縱貫研究中的遺漏資料與流失

6.1 縱貫遺漏的剖析

重複測量中的遺漏不是一個現象，而是好幾個；先替型態命名是第一步，因為不同的型態容許不同的補救。單位未回應(unit nonresponse)是整個人的流失：抽樣抽到了卻從未測到，或在第一波之前就退出。波次未回應(wave nonresponse)是某些人整個時點的流失，例如錯過一次追蹤評量，後來又回來。單調退出(monotone dropout)，也就是流失(attrition)，是「一旦缺席，其後每個時點都缺席」的型態；追蹤研究與臨床試驗以它為主，而它的單調結構讓插補與建模都比較單純。間歇性遺漏(intermittent missingness)則是非單調的型態，人時進時出，這個時點在、那個時點不在，是經驗取樣與日誌設計的特徵。題目遺漏(item missingness)是一次已完成的評量之內特定題目的流失；密集縱貫設計裡的提示層次遺漏(prompt-level missingness)，則是對一次預定的提示完全沒有作答。圖 6.1把其中六種原型畫成「個體乘時點」的矩陣。任何關於遺漏的數值摘要之前都該先看這種圖，因為它會顯露單一個完成率所掩蓋的結構。

註：列是個體，欄是時點；藍色格是已觀察，灰色格是遺漏，部分著色代表一次已完成的評量之內的題目層次流失。單調退出，也就是一旦缺席就不再回來的那種，是追蹤研究與試驗流失的典型；間歇性遺漏則是密集設計的典型。型態決定了哪些插補與估計策略用得上。

真正有後果的區分不是型態，而是機制(mechanism)：一個值會不會遺漏，它的機率和資料的值之間有什麼關係，而且看得見與看不見的值都算在內。Rubin (1976)的分類把這層關係形式化。令 \(Y\) 為完整資料，切分為已觀察部分 \(Y_{\mathrm{obs}}\) 與遺漏部分 \(Y_{\mathrm{mis}}\)，並令 \(M\) 為記錄哪些格位存在的遺漏指標矩陣。機制就是由參數 \(\phi\) 支配的條件分配 \(P(M \mid Y_{\mathrm{obs}}, Y_{\mathrm{mis}}, \phi)\)。遺漏若與資料完全獨立，\(P(M \mid Y_{\mathrm{obs}}, Y_{\mathrm{mis}}, \phi) = P(M \mid \phi)\)，資料就是完全隨機遺漏(missing completely at random, MCAR)，已觀察到的個案是完整個案的一個簡單隨機子樣本。遺漏若可以依賴已觀察值，但在給定它們之後不再依賴遺漏值，\(P(M \mid Y_{\mathrm{obs}}, Y_{\mathrm{mis}}, \phi) = P(M \mid Y_{\mathrm{obs}}, \phi)\)，資料就是隨機遺漏(missing at random, MAR)。條件化了所有已觀察量之後，遺漏的機率若仍然依賴那些看不見的值本身，資料就是非隨機遺漏(missing not at random, MNAR)。圖 6.2把三種機制畫成相依圖，表 6.1列出各自的定義，以及在該機制下什麼仍然成立。

註：\(X\) 是完全觀察到的共變項，\(Y\) 是部分觀察到的結果變項，\(M\) 是 \(Y\) 的遺漏指標。MCAR 下沒有任何箭頭從資料指向 \(M\)。MAR 下指向 \(M\) 的箭頭只從已觀察的訊息出發，也就是 \(X\) 以及 \(Y\) 已觀察到的值。MNAR 下指向 \(M\) 的箭頭來自 \(Y\) 本身，而 \(Y\) 裡相關的那些值有一部分看不見，這正是手上的資料檢驗不了這個假設的原因。

這套分類有三件事最常被誤解。第一，這些標籤說的是「忽略遺漏歷程」成不成立，不是日常意義下遺漏的成因；MAR 並不表示遺漏雜亂無章或無害，只表示它所依賴的那些量已經被記錄下來。第二，已觀察資料檢驗不了 MAR 與 MNAR 孰是孰非，因為兩種機制對 \(Y_{\mathrm{obs}}\) 的預測完全相同，差別只在對 \(Y_{\mathrm{mis}}\) 的依賴，而 \(Y_{\mathrm{mis}}\) 依定義就拿不到；任何「這筆資料是 MAR」的說法都是假設，辯護得了與否是另一回事，但它永遠不是一項發現。第三，只有 MCAR 部分可檢驗，Little 檢定（Little (1988)）提供一個綜合性的檢查，做法是比較各遺漏型態之間已觀察變項的平均數；它不顯著只是很弱的證據，隨檢定力與所設想的對立假設而變，更不可以讀成「所以可以採用分析真正倚賴的那個強得多的 MAR 假設」。實務上值得把問題換個問法：與其問「哪一個標籤符合我的資料」，不如問「要讓我選的方法成立，我必須願意相信什麼」。後者回答得了；而當那份相信本身不確定時，它會直接把人帶向敏感度分析。

