彈性曲線：GAMM、TVEM 與函數型資料取向

30.1 為什麼要彈性，又為什麼要紀律

彈性曲線估計的理由，要從參數化的那個替代方案會怎麼失敗講起。一個發展歷程若真的非線性(nonlinear)到任何低階多項式都抓不住，配適一個多項式就不只是損失一點效率：它產出的曲線，形狀是由基底決定的，不是由現象決定的，為了遷就一個搆不到的中段而在兩端往上彎，還把這些基底造出來的假象(artifact)，用加在真實結構上的同一組信賴區間(confidence interval)報告出來。另一個替代方案更糟：事先把時間切成命名好的階段，早期一段、晚期一段、各給一個平均數，等於把一個階梯函數(step function)強加在連續歷程上，還把這份強加藏進階段的定義裡。growth_gam 資料是一份模擬(simulation)研究，兩百五十位兒童在六到十五歲之間以不等距的年齡受測，巢套(nested)在二十所學校裡；資料由一個羅吉斯(logistic)成長衝刺生成，學業成就在早年幾乎持平，十歲前後陡升，然後趨於平緩，尾端平、中段陡，正是二次式表徵不出來的形狀。配適到這份資料上，二次式對照已知真相的均方根誤差(root-mean-squared error)是 \(0.94\)，分段線性模型是 \(0.99\)，底下要發展的懲罰平滑是 \(0.17\)。教訓不是多項式永遠不對，而是它的對是一件要掙來的假設；理論沒把形式釘死的時候，讓資料選形狀、並對那個選擇報告誠實不確定性的方法，是比較安全的預設。

懲罰樣條就是那個方法。動用它之前，先看它的解剖。一個平滑函數寫成一組固定基底函數的加權和，那些基底函數(basis function)是散布在預測變項(predictor)值域上的小型局部隆起，因此只要基底夠豐富，適當的權重就逼近得了任何平滑形狀。基底一豐富，用最小平方(ordinary least squares)去配權重會把雜訊一併內插(interpolate)進來，配適因此要加上一個對擺動度的懲罰，典型是曲線二階導數(second derivative)平方的積分(integral)，也就是曲線彎折程度的度量(measure)。估計式最小化的是不合的程度加上懲罰乘以一個平滑參數，而那個平滑參數是在偏誤(bias)與變異數(variance)之間取捨的唯一一個旋鈕：等於零時回傳那條擺動的內插曲線，趨於無限時回傳懲罰碰不到的那條直線，落在中間時回傳一條資料撐得住多少彈性就有多少彈性的曲線。圖 30.1 在一個模擬函數上呈現那組基底與那三種狀態。把懲罰迴歸與探索式畫曲線分開的關鍵一步，是平滑參數由資料以受限最大概似估出來，不由分析者對曲線該有多平滑的判斷設定。有效自由度(effective degrees of freedom)是平滑矩陣(smoother matrix)的跡(trace)，摘要的是資料買到了多少形狀：結果是線性的曲線花掉一個自由度，輕微彎曲的花掉三到四個，而圖中那個模擬函數在受限最大概似的最適點上掙到大約七個，對照基底裡可用的十九個。

註：(a) 是一組豐富的 B 樣條(B-spline)基底；一個平滑就是這些隆起的加權和。(b) 是三種平滑參數設定下對一個模擬函數（虛線）的懲罰配適。過度平滑（有效自由度為一）回傳一條錯過形狀的直線；過度不平滑（有效自由度十八）追著雜訊跑；受限最大概似的選擇（大約七）則還原了真相。平滑參數就是那個偏誤與變異數的旋鈕，由資料選，不由眼睛選。

