向量自我迴歸、多層次 VAR 與動態 SEM

25.1 一個人的系統：向量自我迴歸

向量自我迴歸把第 24 章的單一序列自我迴歸，推廣到一組隨時間同時測量的變項上。一個人在每個時點都測了數個變項，把他「相對於自己平均數」的個體內偏離收成一個向量 \(\mathbf{y}_t\)，一階向量自我迴歸就是 \(\mathbf{y}_t = \boldsymbol{\Phi}\,\mathbf{y}_{t-1} + \boldsymbol{\varepsilon}_t\)。其中 \(\boldsymbol{\Phi}\) 是方陣(square matrix)形式的轉移矩陣(transition matrix)，\(\boldsymbol{\varepsilon}_t\) 是創新(innovation)向量，帶著同時(contemporaneous)共變數矩陣 \(\boldsymbol{\Sigma}\)。要看的就是轉移矩陣，它的每一個元素都有清楚的心理學讀法。對角元素 \(\phi_{jj}\) 是變項 \(j\) 的延續效果(carryover)，也就是前一章命名過的慣性：這個變項自己被抬高的狀態(state)，延續到下一個時點(occasion)的程度。非對角元素 \(\phi_{jk}\) 是一條交叉延宕：變項 \(k\) 在某個時點被抬高，能多預測到下一個時點的變項 \(j\) 多少，而且是在 \(j\) 自己的延續效果之上再多出來的那一部分。兩個非對角元素都不為零，系統就含有一個回饋(feedback)迴路，兩個變項各自把對方往下一個時點推；整個矩陣就是這個人動態組織(dynamic organization)的一份精簡陳述。圖 25.1 為一個由壓力與負向情緒構成的雙變項系統標出這副解剖。

註：一個雙變項的一階向量自我迴歸。對角係數（藍色自我迴圈）是每個變項的慣性；非對角係數（橘色）是交叉延宕，也就是一個變項對另一個變項延宕一期的影響。兩條不為零的交叉延宕就構成一個回饋迴路。右邊的矩陣方程式是同一件事的代數寫法。

有兩項性質決定這樣一個系統行為好不好。第一項是定態性。這個從第 24 章繼承下來的前提現在取決於整個矩陣，不是單一個係數：\(\boldsymbol{\Phi}\) 的每一個特徵值都嚴格落在複數平面(complex plane)的單位圓(unit circle)之內，歷程才是定態的，衝擊(shock)才會衰減(decay)而不會累積(accumulate)。圖 25.2 在複數平面上畫出一個穩定系統與一個發散(explosive)系統的特徵值，旁邊各放上它們產生的序列：穩定的那條圍著平均數波動，發散的那條無界地散開。特徵值也承載著動態。實數特徵值給出平滑的衰減，複數特徵值給出前一章在二階自我迴歸裡遇過的阻尼振盪，而模數(modulus)最大的那一個決定系統整體的持續性(persistence)。第二項性質是創新怎麼讀。同時共變數矩陣 \(\boldsymbol{\Sigma}\) 捕捉延宕結構沒預測到的部分，也就是在同一個時點一起抵達的那些衝擊。同一時點的關聯究竟是一條快速的因果路徑，還是一個沒被建模的共同原因，留到第 28 章的同時網絡再談；在這裡它只是一個要估計的共變數，不是一項要提出的主張。

註：左：一個穩定的（藍）與一個發散的（橘）轉移矩陣，它們的特徵值相對於單位圓落在哪裡。右：兩個系統各自產生的序列。特徵值全都在圓內，衝擊就會衰減、系統就是定態的；只要有一個落在圓外，系統就發散。最大的特徵值模數概括了整體的持續性。