6.2 那些不好的方法做了什麼

整整一代研究者學到的預設修補有兩種。整列刪除(listwise deletion)把任何記錄不完整的人整個丟掉；末次觀察值向前推補(last-observation-carried-forward, LOCF)用這個人最近一次觀察到的值去填補遺漏值。兩者都被廣泛當成保守的做法，但在縱貫情境下都會誤導人，而且誤導得很有方向。這個信念既然如此根深柢固，論證就值得精確地做一遍。

整列刪除只有在 MCAR 下才不偏，而且就算在那裡也很浪費：一項有好幾個時點的研究，一個人每個時點都完整的機率可能很小，於是蒐集了好幾百個「人乘時點」的設計，被縮到只剩從未缺席的那一小群人。到了 MAR，刪除就不只是沒有效率，而是有偏誤，因為完成者是被選擇過的子樣本。縱貫的健康與臨床研究裡，這個選擇很少無害：完成者系統性地比較健康、比較配合、也比較有改善，用他們配適出來的成長曲線描述的是留下來的人，不是當初收案的那個母體。有一個細節讓完全個案分析(complete-case analysis)在特定的迴歸情境中仍然站得住：遺漏若只依賴那些本身完全觀察到、而且已經當成預測變項放進模型的共變項，完全個案的迴歸係數可以維持不偏。但這個例外講的是條件模型裡由共變項驅動的遺漏，不是主宰縱貫研究的、由結果變項驅動的流失，不能推廣成替這個方法辯護的理由。

LOCF 更糟：它不只是選出一個子樣本，而是捏造資料，而捏造出來的值有固定的方向。在一項典型軌跡是改善的研究裡，例如本章的心理治療試驗，把最後一個觀察值往後推補，等於把每一位退出者凍結在退出前的嚴重度上，在毫無證據的情況下主張改善在離開的那一刻就停住了。退出若集中在沒有反應的人身上，LOCF 會保住他們偏高的症狀分數，把實驗組的平均數往上拉，估計到的效益因而衰減；退出若集中在因為好轉才離開的反應者身上，LOCF 則會低報他們持續中的進步。無論哪一種，這個方法都是用一個已知會系統性出錯的值去取代遺漏值，而它保守的名聲，只是碰巧在某些試驗中偏向虛無的巧合。平均數插補(mean imputation)用樣本平均數或該波平均數去填補空缺，同樣是捏造，還多了第二個缺陷：插補進去的值毫無離散度，全部剛好落在平均數上，於是變異數與每一個共變數都被衰減。改用單一個迴歸預測值來插補雖然緩解了這一點，卻仍然把插補值當成已觀察值看待，注入了虛假的確定性。

圖 6.3是本章的招牌演示，也是替代方法值得投資的理由。它報告的是估計到的「處理 \(\times\) 時間」交互作用，也就是兩組症狀斜率的差。資料來自一項已知真值的模擬，真實效果是每週 \(-0.40\) 個症狀分，單調退出則分別依三種機制加上去；完整的模擬見隨書附的腳本 ch06_missing_sims_V01.R。教訓很鮮明，而且有三層。MCAR 下刪除本來應該安全，整列刪除也確實還原了真值（\(-0.39\)），但精確度的代價很大；LOCF（\(-0.32\)）與平均數插補（\(-0.25\)）此時就已經偏向零，因為捏造出來的值扭曲了模型正在估計的那些斜率。到了 MAR，天真的方法進一步惡化，有原則的方法守得住。MNAR 最難，平均數插補整個崩潰（\(-0.07\)），整列刪除與 LOCF 都嚴重偏誤；即使在這裡，完全訊息最大概似法仍然幾乎精確地還原真值（\(-0.40\)），多重插補也緊追在後（\(-0.35\)），因為退出前的軌跡帶著關於斜率的大部分訊息，而這兩種方法都完整用上了它。這個 MNAR 結果並不保證概似方法一般而言能修好 MNAR，它們修不好；它示範的是丟棄或捏造資料會白白放棄有原則的方法所保住的訊息。它引出第 6.6 節的敏感度分析，而不是取代那一節。

