的種類無關緊要時，則以「組」作為中性的用詞。第二層單位的個數記為 $J$ ，叢集 $j$ 中第一層單位的個數記為 $n_{j}$ ，第一層單位的總數則為 $N = \sum_{j} n_{j}$ 。

變項（variable）也有層次，也就是測量該變項的單位所在的層次。數學成績與作業時間是學生層次（第一層）變項；學校公私立別與生師比則是學校層次（第二層）變項。學校層次變項也可以由學生資料聚合而成：一所學校學生的平均社經地位是學校層次變項，即使它是由學生層次的分數計算而來。反過來，研究者也常把學校層次變項附加到資料檔中每一位學生的那一列（即解構），因此同一個值會出現在許多列上。在叢集內有變動的欄位是第一層變項；但在叢集內維持不變的欄位，可能是第二層變項，也可能是剛好在這筆資料中沒有變動的第一層變項。變項的層次取決於研究設計與變項的定義，而不是檔案中數值的樣貌。

1.2.4變項在哪一層：初探 plate#

本書用同一套圖形語法來畫每一個模型，也就是統一模型圖（Unified Model Graph, UMG） (Yu, 2026a, 2026b)，第 2 章會完整介紹。這套語法中有一個元素從一開始就很有用：plate 是一個圓角方框，意思是「對這個層次的每一個單位重複」(Buntine, 1994)。單位彼此巢套時，plate 也跟著巢套。一個變項帶有哪些 plate 的索引，就畫在這些 plate 之內，並位於其他所有 plate 之外。

圖 1.2：變項在哪一層：以 plate 呈現的三種資料結構 — 圖 1.2 變項在哪一層：以 plate 呈現的三種資料結構

圖 1.2 呈現三個例子。在小圖 (a) 中，學生 plate（ $i = 1, \dots, n_{j}$ ）位於學校 plate（ $j = 1, \dots, J$ ）之內。學生變項 $x_{ij}$ 與 $y_{ij}$ 畫在學生 plate 內，因為每位學生的值都不同；學校變項 $z_{j}$ 則在學校 plate 內、學生 plate 外，因為每所學校只有一個值。在小圖 (b) 中，測量時間點（ $t$ ）巢套於個人（ $i$ ）之中：年齡或時間 $a_{t i}$ 與結果變項 $y_{t i}$ 隨測量時間點而改變，性別 $w_{i}$ 這類穩定的特徵則不會改變。在小圖 (c) 中，人與試題交叉：反應 $y_{j k}$ 位於個人 plate 與試題 plate 重疊之處，因為每一種人與試題的組合都有一個反應；個人變項（如 $w_{j}$ ）與試題變項（如 $d_{k}$ ）則只位於兩個 plate 其中之一。方程式中的下標與圖中的 plate 傳達的是相同的資訊。能把研究中每一個變項放進正確 plate 的讀者，已經掌握了多層次分析與一般分析之間大部分的差別。

1.3為什麼同一組的成員彼此相似#

同一對親生父母所生的孩子，往往比從母群中隨機抽出的孩子更相像。他們之所以相像，是因為共享基因、共享環境，而且通常兩者兼有。同一所學校的學生也是如此，只是理由不同。同校學生處在相同的學校環境中，往往也有相同的老師；他們透過直接接觸與共同的規範彼此影響；而且他們多半來自同一個鄰里，所以在入學之前就已經相似。一般而言，一個組的成員彼此相似，有四類原因：他們共享共同的脈絡（學校資源、治療師的技巧、主管的風格）；他們進入這個組的方式與自身特徵有關（家庭選擇鄰里與學校；病人選擇診所）；他們彼此互動、相互影響（相互傳染、規範、競爭）；以及他們的測量方式相同（同一位訪員、同一位評分者、同一場施測）。

不論機制為何，後果都一樣：同一組的觀察值在統計上彼此依賴。知道一位學生的分數，就能讓我們對同校另一位學生可能的分數多一些了解，而這是單憑母群平均數得不到的。表 1.3 以一種簡單的測量——血壓——在四種設計下的情形，把這個概念具體化。當設計從彼此無關的個人（設計 I）推進到對許多家庭成員的重複測量（設計 IV），新的變異來源會逐一加入，而每一個由數個測量值共享的新來源，都會在這些測量值之間帶來一種新的依賴。

表 1.3 四種血壓測量設計中的變異來源

設計	血壓的測量方式	變異來源
I	對許多彼此無關的人各測量一次	測量誤差；個人之間的差異
II	對許多家庭的每一位成員各測量一次	測量誤差；成員之間的差異；家庭之間的差異
III	對每個人在不同時間或條件下重複測量	測量誤差；序列（與時間有關的）變異；個人之間的差異
IV	對許多家庭的每一位成員重複測量	測量誤差；序列變異；成員之間的差異；家庭之間的差異

註：設計 II 與設計 III 各自在設計 I 之上增加一個變異來源，設計 IV 則同時包含這兩項增加。凡是由數個測量值共享的新增來源，都會使這些測量值之間產生依賴。

有人把相依性當成一種麻煩：一種必須「校正」的獨立性假定違反。把它看成資訊會更有用。學校之間的變異有多大，以及加入解釋變項之後這個變異如何改變，可以告訴我們各校的結果相差多少，以及哪些變項能解釋這些差異。重複測量資料中個人之間的變異，可以告訴我們個別差異有多穩定。在許多研究中，相依性本身就是研究所關注的現象。

1.4多層次資料從何而來#

資料集的結構取決於資料的蒐集方式。通往多層次資料的路大致有兩條：採用多階段抽樣的觀察研究，以及以群組為單位組成或分派的實驗。

1.4.1觀察研究與多階段抽樣#

大型調查很少直接從個人中抽取簡單隨機樣本。先隨機抽出學校，再從每一所抽中的學校隨機抽出班級，接著從每一個抽中的班級抽出學生，成本要低得多。這種多階段抽樣（multistage sampling）又稱叢集抽樣，符合成本效益，但它所產生的資料，其初級抽樣單位是叢集 (Kish, 1965)。多層次分析的常見假定正反映了這樣的抽樣設計：第二層單位是從第二層單位的母群中抽出的隨機（或至少具代表性的）樣本；而在每一個抽中的第二層單位內，第一層單位則是從該單位抽出的隨機（或具代表性的）樣本。當這些假定大致成立時，樣本中各校之間的變異就可以用來估計母群中學校之間的變異，推論也就能擴及一般的學校，而不只限於樣本中的學校。