配適好一個 VAR 之後，脈衝反應函數(impulse-response function)會讓它的動態變得生動：這個函數追蹤的是，對其中一個變項的一單位衝擊如何在後續時點傳遍整個系統。歷程是線性的，所以期程(horizon) \(h\) 的反應就是把 \(\boldsymbol{\Phi}^{h}\) 作用在最初的衝擊上；畫出來的曲線同時顯示被衝擊變項的衰減，以及它對其他變項的外溢(spillover)。圖 25.3 呈現 affect_ema 資料裡一個人對壓力衝擊的反應：壓力從脈衝開始衰減，負向情緒則在一個時點之後升到延遲的高峰再消退，這正是外溢在時間上的指紋。脈衝反應讀起來很有力，但它立基於幾項必須交代的假設，也就是線性、定態，以及「哪一個衝擊是原生的」這件事的識別(identification)。在心理學實際收得到的序列長度下，它的抽樣不確定性(sampling uncertainty)很大，所以最好定性地讀成一種傳播的形狀，不要定量地讀成一項精確的預測。

註：在 affect_ema 的一個人身上，壓力（橘）與負向情緒（藍）在一單位壓力衝擊之後十個時點內的反應。壓力衰減；負向情緒在一個時點之後升到高峰再淡出。這些曲線是把 \(\boldsymbol{\Phi}^{h}\) 作用在衝擊上得到的，並且假設了線性與定態。

Granger 預測值得精確地陳述，因為它太常被過度解讀。說一個變項 \(k\) 對一個變項 \(j\) 有 Granger 因果(Granger-cause)，指的是 \(k\) 的過去能在 \(j\) 自己的過去之上改善對 \(j\) 的預測；這是一項關於預測內容的陳述，僅止於此。它不是機制(mechanism)的證據：一個被遺漏、又同時驅動兩者的個體內變項，就足以製造出那份預測上的改善。它也依賴測量的時間間隔(measurement interval)，因為一個運作得比取樣速率更快或更慢的歷程，可以憑空出現、也可以憑空消失。配適到 affect_ema 的一個人身上，延宕的壓力在負向情緒自己的延續效果之上改善了預測，是一項顯著的 Granger 改善。誠實的注解是：這個人的壓力帶著關於下一刻情緒的預測訊息，不是壓力被證明造成了情緒。下面的 \(N=1\) 配適估出轉移矩陣、用特徵值檢查定態性，並跑了 Granger 檢定；表 25.1 把參數與它們的心理學語意收在一起。

# 對一個人配適 N=1 的 VAR(1)：壓力與負向情緒
d1 <- subset(affect_ema, person == 59)
d1$cs <- d1$stress - mean(d1$stress, na.rm=TRUE)   # 個人平均數中心化
d1$cn <- d1$na     - mean(d1$na,     na.rm=TRUE)
d1$Lcs <- c(NA, head(d1$cs, -1)); d1$Lcn <- c(NA, head(d1$cn, -1))
fit_s <- lm(cs ~ 0 + Lcs + Lcn, d1)      # 壓力方程式
fit_n <- lm(cn ~ 0 + Lcs + Lcn, d1)      # 負向情緒方程式
Phi <- rbind(stress = coef(fit_s), na = coef(fit_n))   # 轉移矩陣
Mod(eigen(Phi)$values)                    # 都 < 1 即為定態（最大 0.53）
# Granger：延宕的壓力在 NA 自己的延宕之上還加得了預測力嗎？
anova(lm(cn ~ 0 + Lcn, d1), lm(cn ~ 0 + Lcn + Lcs, d1))   # p = 0.021

一個人的 VAR 只是起點，因為轉移矩陣並非人人相同。把同一個縮減式(reduced-form) VAR 配適到一批 affect_ema 的人身上，再讀出其中一個係數，也就是延宕的壓力對下一刻負向情緒的效果，得到的就是圖 25.4。估計值在人與人之間散得很開，有些人反應強烈，有些人幾乎沒有；而每個人的估計值都帶著很寬的信賴區間(confidence interval)，因為一個人只提供得出幾十次可用的轉移。散布本身就是現象，與第 23 章的隨機斜率是同一個道理；區間太寬則是問題，與第 24 章短序列的限制也是同一個道理。兩者都指向同一步：把逐人的矩陣建模成隨機效果、跨人借力，也就是多層次 VAR。