註：每一個點是 100 次重複之下估計到的「處理 \(\times\) 時間」交互作用的平均數；虛線是真實效果（\(-0.40\)）。灰色點是天真的方法（整列刪除、LOCF、平均數插補），藍色點是有原則的方法（FIML、MI）。LOCF 與平均數插補即使在刪除名義上成立的 MCAR 下也偏向零。FIML 與 MI 在三種機制下都貼近真值；MI 在 MNAR 下殘留的落差，以及第 6.6 節對它的處理，標出了單靠資料能做到什麼的誠實界限。

6.3 完全訊息最大概似法

第一種有原則的替代方案，把整個問題重新框架了一次。完全訊息最大概似法(full-information maximum likelihood, FIML)又稱直接最大概似(direct maximum likelihood)，它不去修補資料好讓完整資料的方法跑得動，而是改動估計式，讓不完整的記錄根本不必修補。這個想法建立在概似的一個因式分解上。在可忽略的機制之下，給定已觀察資料的參數概似可以完全不提遺漏模型就寫出來，於是每個人都用自己確實有的那些變項的密度對概似做出貢獻，並在完整模型的參數上求值。所有時點都測到的人貢獻完整的多變量密度，只測到部分時點的人貢獻對應的邊際密度；沒有任何值被填補，也沒有任何個案被刪除，因為這個估計式就只是把每個人提供的訊息加總起來。基礎概念方塊寫出這個因式分解，以及讓它成立的可忽略性條件。

這個因式分解也解釋了一件常被當成黑盒子便利性來陳述的事實：多層次與混合效果模型「會自動處理不平衡的資料」。混合模型極大化的正是上面那個已觀察資料的概似，所以五個時點裡只有三個時點有資料的人，就只貢獻一個三維的密度；沒有刪除也沒有插補，因為這個估計式從來就不是用一個完整長方形寫出來的。可忽略性的推導同時寫明了一個經常被漏掉的條件：遺漏只依賴模型裡的量時，這個保證才成立。流失若依賴某個基線共變項，那個共變項就必須在模型裡，分析才承接得到 MAR 的保證；省略了退出預測變項的混合模型，因此並不會自動受到保護。在結構方程的框架裡，同一個估計式在 lavaan 中以引數 missing = "ml" 叫用，而它的觸及範圍還可以靠輔助變項(auxiliary variables)擴大：那些與結果變項或與遺漏相關、但不屬於實質模型的變項，透過飽和相關項(saturated correlates)的設定加進來，MAR 的條件化集合更豐富，估計也就偏誤更小、更有效率 (Collins et al., 2001)。FIML 的限制同樣要說清楚。它假定了所給定的那個結果變項分配，資料若非常態就需要穩健校正；它處理的是被建模變項上的遺漏，不是被當成固定值的外生預測變項上的遺漏；而它要納入輔助訊息，只能把那些變項一起帶進被估計的模型裡。

6.4 多重插補

第二種有原則的替代方案，把遺漏的處理和分析本身分開。多重插補(multiple imputation, MI)不只把每一個遺漏值取代一次，而是取代 \(m\) 次，從給定已觀察資料之下遺漏資料的後驗預測分配中抽樣，產生 \(m\) 份只在插補值上有差異的完整資料集。實質分析在每一份完整資料集上各跑一次，\(m\) 組結果再依Rubin 規則(Rubin’s rules)合併，而這套規則就是讓整個程序誠實的那組算術。合併後的點估計是 \(m\) 個估計的平均數，\(\bar{Q} = \frac{1}{m}\sum_{j=1}^{m} \hat{Q}_j\)。總變異數有兩個部分，\(T = \bar{U} + (1 + 1/m)\,B\)：\(\bar{U} = \frac{1}{m}\sum_j U_j\) 是平均的插補內變異數，也就是資料完整時仍然會有的那份普通不確定性；\(B = \frac{1}{m-1}\sum_j (\hat{Q}_j - \bar{Q})^2\) 是插補間變異數，也就是遺漏本身額外貢獻的不確定性。乘數 \((1 + 1/m)\) 校正的是只用了有限份插補這件事。關鍵在 \(B\)：各份插補彼此有變異，插補間變異數就不為零，合併後的標準誤會被放大到足以反映遺漏的真實代價，而這正是單一插補所偽造掉的那份確定性。總變異數中歸因於遺漏的比例，也就是遺漏訊息比例(fraction of missing information, FMI)，決定了需要多少份插補，也決定了效率損失多少。