這個想法的深處在於：懲罰就是一個先驗(prior)，平滑就是一個隨機效果。把基底分成不受懲罰的那一部分，也就是懲罰放過的那些函數，以及受懲罰的那一部分；懲罰把受罰係數往零收縮(shrinkage)，正如一個混合模型把隨機效果往它們的平均數收縮，而平滑參數結果就是殘差變異數對那些隨機係數變異數的比值。這不是類比，是等同：一個懲罰樣條就是一個線性混合模型，曲線擺動的那一部分是隨機效果，而第 13 章的受限最大概似做法選平滑參數的方式，與它選任何一個變異數成分(variance component)的方式相同。廣義加法混合模型之所以融貫，正是因為這個等同：平滑既然是隨機效果，就自然與本書一路建起來的縱貫模型裡的隨機截距、隨機斜率並列而居，整套裝置一起估。表 30.1 整理本章後面用到的基底類型，基礎方塊則把那個混合模型表徵精確寫出來。

30.2 縱貫資料的廣義加法混合模型

廣義加法混合模型是在混合模型的隨機效果結構上，加進預測變項的平滑，而 mgcv 提供兩條路。函式 gamm 透過線性混合模型表徵、借 nlme 配適，這條路讓相關殘差(correlated residual)結構可用；gam 搭配隨機效果基底（bs="re"）或因子平滑基底（bs="fs"），以懲罰概似配適同一類模型，速度較快，換成 bam 這個變體還能擴展到密集縱貫設計產生的大型資料集。對 growth_gam 資料，第一順位的模型是年齡的一個母體平滑加上學校的隨機截距，它還原了那個羅吉斯真相：年齡平滑的有效自由度是 \(7.4\)，學校標準差是 \(1.04\)，對照真值 \(1.2\)。守住這份配適的診斷是基底維度檢查。基底大小 \(k\) 是彈性的天花板，不是彈性本身，而 mgcv 的 gam.check 會在平滑的尺度上檢驗殘差還有沒有剩下的型態，藉此回報天花板有沒有卡住。這裡的檢查回傳 \(k\) 指數 \(1.02\)、\(p\) 值不顯著，表示基底夠大，做平滑的是懲罰，不是天花板。圖 30.2 把那個平滑與那些參數化的替代方案一起對照已知真相。

註：growth_gam 資料中學業成就隨年齡的變化。廣義加法混合模型（藍，附信賴帶）以 \(0.17\) 的均方根誤差跟上了羅吉斯真相（虛線）；二次式（橘）與分段線性模型（綠）被迫在真相持平之處彎曲、在真相陡峭之處拉直，誤差分別是 \(0.94\) 與 \(0.99\)。這三個數字不在同一把尺上：\(0.17\) 是先移掉配適曲線與真相之間那個固定垂直位移之後的形狀誤差，\(0.94\) 與 \(0.99\) 則含著那個位移。同一把尺上，含位移的三個值是 \(0.211\)、\(0.945\) 與 \(0.990\)，只計形狀的三個值是 \(0.166\)、\(0.938\) 與 \(0.983\)，排序與量級都不因此改變。那個平滑的信賴帶在資料稀疏的地方變寬，這份誠實是到處都報同一個窄區間的參數化配適給不出來的。

廣義加法混合模型乖不乖，取決於少數幾個實務設定，表 30.2 把它們連同理由一起收齊。反覆出現的原則有三：基底大小是一個要慷慨設定並加以檢查的天花板，不是要調校的參數；受限最大概似是最不容易過度配適的平滑參數選法；項目選擇(term selection)可以打開，好讓一個平滑在某個預測變項完全掙不到形狀時收縮到零。

母體平滑(population smooth)抓的是平均軌跡，但縱貫研究的問題往往落在異質性(heterogeneity)上，而因子平滑基底提供了第 14 章隨機斜率的非參數對應物。一個「年齡的母體平滑加上年齡依兒童的因子平滑」模型，給每個孩子一條自己的平滑軌跡，全部共用單一個平滑參數；個別曲線因此向母體借力、也彼此借力，不會把每個孩子那少少幾筆觀察配到過度配適。圖 30.3 呈現四十位兒童的那面畫廊：每一條細線是一個人的非參數軌跡，在紅色的母體平滑周圍擺動，擺多少由那個共用的懲罰決定。這是隨機斜率成長模型的彈性手足，用在理論沒有指定個體變化的函數形式、而每個人的資料又少到估不出一條自由曲線的時候。第 14 章關於殘差自我相關(autocorrelation)的告誡原封不動移植過來：來自一個平滑的個體內殘差多半是相關的，那份相關本身若有意思，可以透過 gamm 以自我迴歸(autoregressive)結構為它建模。但混淆(confounding)的警告仍然成立：一個時間的彈性平滑與一個自我迴歸的殘差，會競相解釋同一份個體內依賴，兩者都自由浮動又不加檢視，實務上可能讓模型不可識別(unidentified)。