註：十二個 affect_ema 的人，每個人估出來的「延宕壓力對負向情緒」效果（藍點）與它的 95% 信賴區間、那個人的真值（紅色菱形），以及樣本平均數（綠線）。動態因人而異，而每一個單人估計值都不精確，這兩件事正是多層次彙整的動機。

25.2 多層次 VAR

多層次 VAR(multilevel VAR)把每個人的轉移矩陣，當成從「轉移矩陣的母體(population)」中得到的一次抽樣。個體內的模型就是上一節的向量自我迴歸；多層次那一層則讓每個人的自我迴歸(autoregression)與交叉延宕係數成為隨機效果。固定效果(fixed effect)估的是平均的動態，隨機效果變異數估的是它們的異質性(heterogeneity)，這正是第 23 章隨機斜率的邏輯，只是現在用到延宕的預測變項上，而且同時用在好幾條方程式上。估計會產出三個矩陣，把它們分清楚至關重要。時間矩陣(temporal matrix)是固定效果的轉移矩陣，也就是平均的延宕動態。同時矩陣(contemporaneous matrix)是個體內創新的偏相關(partial correlation)結構，也就是移除延宕結構之後還留著的同一時點關聯。個體間矩陣(between-person matrix)是各人平均數的共變數，回答的是「在某一個變項上平均較高的人，在其他變項上傾向落在哪裡」。這三個就是第 28 章會解讀成圖(graph)的三個網絡層。在這裡它們只是要估計的統計物件；而 affect_ema 本來就由一個已知的多層次 VAR 生成，估出來還可以拿去對照真相。

那項對照是本章最令人滿意的展示。圖 25.5 把估出來的時間、同時與個體間三個矩陣，放在生成資料所用的數值旁邊，每一格上排是多層次估計值、下排是真值。時間矩陣把種下去的結構還原了出來：對角線的慣性接近生成值，壓力延宕外溢到負向情緒的那一格估成 \(0.24\)，真值也是 \(0.24\)，而真值為零的那些格子估出來也接近零。對角線的估計值略低於真值，那正是基礎概念方塊推導出來的樣本平均數偏誤看得見的指紋：平均的延續效果還原成 \(0.31\)，真值是 \(0.35\)。同時矩陣還原了壓力與情緒之間為正的耦合，以及負向情緒與正向情緒之間為負的耦合；個體間矩陣則還原了各人平均數之間的相關。資料有雜訊(noisy)、有遺漏、又有界(bounded)，估計式還能重現一個已知的轉移矩陣、一個已知的創新結構與一個已知的個體間結構，讀者在真相未知的資料上才信得過它。

註：把一個多層次 VAR 配適到 affect_ema 之後，時間、同時與個體間三個矩陣估出來的（以及括號內生成資料所用的）元素；這份資料的生成歷程本身就是一個已知的多層次 VAR。填色編碼的是估計值。估計式把三個矩陣都還原了出來；時間矩陣對角線的元素略低，那是基礎概念方塊裡那個樣本平均數偏誤。

通往這些估計值有兩條路，兩者的對比正是通往 DSEM 的概念階梯。透明的那條是兩階段：先為每個人各配適一個 VAR，再用平均或後設分析(meta-analysis)把逐人的係數彙整起來。這條路好講解、也好計算，但序列一短就有偏誤，因為每個人的估計值都帶著上一節那個時點數少時的偏誤，而後設分析那一步又把有雜訊的估計值當成精確的來對待。比較好的那條是聯合估計：把所有人放進同一個多層次模型一起配適，每個人的動態都在「以母體為先驗(prior)」的情況下估出來，有雜訊的逐人估計值會往平均數收縮，準確度因此改善。圖 25.6 呈現這份回報。未經處理的逐人交叉延宕在真值周圍散得很開，收縮之後的多層次估計值則更緊地聚在真值線附近，均方根誤差(root-mean-square error, RMSE)由 \(0.142\) 降到 \(0.088\)，完全靠跨人借力(borrowing strength)買到這一段可觀的改善。收縮後的估計值明顯比未收縮的平坦，這是刻意的：一個人自己的資料薄到釘不住自己的動態時，誠實的估計值就該被拉向「母體說什麼比較可能」的方向。多層次 VAR 的套件生態系是逐節點(nodewise)配適這個模型的，每個變項跑一條多層次迴歸，下面的程式碼就勾勒這套流程。