本書使用的許多資料集都來自這類設計。National Education Longitudinal Study of 1988（NELS:88）先抽學校，再從學校中抽八年級學生；第 5 章使用的 High School and Beyond 調查也有相同的結構；PISA 等國際評量先抽學校，再從校內抽學生，TIMSS 則是先抽學校，再從校內抽出完整的班級。無論哪一種情形，分析都必須顧及樣本的各個抽樣階段。

台灣案例台灣教育長期追蹤資料庫

台灣教育長期追蹤資料庫（Taiwan Education Panel Survey, TEPS）由中央研究院學術調查研究資料庫（Survey Research Data Archive, SRDA）釋出，始於 2001 年，包含兩個世代：七年級（國一）學生，以及就讀高中、高職與五專的十一年級（高二及五專二年級）學生。其抽樣設計先抽學校，再從學校中抽班級，然後從班級中抽學生；學生的家長、老師與學校行政人員也分別填寫各自的問卷。因此，TEPS 的設計至少有三個層次（學生、班級、學校）；又因為同一批學生追蹤了好幾波，一旦要研究改變，就會出現第四個層次（學生內的測量時間點）。教師的報告還帶來另一層複雜性：老師描述的是一個班級，而不是個別學生，所以教師變項是班級層次的變項，即使它們儲存在每一位學生的那一列上。後續各章的「台灣案例」方框會再以 TEPS 作為研究設計的例子；本書並不分析任何 TEPS 資料。

1.4.2實驗#

實驗也會產生階層。把病人隨機分派到不同診所，或把學生隨機分派到不同班級時，隨機分派能確保各組在研究開始時沒有系統性的差異，卻不會讓同組成員在分派之後彼此獨立。在同一家診所接受治療的病人，面對相同的醫護人員與程序；同一班的學生有同一位老師，也會互相影響。分組在研究開始時或許是隨機的，但隨著研究進行，各組會逐漸分化，因為組會影響其成員，成員也會影響組。

若以整個群組（學校、診所、社區）為單位隨機分派到各個條件，這種設計稱為集群隨機試驗（cluster-randomized trial）或群組隨機試驗 (Murray, 1998; Raudenbush, 1997)。這時處理只在叢集之間變動；而且如第 1.6 節所示，研究對處理效果能提供多少資訊，主要取決於叢集的數目，其次才是個人的數目。

1.4.3縱貫、密集與交叉設計#

在縱貫研究中，同一批人接受重複測量，所以測量時間點巢套於個人之中。傳統的重複測量變異數分析要求平衡設計：所有人都在相同的時間點測量，而且沒有遺漏資料。多層次分析則允許不同的人在不同時間、以不同次數接受測量，可以納入隨時間改變的解釋變項，也可以為同一個人的殘差在時間上的相關建立模型 (Hedeker & Gibbons, 2006; Singer & Willett, 2003)。在日記研究與經驗取樣研究中，參與者在數週內每天多次報告自己的情緒或行為，每人會有數十甚至數百個測量時間點，分析時用的也是同樣的模型 (Bolger & Laurenceau, 2013)。在實驗心理學中，若每位參與者都要對許多刺激作反應，所產生的試次就同時依參與者與刺激分類；只要研究結論意在推論到其他刺激，就必須把刺激當成隨機因子 (Judd et al., 2012)。

1.5初探多層次資料#

1.5.1NELS:88 的兩所學校#

NELS:88 由美國教育部的國家教育統計中心（National Center for Education Statistics）執行。第一波資料於 1988 年春季蒐集，測量了約 1,000 所學校、約 25,000 位八年級學生。Kreft 與 de Leeuw (1998) 公開了其中 23 所學校、519 位學生的子樣本，本書會反覆使用這筆資料（資料說明見附錄 C）。結果變項是數學測驗分數；其中一個學生層次的解釋變項，是學生自陳每週花在數學作業上的時間，依序分為八個等級，從「完全沒有」到「10 小時以上」。

圖 1.3 畫出 23 所學校中兩所學校的數學成績與作業時間，表 1.4 則整理了這兩所學校的描述統計。學校 24725 是公立學校，學生的社經地位（socioeconomic status, SES）低於平均；學校 62821 是私立學校，學生的 SES 遠高於平均。兩所學校幾乎在每一方面都不同。它們的數學平均分數相差約 19 分；私立學校學生自陳的作業時間較多（作業等級代碼的平均數為 3.3 對 1.6；這些代碼是有次序的類別，不是時數）；公立學校的分數分散程度較大。對本章開頭的問題而言，最重要的是作業與數學成績之間的關係也不同：公立學校的最小平方斜率約為每個作業等級 5.6 分，私立學校則約為 1.1 分。

圖 1.3：兩所 NELS:88 學校的數學成績與每週作業時間 — 圖 1.3 兩所 NELS:88 學校的數學成績與每週作業時間

表 1.4 兩所 NELS:88 學校：描述統計與校內數學成績對作業時間的迴歸

		數學成績				校內 OLS 迴歸
學校	$n_{j}$	平均數	SD	作業時間	SES	截距	斜率
24725（公立）	22	43.5	10.0	1.64	$-$ 0.70	34.4	5.59
62821（私立）	67	62.8	5.7	3.30	1.04	59.2	1.09
合併（兩校）	89	58.1	10.9	2.89	0.61	48.0	3.49

註： $n_{j}$ = 學生人數；作業時間 = 八等級作業時間編碼（0–7）的平均數；SES = 標準化社經地位的平均數；截距與斜率 = 數學成績對作業時間編碼的普通最小平方（OLS）迴歸。