註：來自因子平滑（"fs"）基底的四十位兒童個別平滑軌跡（細線），紅色為母體平滑，灰色為原始觀察值。每個人的曲線都是非參數的，卻與其他所有人共用一個平滑參數，個別軌跡因此是被往母體形狀正則化，不是被自由配適。這是第 14 章隨機斜率成長模型的彈性對應物，用在個體變化不假設任何函數形式的時候。

組別比較，正是彈性曲線交出一個參數化模型難以表達之估計標的(estimand)的地方：問的不是兩組平均而言有沒有差，而是它們在時間上的何處有差。差異平滑為每一組配一條分別的曲線，再把兩者的差估成預測變項的一個函數；它的推論必須把這個差是一整條曲線、不是單一個數字這件事算進去。一條逐點信賴帶，也就是每個時點上的估計值加減大約兩個標準誤(standard error)，在任何單一時點上都有正確的涵蓋率(coverage)，卻低估了整條曲線作為一個整體的不確定性：一條曲線在許多時點上每一點都待在自己的逐點帶之內，依那條帶自己的邏輯來看並不容易發生。同時信賴帶(simultaneous confidence band)修正這一點。它把區間加寬到一次容納整條曲線之偏離所需要的乘數，做法是由係數的後驗(posterior)抽樣，取整條曲線上最大標準化偏離的分配。tvem_rct 資料是一份兩組試驗，治療效果被做成會浮現、然後部分消退；那裡的同時帶乘數(multiplier)大約是 \(2.5\)，不是逐點的 \(1.96\)，而兩組之間的差異在同時的意義下，於第六到第二十週之間顯著。圖 30.4 呈現那條差異平滑連同兩種帶與那個顯著區間，基礎方塊則勾勒它的構造。

註：tvem_rct 資料中組別差異作為週的函數，已知真相為虛線。內側的帶是逐點的（乘數 \(1.96\)），外側的帶是同時的（乘數大約 \(2.5\)）；後者才是「整條曲線上何處兩組有差」這個問題的正確帶。差異在同時的意義下於陰影區間內顯著，也就是第六到第二十週。這個估計標的，也就是組別差異的位置與時機，是單一個對比表達不出來的。

週期性現象是本節縱貫應用的最後一項，也是與第 23 章的接觸點。日內節律(diurnal rhythm)是週期的，例如一種在午間下沉、到傍晚又回升的心情；循環樣條強制配適曲線與它的斜率在週期兩端相合，節律因此接得平順，不會由最後一小時跳到第一小時。diurnal_ema 資料帶著這樣一個節律，圖 30.5 以兩種方式配適它：一個循環樣條，花掉大約五個有效自由度，貼著那道弧走；以及第 23 章那一對三角函數，也就是日頻率上的一個正弦與一個餘弦，恰好花掉兩個，抓到大致的形狀，卻彎不到那道弧的細部。取捨還是本章反覆出現的那一個。三角函數對是參數化的，可以解讀成一個振幅(amplitude)與一個相位(phase)，節律接近正弦時很有效率；循環樣條有彈性，忠於偏離純正弦之處，節律本身的形狀就是待答問題時，它是比較安全的選擇。兩者都不佔絕對優勢，決定權在於科學標的是循環的形狀，還是振幅的一個摘要。