註：逐人的交叉延宕對照它們的真值：未經處理的逐人（兩階段）估計值為橘色，收縮後的多層次估計值為藍色，虛線標示完美還原。收縮把有雜訊的逐人估計值拉向母體，並把均方根誤差由 \(0.142\) 降到 \(0.088\)。

# 多層次 VAR，逐節點作（每個變項一條多層次迴歸）。
# 先把每個變項與它的延宕作個人平均數中心化（欄名 c_*、Lc_*）。
library(lme4)
m_na <- lmer(c_na ~ Lc_stress + Lc_na + Lc_pa +
                    (1 + Lc_na + Lc_stress | person), data = d)
fixef(m_na)                       # 時間矩陣的一列（平均動態）
coef(m_na)$person[, "Lc_stress"]  # 逐人的交叉延宕（收縮後的 BLUP）
# 同時矩陣：逐節點殘差的偏相關
# 個體間矩陣：各人平均數的相關

25.3 動態結構方程模型

動態結構方程模型把多層次 VAR 重建在潛在變項(latent variable)的基礎上，而它的定義性動作是一次分解。每一個觀察分數(observed score)都寫成一個個體間部分與一個個體內部分之和，\(y_{it} = \mu_i + \tilde{y}_{it}\)。\(\mu_i\) 是這個人的潛在平均數，屬於個體間層次的隨機效果；\(\tilde{y}_{it}\) 則是承載序列動態(serial dynamics)的潛在個體內偏離(deviation)。自我迴歸與交叉延宕作用在潛在的 \(\tilde{y}\) 上，不是作用在「觀察分數減去一個樣本平均數」上，基礎概念方塊那份偏誤因此被移除：\(\mu_i\) 是借用跨人訊息估出來的參數，不是個體內的樣本平均數，偏離就不會機械性地與自己的過去相關，動態少了那股向下的拉力，還原得出來。圖 25.7 畫出這個架構：個體間層次供給每個人的潛在平均數與因人而異的動態參數，個體內層次則在潛在偏離上跑那個向量自我迴歸。

註：每一個觀察分數 \(y_{it}\) 都是一個潛在個人平均數 \(\mu_i\)（個體間層次）與一個承載自我迴歸與交叉延宕動態的潛在個體內偏離 \(\tilde{y}_{it}\)（個體內層次）之和。動態參數 \(\phi_i,\beta_i\) 與對數創新變異數本身也是隨機效果，共有一個個體間的聯合分配。以 \(\mu_i\) 而非以樣本平均數作中心化，正是移除小樣本偏誤的那一步。

圖 25.8 把潛在中心化(latent centering)的回報量化出來，那是本章方法學上的核心展示。一個已知係數為 \(0.40\) 的兩層次自我迴歸，在逐漸加長的序列上用三種方式估計：減去每個人觀察到的平均數；減去這個人真正的平均數，那是沒有任何分析者拿得到的神諭(oracle)；以及把平均數當成階層貝氏模型裡的潛在參數，也就是 DSEM 的做法。樣本平均數中心化在短序列上向下偏誤得很嚴重，十個時點時還原成 \(0.23\)、二十個時點時 \(0.31\)，要等序列加長才慢慢爬向真值。神諭中心化在每一種長度下都不偏。潛在中心化緊跟著神諭，連二十個時點都移除了幾乎全部的偏誤，只有在十個時點這個極端上往上擺動了一點，因為在那裡個體間與個體內兩部分幾乎分不開。教訓很直接：在心理學實際收得到的序列長度下，樣本平均數中心化低估了每一條自我迴歸與每一條交叉延宕，而潛在分解就是實用的修法。