如果把兩校學生合併起來，配適單一條迴歸線，斜率約為 3.5。這條合併斜率兩所學校都描述不了。它把學校內作業與數學成績之間的關係，和學校之間的差異混在一起；而兩校在作業時間與數學成績上的差異，原因可能與作業本身沒什麼關係（公私立別、SES，以及其他任何使兩校不同的因素）。這個小例子已經引出了本章開頭審查委員的全部三個問題。

1.5.2Junior School Project 的五十所學校#

Junior School Project (JSP; Mortimore et al., 1988)追蹤內倫敦 50 所小學的近 2,000 位學生，涵蓋他們在初級學校（junior school）的四個學年（1980–1984）；自 Goldstein (1987) 以來，這筆資料一直是示範多層次模型的常用資料。這裡使用的是流傳甚廣的版本，包含其中三個學年的測驗分數：49 所學校、1,192 位學生的 3,236 筆紀錄，其中 1,093 位學生同時有第 0 年與第 1 年的數學成績。

圖 1.4 以兩種方式呈現第 0 年與第 1 年數學成績之間的關係。小圖 (a) 呈現一所學校（學校 1）的學生。兩者的關係很強（這 32 位學生的 $R^{2} = .70$ ），而且大致呈線性。小圖 (b) 呈現 49 所學校各自的最小平方迴歸線，每條線只畫在該校觀察到的第 0 年分數範圍內。各校的校內 $R^{2}$ 約有 80% 介於 .35 與 .82 之間（第 10 與第 90 百分位數），因此在大多數學校，先前的成就都能很好地預測後來的成就。然而，這些線並不相同：它們的高度不同（第 0 年分數相同的學生，在某些學校的第 1 年分數往往高於在其他學校），斜率也不同（斜率的中位數是 0.85，但範圍從接近零到 1.3）。第一種差異是學校效能研究關心的問題：在考量入學程度之後，哪些學校的表現優於預期 (Aitkin & Longford, 1986)？第二種差異問的則是：學校對先前成就低與高的學生是否同樣有效。

圖 1.4：Junior School Project 中第 1 年數學成績對第 0 年數學成績的迴歸 — 圖 1.4 Junior School Project 中第 1 年數學成績對第 0 年數學成績的迴歸

只有兩所學校，甚至五所學校時，為每一所學校分別跑迴歸是描述資料的合理方式；如果研究者只對這幾所特定學校感興趣，這也是正確的分析。然而有 49 所學校時，各校分別估計的迴歸（在最小的幾所學校中雜訊最大）回答不了研究者通常會問的問題：一般而言，學校之間的差異有多大？哪些學校特徵可以解釋這些差異？考量到某一所學校只貢獻了少數學生，我們對這所學校效果的估計能有多少把握？一旦把這些學校視為從更大的學校母群中抽出的樣本，回答這些問題就需要一個模型，讓各校特有的截距與斜率本身成為具有某種分配的隨機量。這個模型就是多層次模型；隨機截距模型是第 5 章的主題，隨機斜率模型則是第 6 章的主題。

1.6相依性及其後果#

1.6.1組內相關係數#

描述巢套資料相依性最簡單的方式，是把結果變項的變異數拆成兩部分。把學生 $i$ 在學校 $j$ 的分數寫成整體平均數 $γ_{00}$ 、學校效果 $u_{0 j}$ 與學生層次殘差 $e_{ij}$ 三者之和：

y_{ij} = γ_{00} + u_{0 j} + e_{ij}, u_{0 j} \sim N (0, τ_{0}^{2}), e_{ij} \sim N (0, σ^{2}), (1.1)

其中 $u_{0 j}$ 與 $e_{ij}$ 彼此獨立。學校間變異數 $τ_{0}^{2}$ 衡量各校的真實平均數圍繞整體平均數變動的程度，學校內變異數 $σ^{2}$ 則衡量學生與自己學校平均數的差異有多大。式 (1.1) 是多層次的虛無模型（empty model），也稱為 null model 或 unconditional model；它就是第 3 章探討的單因子隨機效果變異數分析模型，也是第 5 章的起點。

組內相關係數（intraclass correlation, ICC）是總變異數中位於叢集之間的比例：

ρ_{I} = \frac{τ _{0}^{2}}{τ _{0}^{2} + σ ^{2}} . (1.2)

ICC 有兩種解讀，值得分開來看。它是結果變項的變異數中，可歸因於叢集間差異的變異數比例；它也是從同一個叢集中隨機抽出兩個不同的第一層單位時，兩者結果變項之間的相關。這兩種解讀都可以由式 (1.1) 推得：學校 $j$ 中的兩位學生共享 $u_{0 j}$ 這一項，因此他們的共變數是 $τ_{0}^{2}$ ；又因為每個分數的變異數都是 $τ_{0}^{2} + σ^{2}$ ，兩人分數的相關就是 $τ_{0}^{2} / (τ_{0}^{2} + σ^{2})$ 。

就 23 所 NELS:88 學校而言，虛無模型的估計值為 $\overset{τ}{^}_{0}^{2} = 26.1$ 、 $\overset{σ}{^}^{2} = 81.2$ ，因此估計的 ICC 為 $26.1/ (26.1 + 81.2) = .24$ 。數學成績的變異數約有四分之一位於學校之間；換個說法，同校兩位學生的分數，相關約為 .24。就美國全國性學校樣本的學業成就類結果變項而言，虛無模型（unconditional model）所得的 ICC 通常介於約 .15 至 .25 之間；在同質性較高的學校樣本中，數值則較小 (Hedges & Hedberg, 2007)。在重複測量資料中，ICC 往往大得多，因為個人之間穩定的差異占了變異數的很大一部分。

1.6.2設計效果與有效樣本數#

相依性會減少資料中獨立資訊的量。如果同一所學校的學生彼此是完全相同的複製品（ $ρ_{I} = 1$ ），那麼一所有 25 位學生的學校，對母群平均數所提供的資訊並不比一位學生多。如果學生彼此完全獨立（ $ρ_{I} = 0$ ），這所學校就提供 25 個獨立的觀察值。介於兩者之間時，資訊的損失可以用設計效果（design effect） (Kish, 1965)來概括。若各叢集大小相同，皆為 $n$ ，則