註：diurnal_ema 資料中負向情緒的母體日內平均數（虛線為真相）。循環樣條（藍，大約五個有效自由度）忠實地跟著那道弧，均方根誤差為 \(0.020\)；那一對三角函數（橘，兩個參數）抓到大致的節律，卻被限制在一個純正弦上，均方根誤差為 \(0.041\)，是循環樣條的兩倍，端點上的誤差也由 \(0.035\) 拉大到 \(0.080\)，而那道弧的整體振幅只有 \(0.50\)。循環樣條以彈性買到忠實度，三角函數對以剛性買到可解讀性。

30.3 時變效果模型

到目前為止的模型，讓結果變項的形狀變得有彈性。時變效果模型讓一個係數的形狀變得有彈性，而這一次的問題轉移是真的轉移。它問的不是結果變項如何隨時間變化，而是一個預測變項的效果如何隨時間變化：壓力與負向情緒之間的關聯(association)在青春期是加強還是減弱，渴求對復發的箝制在一次戒除嘗試中會不會鬆開，一項治療的好處會不會逐漸浮現然後淡去。它的設定就是 Hastie and Tibshirani (1993) 的變動係數模型：一個預測變項上的係數，本身是時間的一個平滑函數，\(y = \cdots + \beta(t)\,x + \cdots\)，其中 \(\beta(t)\) 是一個懲罰樣條。在 mgcv 裡，變動係數寫成 s(time, by = x)，也就是一個時間的平滑乘上共變項 \(x\)；承自 Methodology Center 一脈的專用套件 tvem 把同一個想法包起來，並為密集縱貫資料加上便利設施。輸出要讀成一條曲線，不是一個係數，而它的帶就是上一節那條同時帶，因為問題再一次是關於一整條曲線的。

本章的招牌圖還原了兩種不同的時變效果。tvem_rct 資料裡，治療效果 \(\beta_{\text{arm}}(t)\) 被做成在起點附近接近零，第六週前後浮現，第十週附近到達約 \(1.3\) 個症狀分的削減高峰，第二十週之前部分消退；變動係數模型以 \(0.10\) 的均方根誤差還原了這條曲線，浮現放在第六週、高峰放在第十週，兩者都恰好落在真相上。diurnal_ema 資料裡，連結當下壓力與當下負向情緒的個體內係數被做成會習慣化，由研究第一天的大約 \(0.65\) 平順下降到第十四天的大約 \(0.30\)，因為人會適應監測，也會適應那些壓力源；模型幾乎分毫不差地還原了那份下降，由 \(0.65\) 到 \(0.29\)。圖 30.6 呈現兩者。這兩個子圖讓這個想法的普遍性變得具體：一個係數可以沿著一項治療的時間軸(time axis)變動，也可以沿著一份研究的時間軸變動，而不論哪一種，交付物都是一條帶著信賴帶的曲線，說出效果何時在場、又如何移動。

註：(a)：tvem_rct 資料中的治療效果 \(\beta_{\text{arm}}(t)\)（藍，附同時帶；虛線為真相）在第六週附近浮現、第十週附近到頂（圓點），然後消退，這條軌跡是單一個危險比或平均對比表達不出來的。(b)：diurnal_ema 資料中個體內的「壓力對負向情緒」係數 \(\beta_{\text{stress}}(\text{day})\)（紫；虛線為真相）在研究過程中習慣化，由大約 \(0.65\) 下降到 \(0.30\)。兩者的估計標的，都是一個效果隨時間的形狀。

有一個區分讓時變效果模型不至於被過度推銷：與時間的參數化交互作用是時變效果的一個特例(special case)，不是它的等價物。放進一個 \(x\) 乘時間的乘積項(product term)，讓 \(x\) 的效果隨時間線性變化，那是一個被約束在直線上的時變效果；變動係數模型鬆開那道約束，讓效果取任何資料撐得住的平滑形狀，因此找得到浮現又消退的效果，而那是任何單一個乘積項都做不到的。這層蘊含有方向：配適一個與時間的線性交互作用，時變效果模型就把它巢套在內，並檢驗那份線性成不成立；而一個結果是直的時變效果，不過是把那個交互作用重現一次，外加關於它自身線性的誠實不確定性。表 30.3 把這個方法放在它的鄰居之間。本節也誠實標出這裡的前沿(frontier)：多層次的時變效果模型，也就是時變係數本身跨人變動的 \(\beta_i(t)\)。做法是有的，靠的是把因子平滑與 by 變數結合起來，但估計很細緻，文獻(literature)也還在沉澱；關於逐人時變效果的主張因此應該謹慎提出，並對照當前的方法學工作查核。