註：一個真值為 \(0.40\) 的自我迴歸，分別以樣本平均數中心化（橘）、神諭的真平均數中心化（綠）與潛在的階層中心化（藍）估計，對照序列長度。樣本平均數中心化在短序列上偏向零；潛在中心化緊跟著神諭。兩者的落差就是 DSEM 移除掉的那份偏誤。

這個架構還買到三項能力。第一，動態參數是隨機的，DSEM 估出來的不是單一個轉移矩陣，而是一整個轉移矩陣的分配；它也因此問得出動態會不會與平均水準共變，例如平均壓力較高的人，是不是也把壓力更強地傳遞到情緒上。圖 25.9 呈現逐人交叉延宕在樣本(sample)中的分配，以及它與平均壓力水準的關係；在這份資料上那個關係基本上是零，這本身就是一項發現：外溢的強度與平均水準是兩項分開的個別差異。第二，創新變異數也可以是隨機的，而且是在對數尺度上，於是人與人的差別不只在動態，還在時時刻刻的波動性(volatility)，正是第 16 章位置尺度(location-scale)的想法在動態模型裡再生一次。圖 25.10 呈現逐人創新標準差的散布，而固定變異數的模型會錯誤地把這份波動性假設為常數。第三，測量那一層也可以做成潛在的。每個構念配上多個指標的 DSEM，估的是潛在因素(latent factor)的動態，不是單一個會犯錯的題目(item)的動態；這件事要緊，因為測量誤差會把自我迴歸的估計值往零的方向衰減。圖 25.11 示範那份衰減：一個 \(0.50\) 的自我迴歸，在信度(reliability) \(0.8\) 時還原成 \(0.38\)，在信度 \(0.5\) 時還原成 \(0.23\)。多指標(multiple-indicator)的 DSEM 就是修補的辦法，等於讓第 24 章的 P 技術在更大的規模上翻身，而且配上了它當初缺的那套序列結構。

註：左：120 個人身上逐人交叉延宕（壓力到負向情緒）的分配，並標出平均數。右：那些交叉延宕對照每個人的平均壓力水準；接近零的相關說明在這份資料上，外溢強度與平均水準是兩項不同的個別差異。DSEM 直接把這個分配建模。

註：逐人創新標準差的分配，也就是時時刻刻那些不可預測的衝擊有多大。DSEM 讓它以一個隨機的對數創新變異數在人與人之間變動，那是把第 16 章的位置尺度模型帶進動態的場景。

註：單一個會犯錯的指標，信度愈低，估出來的自我迴歸就愈低；真值 \(0.50\) 已標出。不可靠的測量會把慣性的估計值往零偏誤，而把構念建模成潛在變項的多指標 DSEM 修補得回這份衰減。

估計是貝氏的，理由充分：潛在分解、隨機的動態與隨機的變異數合起來，讓概似函數(likelihood function)對最大概似(maximum likelihood)方法變得棘手，而馬可夫鏈蒙地卡羅(Markov chain Monte Carlo, MCMC)自然地處理得了潛在平均數與隨機效果。實務上這個領域的標準是 Mplus。它的 DSEM 實作讀進密集縱貫(intensive longitudinal)資料，把資料分解成潛在的個體內與個體間兩部分，在參數上放先驗，再用第 17 章的貝氏語彙回傳後驗(posterior)摘要與收斂診斷(convergence diagnostics)；那裡叫 \(\hat{R}\) 的量，在 Mplus 叫潛在尺度縮減因子(potential scale reduction factor)，是同一個量。下面的輸入檔設定的是帶隨機交叉延宕的「壓力到情緒」外溢模型。&1 這個記法形成延宕，垂直線命名一個隨機斜率(random slope)，而 TINTERVAL 選項把提示(beep)之間不等的間距離散化(discretize)，那是通往第 27 章連續時間處理的橋。表 25.3 把這些設定翻譯成它們所編碼的決定。