DEFF = 1 + (n - 1) ρ_{I}, (1.3)

而有效樣本數（effective sample size）為 $N_{eff} = N / DEFF$ 。設計效果是一個倍數：在總人數相同的情況下，叢集抽樣所得平均數的抽樣變異數，是簡單隨機抽樣的幾倍（見下方的「技術細節」方框）。以 NELS:88 為例，平均叢集大小為 22.6 位學生，取到小數第三位的 ICC 為 .243，設計效果約為 $1 + 21.6 \times .243 \approx 6.25$ （這是近似值，因為各校人數不同），因此這 519 位學生對整體平均數所提供的資訊，大約只相當於 $519/6.25 \approx 83$ 位獨立抽樣的學生。

技術細節設計效果從何而來

在式 (1.1) 之下，設每所學校都有 $n$ 位學生，則學校 $j$ 的學生平均數為 $\overset{y}{ˉ}_{j} = γ_{00} + u_{0 j} + \overset{e}{ˉ}_{j}$ ，因此 $Var (\overset{y}{ˉ}_{j}) = τ_{0}^{2} + σ^{2} / n$ 。 $J$ 所大小相同的學校，其整體平均數就是 $J$ 個彼此獨立的學校平均數之平均，因此

Var (\overset{y}{ˉ}) = \frac{τ _{0}^{2} + σ ^{2} / n}{J} = \frac{τ _{0}^{2} + σ ^{2}}{J n} \cdot \frac{n τ _{0}^{2} + σ ^{2}}{τ _{0}^{2} + σ ^{2}} = \frac{τ _{0}^{2} + σ ^{2}}{N} [1 + (n - 1) ρ_{I}] .

第一個因子 $(τ_{0}^{2} + σ^{2}) / N$ ，是總變異數相同的 $N$ 個獨立觀察值之平均數的變異數；第二個因子就是式 (1.3) 的設計效果。對迴歸係數而言，膨脹的程度還取決於預測變項本身的叢集程度：在各叢集大小相同時，膨脹因子約為 $1 + (n - 1) ρ_{x} ρ_{e}$ ，其中 $ρ_{x}$ 是預測變項的 ICC， $ρ_{e}$ 是殘差的 ICC (Moulton, 1990)。在叢集層次測量的預測變項， $ρ_{x} = 1$ ，會承受完整的設計效果。至於只在叢集內變動的預測變項，同一叢集中兩名成員的數值之間的相關為 $- 1/ (n - 1)$ ，因此膨脹因子為 $1 - ρ_{e}$ ：它的 OLS 標準誤會稍微偏大，而不是偏小。

1.6.3顯著性檢定會出什麼問題#

普通最小平方（OLS）迴歸、 $t$ 檢定與變異數分析，都假定觀察值彼此獨立。如果資料具有叢集結構，分析時卻忽略這個假定，公式就會把 $N$ 個觀察值當成 $N$ 筆獨立的資訊。對本身具有叢集結構的預測變項而言，尤其是叢集層次的預測變項，估計的標準誤會因此太小，信賴區間會太窄，也會過於頻繁地拒絕虛無假設 (Barcikowski, 1981; Kenny & Judd, 1986)。

圖 1.5 與表 1.5 以一個小型模擬呈現這個問題有多嚴重（模擬程式連同亂數種子與每一次重複的結果，都放在本書的儲存庫中；見本章最後的「上機實作」一節）。我們產生 40 個叢集，一半分派到「處理」組、一半分派到「控制」組，就像集群隨機試驗一樣。真正的處理效果為零，所以每一個顯著的結果都是第一類型錯誤。結果變項的 ICC 設為 0、.05、.10 或 .20，叢集大小設為 5、10、25 或 50。每一種條件重複 5,000 次，每一筆資料都以兩種方式分析：一是對所有個人做 OLS $t$ 檢定，這忽略了叢集結構；二是對 40 個叢集平均數做 $t$ 檢定，這顧及了叢集結構（在各叢集大小相同、且估計的叢集間變異數為正時，這個自由度為 $J - 2 = 38$ 的叢集層次檢定，與第 5 章隨機截距模型中自由度相同的處理效果 REML 檢定完全相同）。

圖 1.5：忽略叢集結構時，叢集層次處理效果檢定的第一類型錯誤率 — 圖 1.5 忽略叢集結構時，叢集層次處理效果檢定的第一類型錯誤率

表 1.5 圖 1.5 模擬中的第一類型錯誤率

			第一類型錯誤率（ $α = .05$ ）
ICC	$n_{j}$	設計效果	預測值（OLS）	OLS	叢集層次
.00	5	1.00	.050	.051	.052
.00	10	1.00	.050	.046	.046
.00	25	1.00	.050	.053	.050
.00	50	1.00	.050	.048	.049
.05	5	1.20	.074	.080	.056
.05	10	1.45	.104	.098	.046
.05	25	2.20	.186	.192	.050
.05	50	3.45	.291	.286	.049
.10	5	1.40	.098	.099	.049
.10	10	1.90	.155	.156	.054
.10	25	3.40	.288	.295	.052
.10	50	5.90	.420	.422	.049
.20	5	1.80	.144	.140	.050
.20	10	2.80	.241	.234	.046
.20	25	5.80	.416	.420	.060
.20	50	10.80	.551	.566	.053

註：ICC = 結果變項的組內相關係數； $n_{j}$ = 叢集大小（每一種條件都有 40 個叢集）；設計效果 $= 1 + (n_{j} - 1) ICC$ ；預測值（OLS）= 由設計效果推得的雙尾拒絕率 $2 Φ (- 1.96/ DEFF)$ ；OLS = 忽略叢集結構、以個人為單位的檢定；叢集層次 = 以 40 個叢集平均數進行的檢定。蒙地卡羅標準誤最大為 .007。