MI 的成立倚賴一個實務上很容易違反的條件：契合性(congeniality)，也就是插補模型至少要和分析模型一樣豐富。分析將要估計的每一個特徵，插補都必須保留下來。分析裡若有交互作用，插補模型就必須包含它，否則插補值會從一個交互作用不存在的分配中抽出來，合併後的估計會被衰減而偏向零；非線性項、插補預測變項時的結果變項，以及下文要談的群集結構，道理都一樣。表 6.2是插補模型的建構檢核表。R 裡標準的實作是 mice (van Buuren & Groothuis-Oudshoorn, 2011)，它以全條件設定(fully conditional specification, FCS)插補：在不完整的變項之間輪流走，每一個都用其餘變項的迴歸來插補。預設值使用穩健的預測平均數配對(predictive mean matching, PMM)，從已觀察個案中抽取插補值，因而貼合經驗分配。這套工作流程有它的紀律：預測變項矩陣要刻意設定，不要放著用預設值；插補份數要設得比歷史上常被引用的五份更多，依現代的建議把 \(m\) 調到與遺漏訊息比例相稱 (von Hippel, 2020)；插補在使用之前要先檢視。圖 6.4呈現最關鍵的診斷，也就是已觀察密度與插補密度的疊圖：插補值相對於已觀察值應該合理，既不該完全相同（那表示插補什麼也沒加進去），也不該離譜地偏移（那表示插補模型設定錯誤）。

註：粗藍線是已觀察 HDRS 值的密度；每一條細紅線是八份完整資料集之一的插補值密度。插補值像本圖這樣跟著已觀察分配走，是插補模型合理的必要條件，不是充分條件。紅線若系統性地偏移，就代表設定錯誤。

真正讓本書有別於標準教材的一節，是多層次多重插補(multilevel multiple imputation)。本書所關心的縱貫與密集資料是巢套的，時點巢套在個體之內，而忽略巢套的扁平插補(flat imputation)會造成可測量的損害。最清楚的受害者是組內相關(intraclass correlation, ICC)，也就是落在個體之間的變異數比例，而這個量正好定義了一個設計能從它的重複測量中獲益多少。圖 6.5在經驗取樣資料上把這一點做了出來：當下負向情緒的真實 ICC 是 \(0.36\)，若用一個把所有觀察視為可交換、忽略個體層次的扁平模型去插補遺漏的提示，它會幾乎減半到 \(0.20\)，因為跨個體匯集會把每個人的值都往總平均數拉，個體之間的區隔就此消失。把個體當成群集來建模的多層次插補(multilevel imputation)，此處是 mice 搭配 2l.pan 方法，則還原了真值（\(0.38\)）。扁平插補摧毀的是群集結構，哪些量會跟著壞掉，取決於它們有多倚賴那份被抽掉的個體間變異：組內相關的定義就是它，所以首當其衝；個體內與個體間的迴歸係數倚賴的是關聯而不是變異數的切分，受到的影響因此輕微得多，而且兩者方向不同。巢套資料的契合性要求一個巢套的插補模型，原因就在這裡。實務上有兩條路：波次數不多時，把時點當成分開的欄位做寬格式插補，就足以保住共變結構；密集設計的長序列則需要真正的多層次插補，用聯合建模的工具（jomo、mitml）或 mice 之內的多層次方法來做。但書也要誠實附上：隨機斜率結構要契合地插補仍然困難，而全條件設定與聯合建模這兩條路交換的是不同的假設。多層次結果的合併遵循同一套 Rubin 算術，在混合模型與 lavaan 上分別由 mitml 與 semTools 生態系實作；這個領域的工具持續演變，確切的函式名稱應該在使用當下再查證一次。表 6.3摘要了什麼情況該伸手拿哪一種策略。

註：虛線是經驗取樣資料中當下負向情緒的真實 ICC（\(0.36\)）。忽略個體層次的扁平插補讓還原到的 ICC 幾乎減半到 \(0.20\)，以 2l.pan 做的多層次插補則把它還原（\(0.38\)）。ICC 支配著重複測量設計的訊息含量，一旦被扭曲，下游每一個變異數分解與跨層次的結果都會跟著錯。

密集資料的分析者最後還有一個定向的問題：到底要不要插補。分析若是以最大概似估計的多層次或動態模型，已觀察到的反應往往可以直接建模，結果變項因此不必插補；插補則留給共變項上的遺漏、輔助變項的納入，或是那些需要完整序列當輸入的方法，例如某些網絡與向量自我迴歸模型（第 25、28 章）。這個決定不是教條，而是把工具對上遺漏：模型允許時就以 ML 直接建模結果變項，問題的結構或分析方法要求完整資料時就插補。