! Mplus 兩層次 DSEM：隨機 AR 與隨機的壓力->NA 交叉延宕
VARIABLE:  NAMES = person day beep stress na pa;
           USEVARIABLES = stress na;
           CLUSTER = person;             ! 人就是群集
           LAGGED = stress(1) na(1);     ! 形成延宕一期的預測變項
           MISSING = ALL(-999);
ANALYSIS:  TYPE = TWOLEVEL RANDOM;
           ESTIMATOR = BAYES;            ! MCMC；ML 在這裡很吃力
           PROCESSORS = 2;
           BITERATIONS = (2000);         ! 下限；一直加到 PSR 穩定
MODEL:
  
    phi  | na     ON na&1;               ! 負向情緒的隨機 AR
    beta | na     ON stress&1;           ! 隨機交叉延宕：壓力 -> NA
    phis | stress ON stress&1;           ! 壓力的隨機 AR
  
    na WITH stress;                      ! 個體間平均數的共變
    phi beta phis WITH na stress;        ! 動態會與水準共變嗎？
OUTPUT:    TINTERVAL STANDARDIZED;

25.4 偏誤的地景

把失敗模式聚在同一個地方，前面那套做法的價值最清楚，因為每一項都是一個特定的偏誤配上一個特定的補救。熟悉這片地景(landscape)的實務工作者，在收到第一筆資料之前就預期得到估計值會往哪個方向錯。本章出現過四項偏誤，每一項都以模擬對照一個已知的真相示範過。樣本平均數中心化在短序列上把自我迴歸往下偏誤，十個時點時將近一半、四十個時點時也還有十分之一，補救是潛在中心化。測量誤差按不可靠的程度把自我迴歸往零衰減，補救是一個潛在測量模型(latent measurement model)。兩階段估計把動態的表面異質性膨脹，因為它把有雜訊的逐人估計值當成精確的，補救是帶收縮的聯合估計(joint estimation)。間隔粗化，也就是把不等距的時點當成等距處理，會讓動態產生偏誤，因為實際長度不同的各次轉移被彙整進同一個係數裡。圖 25.12 示範最後這一項：一個真實的一步(one-step)自我迴歸為 \(0.67\) 的連續時間歷程，天真的等間隔配適估成 \(0.56\)，向下偏誤了十分之一；一旦尊重了間隔就還原到 \(0.66\)，那正是第 27 章的連續時間修正。表 25.4 陳述每一項偏誤、大小的驅動因素與補救；表 25.5 則為本章這些模型要回答的問題，給出誠實的序列長度與樣本數指引。

註：左：一個以不等間隔取樣的連續時間歷程，長的（過夜）間隔已標出。右：真實的一步自我迴歸（\(0.67\)）、天真的等間隔估計值（\(0.56\)），以及連續時間還原出來的值（\(0.66\)）。忽略間距會低估自我迴歸；第 27 章直接把它建模。

25.5 選擇你的動態工具

本章的模型不是彼此的對手，而是一個分級的家族；在它們之間的選擇，由問題、資料，以及對這套做法的容忍度決定。圖 25.13 把這個決定畫成一張流程圖，它的邏輯值得用散文說一遍。關心的若是一個被密集研究、序列又長的個體，單人的 VAR 就是對的、也是足夠的工具，它按設計就是個殊取向(idiographic)的。關心的若是一個樣本，目標是平均的動態與它們的異質性，又要估得快、要以網絡(network)呈現，多層次 VAR 是那匹主力。問題若要的是只有潛在架構才給得起的東西，也就是短序列上不偏的中心化、與個人平均數共變的動態、隨機的創新變異數、構念的潛在測量，或有原則的遺漏處理，DSEM 就值得它的代價。觀察之間的間隔若變動到「當成相等」會扭曲動態，第 27 章的連續時間模型接手。動態的結構本身若就是異質的，也就是不同的人擁有性質不同(qualitatively different)的系統，而不是同一組係數的不同數值，那就是第 28 章群體搜尋(group search)方法處理的問題，這裡任何一個模型都處理不了。表 25.6 以一張動態多層次分析的報告檢核表為本章收尾。