當 ICC 為零時，兩種檢定都維持在名目 .05 水準，這是應該的。ICC 一旦為正，OLS 檢定就會過於頻繁地拒絕虛無假設，而且超出的幅度隨 ICC 與叢集大小而增加。ICC 只有 .05、每個叢集 50 人時，OLS 檢定在 29% 的樣本中拒絕了為真的虛無假設；ICC 為 .20、叢集大小為 50 時，拒絕率達 57%。這些拒絕率與依設計效果所預測的值非常接近，顯示在這裡設計效果幾乎能解釋所有的偏差：OLS 標準誤太小，必須乘上 $DEFF$ 才是正確的大小。叢集層次的檢定在全部 16 種條件下都介於 .046 與 .060 之間；只有一個值（.060，ICC = .20、 $n_{j} = 25$ ）與 .05 的差距超過三個蒙地卡羅標準誤（每個約 .003）。這個教訓具有普遍性：對叢集層次變項的效果而言，限制有效樣本數的主要是叢集的數目，其次才是個人的數目。

1.6.4一個經典例子#

這個問題並不只存在於理論中。Bennett (1976) 研究不同教學風格的老師所教導的小學生在閱讀、數學與英語上的進步，並根據以學生為分析單位的分析報告：以「正式」（formal）風格教導的學生，進步顯著多於以其他風格教導的學生。Aitkin et al. (1981) 改用學生巢套於老師之內的變異成分模型，重新分析這筆資料。一旦模型呈現了同一位老師所教學生之間的相依性，不同教學風格之間的差異就不再具有統計顯著性。原因正如前文所述：同一班的孩子表現往往相似，因此每個孩子所提供的資訊，少於一個獨立抽樣的孩子所能提供的。教學風格是在老師之間變動，而不是在學生之間變動，因此比較教學風格，其實就是在比較老師。增加每位老師的學生人數，可以讓每位老師的平均數更精確；但老師之間比較的精確度，主要受限於老師的人數。這次重新分析以及隨後的討論，幫助多層次模型在教育研究中站穩了腳步 (Aitkin & Longford, 1986; Goldstein, 2011)。

1.7分析單位問題#

在多層次模型問世之前，擁有巢套資料的研究者只能在兩種不完美的分析之間二選一 (Burstein, 1980; Kreft & de Leeuw, 1998)。在解構分析（disaggregated analysis）中，研究者把叢集層次變項複製到每一個個人身上，然後在個人層次上分析資料，就像前述教學風格研究的做法。這種分析忽略了相依性，叢集層次變項的檢定會過於寬鬆，圖 1.5 已經顯示了這一點。在聚合分析（aggregated analysis）中，研究者先把個人分數在叢集內取平均，再分析叢集平均數。相依性的問題消失了，但叢集內的資訊也一併捨棄了；更嚴重的是，分析結果描述的是叢集，而不是個人。

1.7.1組內、組間與整體關係#

核心的困難在於：兩個個人層次變項之間的關係，可以拆解成兩種不一定相同的關係 (Cronbach, 1976)。一是組內關係（within-cluster relation），描述在 $x$ 上偏離所屬叢集平均數的個人，在 $y$ 上如何偏離所屬叢集平均數；二是組間關係（between-cluster relation），描述 $x$ 平均數不同的叢集，其 $y$ 平均數有何差異。把所有個人合併、忽略叢集所估計出的整體關係（total relation），則是這兩者的加權混合。

圖 1.6 以模擬資料呈現一個極端但很有啟發性的例子。在五個組的每一組內， $x$ 較高的個人 $y$ 較低（組內斜率為 $- 0.89$ ）。跨組來看， $x$ 平均數較高的組， $y$ 平均數也較高（組間斜率為 $+ 0.89$ ）。忽略組別的單一迴歸（小圖 a）得到 $0.70$ 的正斜率；這個斜率受組間關係主導，錯誤地描述了同一組內個人之間 $x$ 與 $y$ 的關係。只有把組內與組間成分分開（小圖 b），資料的結構才會顯現出來。若某個關係在考慮分組變項之後正負號反轉，就是辛普森悖論（Simpson’s paradox）的實例 (Simpson, 1951)。

圖 1.6：組內、組間與整體關係的正負號可能不同 — 圖 1.6 組內、組間與整體關係的正負號可能不同

1.7.2生態謬誤與原子謬誤#

混淆層次會導致兩種推論錯誤。生態謬誤（ecological fallacy）是根據聚合單位之間觀察到的關係，對個人下結論的錯誤。Robinson (1950) 指出，由美國各地區或各州的平均數計算出的相關，可能與個人之間相應的相關相差甚大，甚至正負號相反。在圖 1.6 中，若根據組平均數之間的正向關係，就斷定 $x$ 較高的個人 $y$ 往往也較高，便犯了生態謬誤。相反的錯誤是原子謬誤（atomistic fallacy）（又稱個體謬誤，individualistic fallacy），也就是根據個人之間觀察到的關係，對群組下結論 (Alker, 1969; Hox et al., 2018)。若根據負的組內斜率，就斷定 $x$ 平均數較高的組， $y$ 平均數必定較低，便犯了原子謬誤。

聚合與解構都無法解決這個問題，因為問題並不在於分析單位的選擇。兩種關係都存在，都可能具有實質意義，也都可以估計。多層次模型可以同時估計組內與組間關係，並允許兩者不同，也讓我們能夠檢驗兩者是否真的不同。具體該怎麼做，以及答案如何取決於預測變項的平減方式，是第 7 章的主題。

1.8多層次理論與命題#

多層次模型是一套涉及不止一個層次的實質理論在統計上的表徵。因此，在寫出任何方程式之前，值得先把理論陳述清楚。Snijders 與 Bosker (2012, 第 2 章) 提供了一個精簡的做法，其精神與 Coleman (1990) 的鉅觀–微觀圖相近。命題依其所連結之變項的層次來分類；在這套記號中，鉅觀層次（第二層）變項以大寫字母表示，微觀層次（第一層）變項以小寫字母表示。圖 1.7 以 UMG 的 plate 重新繪製幾種主要的類型。內層（學生）plate 的邊界，扮演 Snijders 與 Bosker 圖中那條區隔微觀與鉅觀層次之點線的角色：位於學生 plate 內的變項屬於微觀層次，位於學校 plate 內但在學生 plate 外的變項則屬於鉅觀層次。