6.5 流失分析與報告

在任何建模之前，一項縱貫研究欠讀者一份「誰在什麼時候離開」的描述。弱的版本，也就是單一個退出百分比，丟掉了真正要緊的時間結構；有訊息量的版本則把留存當成一個歷程來處理。圖 6.6把心理治療試驗中每一組仍然留在研究裡的比例對週次作圖。這是一種存活圖（其形式機制見第 29 章），它一眼就傳達了比率傳達不了的事：流失是早發還是晚發、是穩定還是集中，以及它會不會因組別而異。圖中這項試驗兩組的留存都穩定下降，到最後一週約為 \(56\%\)，而且兩條線走得很近；這件事本身就有訊息量，因為兩組之間的差異性退出(differential dropout)是一個特定的威脅，而這種圖正好會把它暴露出來。

註：圖中畫的是每一組仍在貢獻資料的比例對週次的變化。把流失描述成一個留存歷程，而不是單一個研究結束時的退出率，會把流失的時機與兩組之間的差異一併暴露出來，而這兩件事都關係到可忽略性假設可不可信。

真正的流失分析(attrition analysis)比較的是離開的人與留下來的人，而且必須比較兩件事，不是一件。在基線特徵上比較，也就是人口學變項(demographics)與初始狀態，是標準做法，但並不充分：兩個基線上完全相同的人，在其中一個退出之前，軌跡可能已經差很多。因此縱貫研究特有的比較落在到目前為止的軌跡上，看退出者在他們確實提供的那些時點裡，相對於完成者是在改善還是在惡化。「退出者退出前的下降比較陡」或「退出前的嚴重度比較高」這樣的發現不能證明 MNAR，但它指認出遺漏所依賴的那些已觀察量，而這正是所需要的訊息：這些量一旦進了模型，一個具威脅性的 MNAR 故事就轉換成一個站得住腳的 MAR 故事。流失分析的目的也因此被重新界定。它不是一個要通過的檢定，也不是把不顯著的差異宣告成隨機性的證明，而是一場搜尋，找出模型接下來必須納入的遺漏預測變項。那些預測變項無法帶進模型時，另一個框架是逆機率加權(inverse-probability weighting)，用被觀察到的估計機率的倒數去對已觀察個案重新加權，把代表性不足的往上加權；它是第 12 章邊際模型的天然搭檔，也有自己的脆弱性，加權模型一旦設定錯誤就會失守。報告應該遵循 CONSORT 針對縱貫與群集設計的延伸版，附上一張把每一位收案者在每一波都交代清楚的參與者流程圖，而第 6.9 節的語句範本會把該寫的那一段講得很具體。

6.6 MNAR 敏感度分析

當遺漏可能依賴那些看不見的值本身時，任何對已觀察資料的分析都無法被確知為正確。此時誠實的回應不是去找出那一個能救回結果的 MNAR 模型，而是去問：對這個假設的偏離要大到什麼程度，結論才會改變。這就是敏感度分析(sensitivity analysis)的邏輯，而它現代、實用的形式是搭配delta 調整(delta adjustment)的型態混合模型(pattern-mixture model)。想法很透明：先在 MAR 之下插補遺漏值，再刻意把退出者的插補值平移一個敏感度參數 \(\delta\)，代表「離開的人比他們的已觀察資料所預測的系統性地更差（或更好）」這個假設，然後重新配適模型，追蹤估計值隨 \(\delta\) 增大而如何變化。結果就是臨界點分析(tipping-point analysis)，它定位出實質結論被推翻的那個 \(\delta\) 值，此處指的是處理效果的顯著性，然後追問：這麼大的偏離，在臨床上或心理學上可不可信。