30.4 函數型資料分析：一份實作導論

函數型資料分析做了一個把一切重新框起來的概念動作：資料點不是一個純量或一個向量，而是一整條曲線 \(y_i(t)\)，一個人一個函數。一份日內心情研究產出的不是一張提示的表格，而是一份每日心情曲線的樣本；一份動作研究產出一份軌跡的樣本；一份生理研究產出一份訊號的樣本。進到曲線裡有兩條路。先平滑那條路把每一條曲線表徵在一組基底上，再把平滑後的函數當成分析對象，這是古典的函數型資料立場；模型本位那條路，也就是第 30.2 節的廣義加法混合模型，以平滑與隨機效果為逐點的資料建模，達到許多相同的目的。兩者一致的程度，足以讓工作中的研究者把廣義加法混合模型當成多數縱貫問題的夠用工具，把完整的函數型裝置留到真的需要它那些獨有工具的時候。第一件這樣的工具就是對位。

對位面對的是一個逐點方法看不見的問題。一批曲線共有一個形狀，卻在那個形狀之特徵的時間上彼此不同，例如某些單位的高峰來得早、另一些來得晚，此時逐點平均數就會把那個高峰糊成一個又低又寬的隆起，像不出任何一條個別曲線的樣子，因為它在每一個時點上平均的，是處在共有軌跡不同位置上的那些單位。這個區分落在振幅變異(amplitude variation)與相位變異(phase variation)之間，前者是一個特徵在高度上的差異，後者是它在時間上的差異，而把兩者分開就是對位的工作 (Marron et al., 2015)。圖 30.7 在一束共有單峰、峰高不一、峰位也不一的曲線上示範這件事。左邊那條紅色的未對位平均數糊掉而且偏低；地標對位(landmark registration)把每條曲線的時間軸扭到讓它的高峰落在共同位置上，高峰時間的標準差由 \(0.095\) 壓到 \(0.010\)，還原出的紅色平均數重新取回了每一條個別曲線都有的那個銳利高峰。對位後的曲線與那些扭曲函數(warping function)接著成為分開的分析對象：對齊後的曲線承載振幅變異，那些扭曲承載相位變異，各自都可以獨立分析。事件的時間本身就是實質問題的地方，例如生理反應的對齊、或一個發展序列的節奏(tempo)，對位不可或缺，再多的逐點平滑都替代不了。

註：共有一個高峰、峰高不一（振幅）、峰時也不一（相位）的曲線。左：未對位，逐點平均數（紅）被糊成一個不符合任何個別曲線的低隆起。右：以地標對位到共同的高峰位置之後，高峰時間的標準差由 \(0.095\) 落到 \(0.010\)，平均數（紅）也取回了那個銳利的高峰。在對位之前先平均，恰恰摧毀了這些曲線共有的那個特徵；逐點的方法看不見對位所移除的那份相位變異。