圖 1.7：以 plate 呈現的多層次命題類型 — 圖 1.7 以 plate 呈現的多層次命題類型

微觀層次命題（micro-level proposition）（小圖 a）連結兩個微觀層次（學生）變項，例如在一項先抽學校、再於校內抽學生的研究中，學生的作業時間與同一位學生的數學成績。鉅觀層次在理論中不扮演任何角色；同一所學校內學生之間的相依性，只是需要處理的干擾，而不是研究的主題。鉅觀層次命題（macro-level proposition）（小圖 b）連結兩個叢集層次變項，例如一所學校學區的平均財富（ $Z$ ）與該校的平均成就（ $Y$ ）。當 $Y$ 不是直接觀察而得，而是像學校平均數那樣由學生測量值計算而來時，即使命題只涉及學校，資料仍然是多層次的。

更有意思的是跨越層次的命題。在鉅觀到微觀命題（macro-to-micro proposition）中（小圖 c），叢集變項影響個人的結果：平均 SES 較高之學校的學生，數學成就較高。在鉅觀與微觀到微觀命題（macro-and-micro-to-micro proposition）中（小圖 d），叢集變項與個人變項都影響個人的結果：在學生作業時間相同的條件下，平均 SES 較高之學校的學生成就較高；而在學校平均 SES 相同的條件下，花較多時間寫作業的學生成就較高。在跨層級交互作用（cross-level interaction）中（小圖 e），叢集變項會改變兩個個人變項之間的關係。Snijders 與 Bosker (2012) 舉了能力分組（ $Z$ ）的例子：在依能力分組的班級中，學生性向（ $x$ ）對成就（ $y$ ）的效果可能很小，而在未依能力分組的班級中則可能很大。在 UMG 中，這樣的命題畫法是：把 $y$ 對 $x$ 的斜率設為位於學校 plate 內的學校特定量 $β_{j}$ ，再讓 $Z_{j}$ 影響它。第 6 章正是以帶有跨層級交互作用的隨機斜率來估計這個結構。

命題也可以由下往上。在微觀到鉅觀命題（micro-to-macro proposition）（或稱浮現命題）中（小圖 f），個人特徵影響群組層次的結果，例如學生的成就影響老師所感受到的壓力；Kozlowski 與 Klein (2000) 討論了組織中這類浮現歷程。最後，命題也可以串連起來（小圖 g）：老師對學習的態度（ $W$ ）影響學生的態度（ $x$ ），學生的態度影響其成就（ $y$ ），而學生的成就又回過頭來影響老師的專業聲望（ $Z$ ）。這樣的命題鏈可以說明，兩個鉅觀層次變項之間的關聯是透過哪些微觀層次變項而產生的。向上命題與鏈狀命題的模型超出了基本多層次迴歸模型的範圍；它們留待討論多層次結構方程模型的第 29 章處理。

1.9多層次模型的優點與代價#

多層次模型之所以成為巢套資料的標準工具，是因為它相較於解構分析與聚合分析都有若干優點 (Hoffman & Walters, 2022; Raudenbush & Bryk, 2002; Snijders & Bosker, 2012)。

正確的推論。多層次模型呈現了觀察值之間的相依性，因此標準誤、信賴區間與顯著性檢定（在模型假定成立且叢集數目足夠的前提下）都是有效的，叢集層次變項的檢定也不例外。
有效率的估計。在模型設定正確時，它能有效率地結合叢集內與叢集間的資訊（第 7 章說明何時必須把這兩種資訊分開），並在叢集之間「借用資訊」（borrow strength），使小叢集的估計值能藉由其他叢集的資訊而穩定下來（第 12 章）。
各層次的變項。在階層中任何層次測量的解釋變項，都可以放進同一個模型，其效果也可以在適當的層次上檢定。
組內與組間效果。組內關係與組間關係可以分別估計，避免落入生態謬誤與原子謬誤（第 7 章）。
把異質性當成研究發現。隨叢集而異的關係（隨機斜率），以及以叢集特徵解釋這種變異（跨層級交互作用），都成為模型的一部分（第 6 章）。
不平衡與不完整的資料。大小不同的叢集，以及縱貫性資料中在不同時間、以不同次數測量的個人，都不必捨棄任何資料就能處理（第 17 章與第 19 章）。
豐富的理論。圖 1.7 中的許多命題都可以直接轉譯成模型，而模型也可以畫出來，當成它所代表的理論來閱讀。

這些優點是有代價的。一般迴歸的工具（估計、檢定、適配度指標、診斷）都必須修改，而修改的方式並不總是顯而易見（第 III 篇）。帶有多個隨機效果與跨層級交互作用的模型可能變得很複雜，可能的模型數目也會隨變項與層次的數目快速增加（第 14 章）。估計可能失敗或得到不合理的結果，在叢集很少或變異成分接近零時尤其如此（第 9 章）。此外，模型對隨機效果之分配的假定，以及對隨機效果與解釋變項彼此獨立的假定，都必須加以檢驗，而不能視為理所當然（第 7 章與第 15 章）。本書有很大一部分，就是在討論如何在這些代價之下，仍然把多層次模型用好。

1.10應用範圍與本書架構#

多層次模型的應用遠遠超出學校中的學生。同樣的模型可用於：採用多階段設計的抽樣調查；學校與教師效能研究；縱貫性資料與重複測量資料；離散的結果變項，例如及格率、是否畢業或症狀是否出現；多變量結果變項，也就是在每個人身上測量多個變項（每個反應成為巢套於個人之內的一個第一層單位）；非線性的成長型態；交叉分類設計，例如參與者與刺激交叉；試題反應巢套於個人之內或與個人交叉的測量模型 (De Boeck & Wilson, 2004)；在數個層次上都有潛在變項的結構方程模型；效果量（或參與者）巢套於研究之內的後設分析；以及結果變項的變異性（而不只是平均數）隨個人或群組而異的模型。這些應用大多在本書中有自己的專章。