圖 6.7對這項心理治療試驗做了這個分析。在 MAR（\(\delta = 0\)）之下，估計到的「處理 \(\times\) 時間」效果明顯不為零，而且有利；隨著實驗組的退出者被假定惡化的幅度愈來愈大，估計到的優勢縮小，信賴區間也變寬。臨界點大約落在 \(\delta = 5.6\) 個 HDRS 分：要等到實驗組的退出者被假定平均比他們退出前的軌跡所預測的還差將近六個憂鬱量表分，也就是一場相當大、可以說並不合理的崩解，處理效果才會失去顯著。這是一個很強的敏感度結果，因為它把一個不可檢驗的假設換算成一個量化、可解讀的餘裕；它被報告出來不是當成弱點，而是當成穩健性的證據。另一個家族是 Diggle and Kenward (1994) 的選擇模型(selection model)，它明確把退出機率設定成當前值的函數（那個值可能正好遺漏），並與結果模型聯合估計。這在概念上很優雅，但它的識別幾乎完全建立在分配假設上，而不是資料裡的訊息上，估計因此脆弱，最好用來探查，不要用來定案。有原則的分析應該在一系列可信的遺漏假設之下報告一系列結果，而不是在一個未經檢視的假設之下報告單一個數字；這條主張如今已是臨床試驗方法學共識所建議的標準 (National Research Council, 2010)，而第 29 章的共享參數模型(shared-parameter model)以及縱貫與存活資料的聯合模型，是它最具企圖心的表現。

註：圖中畫的是估計到的「處理 \(\times\) 時間」效果及其 \(95\%\) 信賴區間隨 MNAR 敏感度參數 \(\delta\) 的變化；\(\delta\) 是實驗組退出者被假定超出其 MAR 預測值的 HDRS 分數。結論一直維持顯著到 \(\delta \approx 5.6\)，那是一個很大的假定偏離，這也就量化了這項發現面對可信的 MNAR 違反時有多穩健。

6.7 計畫性遺漏

遺漏通常是強加在研究上的問題，但它也可以是研究自己選用的工具。計畫性遺漏設計(planned missingness designs)正是利用本章的機制，用設計本身來降低受訪者負擔 (Graham et al., 2006)。在三式設計(three-form design)中，題庫被切分成一個所有人都施測的共同核心，加上另外三個題組；每一位受訪者拿到核心加上三組中的兩組，於是每一位受訪者都作答了四分之三的題目，而且每一對題組都在某些受訪者身上被同時觀察到，這正是多重插補或 FIML 還原完整共變結構所需要的覆蓋。圖 6.8呈現這個示意圖。如此誘發出來的遺漏依建構就是 MCAR，因為題組的指派是隨機化的，與任何反應都無關，困擾非計畫性遺漏的那些強假設根本不會出現；代價是一項適度、可量化的效率損失，換來的則是每一份問卷都縮短四分之一。在密集縱貫設計中，同樣的邏輯支持跨提示的題目輪替(item rotation)：每一次提示只呈現題目的一個子集，讓當下的負擔保持低，同時在一整天之內累積出完整的覆蓋。該注意的地方確實存在。計畫性遺漏在小樣本中特別不適用，效率損失在那裡最嚴重；而且它預設了分析將會使用有原則的遺漏資料方法，所以一個用整列刪除來分析的三式設計，等於丟掉了它自己的存在理由。

註：每一位受訪者都作答共同題組 \(X\)；三式各略去 \(A\)、\(B\)、\(C\) 其中一組。因此每一位受訪者作答四分之三的題目，而每一對題組都在某些式子中被同時觀察到，完整的共變結構於是可以由 FIML 或 MI 還原。所誘發出來的遺漏依設計就是 MCAR。

6.8 在 R 中執行遺漏資料分析

這個實作範例把心理治療試驗走完整條路：先描述流失，再以一個有原則的方法配適成長模型，最後探查 MNAR。資料是 therapy_rct，\(240\) 位病人分屬兩組，每週測量共十二週；單調退出影響了 \(44\%\) 的病人，留下 \(75\%\) 的「人乘週」被觀察到。第一件工作是描述留存，而不是用單一個數字把它摘要掉。

library(dplyr); library(tidyr); library(ggplot2); library(lme4)

rct <- readRDS("Examples/data/therapy_rct.rds")

# 把流失描述成一個留存歷程，依組別分開
retention <- rct 
  group_by(arm, week) 
  summarise(retained = mean(!is.na(hdrs)), .groups = "drop")

# 流失分析：退出者與完成者有沒有不同？
completer <- rct 
  summarise(complete = all(!is.na(hdrs)), .groups = "drop")
rct <- left_join(rct, completer, by = "patient_id")
rct 
  group_by(complete) 
  summarise(baseline_hdrs = mean(hdrs), n = n())

# 退出前斜率：兩群在離開之前下降得一樣快嗎？縱貫研究特有的檢查
pre <- rct 
lmer(hdrs ~ week * complete + (1 + week | patient_id),
     data = pre, REML = FALSE)                # week:complete 就是兩群斜率之差