第二件獨有的工具是函數型主成分分析，它是第 19 章成長因子的函數型對應物。成長模型以少數幾個潛在因子摘要每個人的軌跡，一個截距與一個斜率，那是帶著逐人權重的共同形狀；函數型主成分分析則以少數幾個函數型主成分(functional principal component)摘要每個人的曲線，那些形狀由實徵估計出來，也就是變異的模態(mode of variation)，同樣帶著逐人的分數。那些模態是曲線共變數的特徵函數(eigenfunction)，依它們解釋的變異數(variance explained)排序；那些分數是每個人在它們上面的負荷量(loading)，平均數為零，可以像任何一個個人層次變項那樣分析。diurnal_ema 資料的日內剖面(profile)由三個植入的模態生成，分析乾淨地還原了它們：領頭的成分解釋了百分之六十八的個體間變異數，對照植入的百分之六十五，是一個水準位移，一條幾乎持平的特徵函數，把一整天往上或往下抬；第二個是百分之二十對照百分之二十五，是一個由早到晚的傾斜；第三個是百分之九對照百分之十一，是一個加深或填平午間凹陷的午間曲度。還原出來的逐人分數與真正植入的分數相關達 \(0.999\)、\(0.995\) 與 \(0.986\)。圖 30.8 把那些模態畫成對平均數的擾動、把那些分數畫成逐人的特徵，表 30.4 則把它與成長因子的對應關係說明白。那些分數可以用在成長因子能用的每一個地方：當成迴歸在共變項上的結果變項、當成後續事件的預測變項，或當成兩階段分析裡的個人層次摘要；而函數對純量的迴歸(function-on-scalar regression)把這個想法推廣成直接把整條曲線迴歸在共變項上。

註：上排把 diurnal_ema 剖面領頭的三個函數型主成分畫成對平均數曲線（灰）的擾動：加上（藍）與減去（紅虛線）每一個模態。第一個（個體間變異數的百分之六十八）是一個水準位移，第二個（百分之二十）是一個由早到晚的傾斜，第三個（百分之九）是一個午間曲度。下方子圖畫出逐人在前兩個模態上的分數，那是平均數為零、可以像成長因子那樣使用的特徵。還原出來的分數與植入的真相相關都在 \(0.98\) 以上。

那麼，相對於用熟悉工具回答同一個實質問題的廣義加法混合模型，函數型這一套做法何時值得它的代價？以下三種情形付得起：資料是密集函數型的，每個單位測了許多次、描得出一條真正的曲線，例如生理(physiology)、加速度計(accelerometry)、眼動(eye-tracking)或滑鼠軌跡(mouse-tracking)；需要對位，因為特徵的時間跨單位變動，而那份變動本身就有意思；以及推論是關於整條曲線的，關於它們變異的模態或它們在共變項上的迴歸，不是關於一條母體平均軌跡。以下情形則付不起，廣義加法混合模型就夠了：每個單位的資料稀疏(sparse)、問題落在一條平均軌跡或一個組別差異上、特徵的時間由設計釘死。稀疏這一項要對一個常見的誤解(misconception)加上告誡：函數型主成分分析並不需要密集而等距(equally spaced)的網格，Yao et al. (2005) 的稀疏資料方法是由不規則觀察的匯集共變數估出那些模態，因此連生態瞬時評估那種參差(ragged)的取樣都用得上。

30.5 預防彈性的濫用

彈性模型有幾種特有的失敗方式，而使用它們的紀律，大體上就是預先擋住那些失敗。第一種是共曲性(concurvity)，也就是平滑世界的共線性(collinearity)：兩個各以分別平滑放進去的預測變項若近乎函數相依，也就是其中一個近乎是另一個的平滑函數，它們的平滑就聯合地不可識別，會盪向一些又大又互相抵銷的形狀，合起來配適得同樣好，分開來卻毫無意義。圖 30.9a 呈現這項病理(pathology)：兩個近乎相依之預測變項的平滑盪向不同的形狀，其中一條的信賴帶比它自己的幅度還寬；mgcv 的 concurvity 函式會示警，對這一對回傳一個逼近最大值一的最差情形指數。補救的不是更好的懲罰，是更好的模型：丟掉多餘預測變項的其中一個，或把它們合起來，因為再多的平滑都救不回資料裡本來就沒有的區分。第二種失敗是敘述雜訊。配適得夠激進的平滑，在小樣本或吵樣本上會造出結構，危險不在那個擺動本身，而在關於它所講的故事。圖 30.9b 把一條過度不平滑的曲線配到一份完全沒有訊號的資料上，真相是持平的，那份配適卻樂於產出凹陷與隆起，還配上一條逐點帶。紀律就是要求一條同時帶：在這份純雜訊上，最大的標準化偏離只有 \(2.18\)，遠低於同時帶所需的乘數，於是那些擺動一個也站不住，逐點帶所邀請的敘事應該被拒絕。