表 1.6 列出本書的架構。第 I 篇奠定基礎：包括本章；一章介紹符號，以及多層次模型的三種寫法（與一種圖形畫法）；一章從讀者已熟悉的變異數分析與迴歸模型推導出多層次模型；還有一章談多層次資料的探索與管理。第 II 篇發展核心模型。第 III 篇打開估計與推論的機制。第 IV 篇把這些機制轉化為建立、檢查、設計與報告分析的工作流程。第 V 至 VII 篇則把模型延伸到縱貫與密集資料、廣義結果變項與非巢套結構，以及潛在變項與因果問題。

表 1.6 本書架構

篇	章	主要問題
第 I 篇：基礎	1–4	為什麼需要多層次模型？如何寫出、畫出與探索這些模型？
第 II 篇：核心模型	5–8	隨機截距、隨機斜率、跨層級交互作用、平減、三層次模型
第 III 篇：估計與推論	9–13	模型如何估計與檢定？什麼是隨機效果的預測值？貝氏估計
第 IV 篇：建立、檢查、設計與報告	14–18	模型建立、診斷、統計檢定力、遺漏資料、權數、結果報告
第 V 篇：縱貫與密集資料	19–22	成長、共變數結構、個人內動態、潛在曲線模型
第 VI 篇：廣義與延伸模型	23–28	二元、次序、計數與存活結果變項；交叉與多重隸屬結構；多變量與後設分析模型；以變異性為結果變項
第 VII 篇：潛在變項、因果與前沿	29–32	多層次 SEM 與測量、因果推論、替代方法與延伸

註：第 I 至 IV 篇加上第 19、20 與 23 章，構成一學期研究所課程的核心；其餘各章可供第二門課或自學之用。

之後的每一章都依循相同的模式：以一個實質問題與一筆資料開場，發展相關概念，用三種方式寫出每一個新模型，把它畫成 UMG，展示模型所蘊含的資料圖示，以附有註解的 R 程式碼完整演練一個範例，最後提供解釋與報告的建議、常見陷阱、SAS、SPSS、Stata、Mplus、HLM 與 JASP 的軟體對照（此處的 HLM 指與階層線性模式同名的軟體）、本章摘要與習題。較長的推導放在「技術細節」方框中，初讀時可以跳過。

軟體對照以虛無模型估計組內相關係數

以下以 NELS:88 資料（檔案 nels88_school23.csv，變項 math 與 school）配適式 (1.1) 的虛無模型。下列除 Mplus 以外的所有程式都使用限制最大概似估計（REML），應能重現 $\overset{τ}{^}_{0}^{2} = 26.1$ 、 $\overset{σ}{^}^{2} = 81.2$ 與 $\overset{ρ}{^}_{I} = .24$ ；Mplus 使用最大概似估計（多層次模型預設使用 MLR 估計式），因此估計值會略有差異。估計方法在第 9 章說明。

（lme4 套件）

library(lme4)
nels <- read.csv("nels88_school23.csv")
m0 <- lmer(math ~ 1 + (1 | school), data = nels, REML = TRUE)
vc <- as.data.frame(VarCorr(m0))       # tau0^2 (school) and sigma^2 (residual)
vc$vcov[1] / sum(vc$vcov)              # intraclass correlation

（PROC MIXED）

SAS

proc mixed data=nels method=reml covtest;
  class school;
  model math = / solution;
  random intercept / subject=school;
run;

（MIXED）

SPSS

MIXED math
  /FIXED = | SSTYPE(3)
  /METHOD = REML
  /PRINT = SOLUTION TESTCOV
  /RANDOM = INTERCEPT | SUBJECT(school) COVTYPE(VC).

Stata

import delimited nels88_school23.csv, clear
mixed math || school: , reml
estat icc

（使用不含標題列的 CSV 檔副本；資料摘要中「Estimated Intraclass Correlations for the Y Variables」一節會報告 ICC）

Mplus

DATA:     FILE = nels88_school23.dat;
VARIABLE: NAMES = school student sex race homework schtype ses pared math
                  classstr schsize urban geo minority ratio female white public;
          USEVARIABLES = math;
          CLUSTER = school;
ANALYSIS: TYPE = TWOLEVEL BASIC;

HLM 8。以 school 連結學生檔與學校檔，建立兩層次的 MDM 檔；設定不含預測變項的第一層模型 MATH $= β_{0} + r$ ，以及第二層模型 $β_{0} = γ_{00} + u_{0}$ 。「Final estimation of variance components」表會列出 $τ_{00}$ （HLM 對 $τ_{0}^{2}$ 的稱呼）與 $σ^{2}$ 。

JASP（Mixed Models 模組）。選擇 Linear Mixed Models，將 math 設為依變項、school 設為隨機效果的分組因子，且不加入任何固定效果預測變項（截距預設會納入）。在預設的檢定方法（Satterthwaite）下，模型以 REML 配適。學校截距與殘差的變異數估計值會出現在隨機效果的輸出中；ICC 需要由這兩個估計值自行計算。各版本的選單名稱略有不同。

本章摘要

心理學與社會科學的資料經常是巢套的（學生巢套於學校、測量時間點巢套於個人），或是交叉分類的（試次依參與者與刺激交叉分類）。每一個變項都有層次，也就是測量該變項的單位所在的層次。用 plate 來畫，每個變項的層次一目了然。
同一組的成員彼此相似，原因包括共享的脈絡、選擇、互動與共同的測量方式。組內相關係數 $ρ_{I} = τ_{0}^{2} / (τ_{0}^{2} + σ^{2})$ 衡量這種相似程度；在 NELS:88 的學校中，它約為 .24。
對本身具有叢集結構的預測變項，尤其是叢集層次的預測變項，忽略相依性會使標準誤太小。設計效果 $1 + (n - 1) ρ_{I}$ 是平均數的變異數膨脹的倍數；對叢集層次的預測變項而言，決定精確度的主要是叢集的數目，其次才是個人的數目。在本章的模擬中，ICC 為 .05、叢集大小為 50 時，OLS 檢定的第一類型錯誤率從 .05 上升到約 .29。
組內、組間與整體關係可能不同，甚至正負號相反。由聚合資料推論個人層次的關係是生態謬誤；由個人資料推論群組層次的關係則是原子謬誤。
研究問題可以寫成微觀、鉅觀、鉅觀到微觀、跨層級或微觀到鉅觀的命題。命題的類型引導模型的選擇。
多層次模型提供正確的推論、有效率的估計、納入各層次變項的能力、分開估計的組內與組間效果，以及研究叢集間異質性的方法；代價是模型的設定、估計與檢查都更加複雜。