留存曲線（圖 6.6）、基線比較與退出前斜率的比較合起來構成流失分析；最後那一項才是縱貫研究特有的檢查。在這份資料裡，兩群在離開之前下降得一樣快（斜率之差 \(-0.02\)，\(t = -0.24\)），差別只在起點，這正是以基線嚴重度為條件的隨機遺漏假設所需要的證據。接著以直接最大概似配適成長模型，這對混合模型而言是自動的：lmer 極大化的就是已觀察資料的概似，所以把不完整的長格式資料直接傳進去，配適出來的就是 FIML 之下的模型，不需要任何特別的引數，前提是退出的預測變項在模型裡。

# 用混合模型做 FIML：不刪除，也不插補
fit_fiml <- lmer(hdrs ~ week * arm + (1 + week | patient_id),
                 data = rct)                  # 只用已觀察列；在已觀察值上做 ML
summary(fit_fiml)$coefficients["week:armTreatment", ]

# 同一個成長模型，在 lavaan 中寫成潛在曲線模型，同樣用 FIML
# library(lavaan)
# model <- ' i =~ 1*w0 + 1*w1 + ... ; s =~ 0*w0 + 1*w1 + ... '
# fit <- growth(model, data = wide, missing = "ml")   # FIML

多重插補提供第二個估計，更重要的是，它是敏感度分析的載具。把試驗重整成寬格式，用 mice 插補 \(m\) 次，每一份完整資料集各自重新配適，再依 Rubin 規則合併。隨書附的腳本 ch06_missing_sims_V01.R 把合併的算術明確寫出來，讓讀者看得見，而不是藏在包裝函式裡。

library(mice)

wide <- rct 
  pivot_wider(names_from = week, values_from = hdrs, names_prefix = "w")

imp <- mice(select(wide, starts_with("w")), m = 20,
            method = "pmm", printFlag = FALSE)   # m 與 FMI 相稱

# 在每一份完整資料集上重新配適，再依 Rubin 規則合併
wk <- paste0("w", 0:11)
was_missing <- is.na(wide[, wk])
pool_delta <- function(delta = 0) {
  est <- sapply(1:20, function(mm) {
    cw <- complete(imp, mm)
    cw[was_missing & wide$arm == "Treatment"] <-
      cw[was_missing & wide$arm == "Treatment"] + delta   # MNAR 位移
    long <- cw 
      pivot_longer(all_of(wk), names_to = "week", values_to = "hdrs",
                   names_prefix = "w") 
    f <- lmer(hdrs ~ week * arm + (1 + week | patient_id), data = long)
    c(fixef(f)["week:armTreatment"], sqrt(vcov(f)["week:armTreatment",
                                                  "week:armTreatment"]))
  })
  Qbar <- mean(est[1, ]); Ubar <- mean(est[2, ]^2); B <- var(est[1, ])
  Tvar <- Ubar + (1 + 1/20) * B                       # Rubin 的總變異數
  c(estimate = Qbar, se = sqrt(Tvar))
}
pool_delta(0)          # MAR 的結果
sapply(seq(0, 6, 0.5), function(d) pool_delta(d)["estimate"])   # 臨界曲線

pool_delta 在一組 \(\delta\) 格點上描出來的臨界曲線就是圖 6.7；合併後的信賴區間第一次涵蓋零的那個值就是臨界點。至於巢套的經驗取樣資料，保住 ICC 的那個多層次插補（圖 6.5）靠預測變項矩陣來設定：把個體識別碼以代碼 \(-2\) 標記為群集變項，並選用 2l.pan 方法，隨書附的腳本已經實作。

6.9 在縱貫論文中報告遺漏資料

遺漏資料的報告已經不再是選擇性的，審稿人也愈來愈期待那些會移動效果量的分析決定被完整陳述。一段站得住腳的遺漏資料文字要交代五件事：遺漏的量與型態、所假定的機制以及與它相關的證據、所使用的方法及其關鍵設定、流失分析及其發現，以及 MNAR 是實質疑慮時的敏感度分析及其結論。針對本章這項試驗的示範文字可以這樣寫：「在收案的 \(240\) 位病人中，\(134\) 位（\(55.8\%\)）完成了全部十二次每週評量；單調退出影響了其餘的 \(106\) 位（\(44.2\%\)），留下 \(75.2\%\) 的預定人週被觀察到，到第 11 週時控制組的留存降至 \(57\%\)、實驗組降至 \(55\%\)。完成者與退出者在基線嚴重度上有差異（退出者高 \(2.6\) 分），因此基線嚴重度與『週』及其與組別的交互作用都被保留在模型中，以支持隨機遺漏的假設。成長模型以完全訊息最大概似法估計，用上了全部已觀察到的人週，不做刪除也不做插補。作為敏感度分析，套用了型態混合的 delta 調整，把實驗組退出後的插補值往上平移 \(\delta = 0\) 到 \(6\) 個 HDRS 分；『處理乘時間』效果一直維持顯著到 \(\delta \approx 5.6\)，顯示除非假定實驗組的退出者比其已觀察軌跡再惡化將近六個量表分，否則這個結論是穩健的。」每一個子句都記錄了一個決定，每一個數字都來自分析本身，不是來自範本。表 6.4是報告檢核表。