註：(a)：共曲性。兩個近乎函數相依之預測變項的平滑（最差情形指數 \(0.99\)）盪向不同的形狀，\(s(x_2)\) 的信賴帶比它整條曲線的幅度還寬，分開來看沒有意義；解方是丟掉或合併一個預測變項，不是平滑得更用力。(b)：過度配適。一條過度不平滑的曲線配到純雜訊上（真相持平，虛線），造出一些凹陷與高峰；本圖畫的是逐點帶（英文版與中文版的分析都只算到逐點帶），而最大的標準化偏離只有 \(2.18\)，達不到同時帶所要求的乘數，那些擺動因此不該被敘述。

其餘的濫用，是一份報告標準管得住的衛生(hygiene)問題。外推(extrapolation)到資料範圍之外，對平滑而言跟對多項式一樣沒有支撐，而且更陰險：懲罰平滑在資料之外會退回它未受懲罰的零空間行為，典型是線性的，看起來還帶著騙人的自信。基底維度診斷(diagnostic)必須跑、也必須報告，因為過小的基底會毫無預警地過度平滑。平滑參數的選法應該說明，因為廣義交叉驗證與受限最大概似可能給出不同結果，而受限最大概似比較不容易過度配適，也是當前的預設建議；這是一項關於傾向的陳述，不是一條定律，在 growth_gam 上廣義交叉驗證給出的有效自由度反而是比較平滑的 \(5.77\)，對照受限最大概似的 \(7.38\)。「什麼被固定、什麼由資料選」這個區分必須保留下來，彈性模型才可能預先註冊(preregistration)：一份預先註冊可以固定基底類型、最大基底大小、平滑參數的方法與推論用的帶，只把形狀本身留給資料，而這正是讓懲罰迴歸成為驗證性、而非探索性的那份分工。表 30.5 收齊報告的要素，實作方塊則處理在密集設計如今的規模上套用這些模型的計算現實。

習題

1. 30.1 形狀之爭。在 growth_gam 上把懲罰平滑、二次式與分段線性模型一起配適，重現圖 30.2 對照已知真相的那三個均方根誤差；接著違反表 30.2 的建議，把基底大小 \(k\) 一路調小到天花板卡住，說明 gam.check 的 \(k\) 指數為什麼示警，而更重的懲罰救不回這份過度平滑。
2. 30.2 逐人軌跡。在 growth_gam 上配適年齡的母體平滑加上因子平滑的模型，重現圖 30.3 那面被往母體正則化的軌跡畫廊；寫出一段報告有效自由度、\(k\) 指數與學校標準差的結果文字，並交代這個時間的平滑與一個自我迴歸的殘差為什麼不該不加檢視地並置。
3. 30.3 交互作用不夠用。在 tvem_rct 上先配適一個治療乘上週的參數化交互作用，再配適 s(week, by = arm) 的變動係數模型，重現圖 30.6 那條浮現又消退的曲線，並依表 30.3 把兩者的估計標的對照清楚。
4. 30.4 帶的算術。由係數的後驗抽樣自己算出圖 30.4 那條差異平滑的同時帶乘數，確認它大於逐點的 \(1.96\)；再把同一套程序套到圖 30.9 中的純雜訊配適上，說明最大標準化偏離 \(2.18\) 為什麼讓那些凹陷一個都敘述不得。
5. 30.5 檢核表稽核。取一篇用了 mgcv 的已發表縱貫論文，依表 30.5 逐項稽核，特別看它有沒有把最大基底大小與實現出來的有效自由度分開報告，並就疏漏之處寫出你會交給編輯的審查意見。
6. 30.6 曲線就是資料。在 diurnal_ema 上以地標對位把相位與振幅分開，重現圖 30.7 救回來的那個銳利高峰；再以函數型主成分分析取出圖 30.8 的三個模態，把分數當成第 19 章的成長因子使用，並依第 30.4 節的判準說明你自己的資料值不值得付這套做法的代價。