關鍵詞#

聚合與解構（aggregation and disaggregation）
原子謬誤（atomistic fallacy）
組間關係（between-cluster relation）
叢集；集群隨機試驗（cluster; cluster-randomized trial）
交叉分類結構（cross-classified structure）
跨層級交互作用（cross-level interaction）
設計效果（design effect）
生態謬誤（ecological fallacy）
有效樣本數（effective sample size）
虛無模型（empty (null) model）
組內相關係數（intraclass correlation）
層次；第一層與第二層單位（level; level-1 and level-2 units）
鉅觀層次與微觀層次命題（macro-level and micro-level propositions）
微觀到鉅觀（浮現）命題（micro-to-macro (emergent) proposition）
多重隸屬結構（multiple-membership structure）
多階段抽樣（multistage sampling）
plate
辛普森悖論（Simpson’s paradox）
整體關係（total relation）
分析單位問題（unit-of-analysis problem）
組內關係（within-cluster relation）

習題#

A. 觀念題#

針對下列每一項研究，指出其層次、各層次的單位，以及其結構是巢套、交叉分類還是多重隸屬：(a) 60 位治療師各治療 8 位個案，每位個案連續 12 週、每週填寫一次症狀檢核表；(b) 150 位參與者各自評定同樣 40 張臉孔的吸引力；(c) 員工評定所屬團隊的氣氛，而有些員工同時隸屬於兩個團隊；(d) 來自 90 個鄰里的 2,000 名青少年就讀 30 所高中。
在一項以學校中的學生為對象的研究中，說明下列每個變項的層次：數學成績、學校規模、學生性別、學校中女生的比例、教師的教學年資（每班一位老師，每校數個班級），以及一個班級中學生的平均作業時間。
某研究報告，在 60 所學校、每校 120 位學生的樣本中，某結果變項的 ICC 為 .08。一位同事據此認為：「叢集結構的影響微不足道，所以用一般迴歸就可以了。」請用兩三句話說明，為什麼這個結論並不可靠。
說明生態謬誤與原子謬誤的差異，並從你自己的研究領域中各舉一個例子。
依圖 1.7 中的類型，將下列每一個命題分類：(a)「班級氣氛較支持的班級，平均焦慮較低」；(b)「在班級氣氛較支持的班級中，學生的焦慮較低」；(c)「在班級氣氛較支持的班級中，學生先前成就對焦慮的效果較弱」；(d)「學生的干擾行為會增加老師的倦怠」。

B. 推導題#

利用式 (1.1)，證明對同一所學校中的兩位不同學生而言， $Cov (y_{ij}, y_{i^{'} j}) = τ_{0}^{2}$ （其中 $i \neq = i^{'}$ ）；對不同學校的學生而言， $Cov (y_{ij}, y_{i^{'} j^{'}}) = 0$ ；並由此證明 $Corr (y_{ij}, y_{i^{'} j}) = ρ_{I}$ 。解答 →
依照「技術細節」方框中的步驟，推導式 (1.3) 的設計效果。接著證明有效樣本數 $N / DEFF$ 介於 $J$ 與 $N$ 之間，並說明兩個界限各在什麼情況下達到。解答 →
一項集群隨機試驗將納入 30 個班級，每班 25 位學生。前導研究的資料顯示 $ρ_{I} = .15$ 。請計算設計效果與有效樣本數。班級數必須增加多少，才能得到與「30 個班級且沒有叢集效果」之試驗相同的有效樣本數？解答 →
利用「技術細節」方框中的近似式 $1 + (n - 1) ρ_{x} ρ_{e}$ ，解釋為什麼忽略叢集結構時，叢集層次預測變項的檢定所受的影響，遠大於主要在叢集內變動之預測變項的檢定。解答 →

C. 計算題#

使用 nels88_school23.csv，計算 23 所學校各自的學生人數、數學平均分數，以及校內數學成績對作業時間的 OLS 截距與斜率。仿照圖 1.4(b)，把 23 條迴歸線畫在同一張圖中，並描述各校之間的差異。
自選另外兩所學校，重做表 1.4，並討論合併斜率是否能描述其中任何一所學校。
以 R 以及軟體對照中的另一個程式，對 NELS:88 資料配適虛無模型。確認估計的 ICC 約為 .24，並以平均叢集大小計算設計效果。
使用 jsp_wide.csv，計算每一所學校第 0 年與第 1 年數學成績之間的相關，並以這些相關對各校的學生人數作圖。這張圖對於小型學校之學校特定估計值的信度，有什麼啟示？解答 →

D. 模擬題#

打開 sim_ch01_typeI_V01.R。(a) 把叢集數由 40 改為 10，重新執行模擬。叢集層次的檢定是否仍維持在 .05 的水準？OLS 檢定的表現比 40 個叢集時更好還是更差？(b) 加入一個只在叢集內變動、真實效果為零的學生層次預測變項 $x_{ij}$ （例如 $x_{ij} = z_{ij} - \overset{z}{ˉ}_{j}$ ，其中 $z_{ij}$ 服從標準常態分配）。記錄這個預測變項的 OLS 檢定拒絕虛無假設的頻率，並以近似式 $1 + (n - 1) ρ_{x} ρ_{e}$ 解釋結果。新的程式檔請加上字尾 _V02 另存。

E. 應用小專題#

選一篇你所屬領域中、資料具有巢套結構的已發表實徵論文。(a) 把資料結構畫成單位圖，也用 plate 畫出來，並把分析中使用的每一個變項放進正確的 plate。(b) 把主要的研究問題寫成圖 1.7 中的一種或多種命題類型。(c) 報告叢集的數目與叢集大小，並說明該分析是否顧及了研究設計。(d) 針對分析單位寫一段簡短的審查意見（約 300 字）。

上機實作#

參考文獻

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