6.10 常見的迷思

關於遺漏資料，有幾個信念既常見又有害。第一個是把 MAR 當成日常語意下的「隨機遺漏」，以為遺漏雜亂無章。MAR 是一個精確的條件獨立陳述：在給定已觀察值之後，遺漏與遺漏值無關；遺漏與已觀察變項有強烈而系統的關聯時，它照樣可以成立。第二個是把 FIML 與 MI 當成對手，以為兩者不一致時必有一方是錯的。兩者在同一個模型下使用同一批訊息時漸近等價，不一致反映的是輸入有差異，也許某個輔助變項只進了其中一邊，也許插補模型不契合，而不是一個矛盾。第三對是關於多層次模型的兩個相反迷思：以為 混合模型要求第一層是完整個案，這是錯的，模型是在已觀察到的反應上估計的；以為 混合模型會自動修好所有遺漏，這也是錯的，它的防護只延伸到那些依賴被建模的量的遺漏。第四個是把 敏感度分析看成在承認弱點；恰恰相反，它示範的是結論已經被壓力測試過，而且如今它愈來愈是被要求的，不只是被允許的。還有一個經常被問到的實務問題：要插補當下的題目，還是插補算好的量表分數。答案一般傾向題目層次的插補，再被動地建構分數，因為那用上了更多訊息，也保住了內部結構，前提是負擔與執行時間許可。

接下來讀哪裡

本章的方法是後續一切的先備條件，後面各章會直接假定它們，不再重新推導。第 13 與 14 章的多層次與成長模型承接此處所建立的 FIML 性質；第 12 章的邊際模型提供逆機率加權這個替代方案，以及 GEE 在 MAR 之下的脆弱性；第 22 章的混合分配模型(mixture model)要同時面對未觀察異質性與遺漏；第 25 與 28 章的動態與網絡模型對提示層次的遺漏很敏感，而本章的多層次插補是處理它的起點；第 29 章的存活與聯合模型把退出當成一個要被建模的事件，而不是一個要被插補掉的麻煩，這是對 MNAR 最完整的回答；報告的紀律則在第 36 章被整合起來。要求只有一條：遺漏要以一個公開陳述的假設，加上一個與之相稱的方法來面對；而當那個假設不確定時，它的後果要被量化，不能被忽略。

習題

1. 6.1 重製招牌圖。以更強的 MNAR 機制重跑圖 6.3背後的模擬，描述每一種方法的偏誤在大小與方向上如何改變。指出哪些方法變差了，並就每一種方法用了什麼、捏造了什麼加以解釋。
2. 6.2 一套契合的 MI 流程。所提供的一份四波資料，其分析模型含有「處理 \(\times\) 時間」交互作用。請建立一個保住該交互作用的插補模型，執行 mice，並依 Rubin 規則合併，再以所附的檢查項目驗證：把交互作用從插補模型中拿掉，合併後的估計會衰減。
3. 6.3 多層次插補與扁平插補。在一份經驗取樣的子集上，先扁平地插補遺漏的當下情緒，再用多層次模型插補一次，並把還原到的 ICC 與個體內斜率拿去和已知真值比較。報告扁平插補扭曲了哪些量、扭曲了多少。
4. 6.4 臨界點分析。在 therapy_rct 上執行圖 6.7 的型態混合 delta 分析，找出臨界點，並依第 6.9 節寫出那段敏感度文字。接著就實質面論證：那樣大小的偏離可不可信。
5. 6.5 用設計對付 MNAR。就你自己選定的一項日誌研究，建構一個寫實的 MNAR 故事，再提出一項設計上的改動，也就是一個要測量的變項，讓那個機制因為捕捉到遺漏的驅動因素而往 MAR 移動。請說明這個新增的變項為什麼值得在分析模型中佔一席之地。