註：這些模型構成一個分級的家族。一個人加上長序列，用 VAR；一個樣本的平均動態，用多層次 VAR；潛在中心化、隨機動態、潛在測量或遺漏處理，用 DSEM；間隔嚴重不等，用連續時間（第 27 章）；人與人的結構性質不同，用群體搜尋（第 28 章）。

寫一份動態多層次分析，是把前幾章的報告紀律延伸到這些模型特有的決定上。報告要說明配適的是哪一個模型，VAR、多層次 VAR 還是 DSEM，以及用了哪一種中心化，因為潛在中心化與樣本平均數中心化給出的偏誤不同。要給出估出來的動態與它們的心理學讀法：把平均的轉移矩陣讀成慣性與外溢，把異質性讀成隨機效果變異數(random-effect variance)，並附上不確定性。DSEM 還要報告估計式(estimator)、先驗、疊代(iteration)次數、收斂診斷與間隔的處理，並描述跑過哪些敏感度分析。全篇的因果語言都要與設計相稱，把交叉延宕報告成個體內的預測性關聯(predictive association)，不是因果效果(causal effect)；也要承認逐人估計值有收縮，以及序列長度限制了什麼識別得出來。示範段落如下：「本研究以 Mplus 對負向情緒與當下壓力配適了一個兩層次的 DSEM（120 人，每人最多 84 個時點），使用貝氏估計式、潛在的個人平均數中心化，以及隨機的自我迴歸與交叉延宕係數。由壓力到下一刻負向情緒的平均個體內交叉延宕為 0.24（95% 可信區間(credible interval) [.., ..]）；它在人與人之間變動（隨機效果標準差 ..），而且與平均壓力水準沒有明顯的共變。收斂情況良好（尺度縮減因子 \(<1.05\)；軌跡圖混合良好），而延宕一期的結論在延宕二期的設定下仍然成立。交叉延宕被解讀為個體內的預測性關聯，不是因果效果。」

習題

1. 25.1 解剖一個人的系統。把一個 VAR(1) 配適到 affect_ema 的單一個人身上，依表 25.1 把轉移矩陣讀成對角線的慣性與非對角線的外溢，並用特徵值的模數確認定態；接著追一次壓力衝擊的脈衝反應對照圖 25.3，並為那項 Granger 改善寫出一句只主張預測、不主張機制的注解。
2. 25.2 異質性與收縮。先逐人把 VAR 配適到 affect_ema 上，重現圖 25.4 那份散得很開又每個區間都很寬的異質性，再改成聯合估計的多層次 VAR，核對均方根誤差由 \(0.142\) 降到 \(0.088\)（圖 25.6），並依表 25.2 說清楚聯合估計修掉了什麼、又留下了什麼。
3. 25.3 三聯圖的真值還原。在 affect_ema 上配適一個多層次 VAR，把時間矩陣、同時矩陣與個體間矩陣分開報告並對照圖 25.5 的生成真值，說明時間矩陣的對角線為什麼落在 \(0.31\) 而不是 \(0.35\)，再依第 25.5 節的示範寫出一段結果文字。
4. 25.4 重現中心化的偏誤。重現圖 25.8 的模擬：一個真值 \(0.40\) 的自我迴歸，樣本平均數中心化在十個時點時只還原到 \(0.23\)、二十個時點時只還原到 \(0.31\)，潛在中心化卻緊跟著神諭；再用圖 25.7 的分解說明這份落差是被哪一步移除的。
5. 25.5 偏誤地景備忘錄。在看到資料之前先寫一份備忘錄，依表 25.4 逐項預測你的動態估計值會往哪個方向錯；引圖 25.11 的衰減（信度 \(0.8\) 時 \(0.50\) 掉到 \(0.38\)）與圖 25.12 的間隔粗化（\(0.67\) 估成 \(0.56\)）各給一個數字，並指名間隔差到什麼程度就該交棒給第 27 章。
6. 25.6 檢核表稽核。取一篇已發表的動態多層次分析，依表 25.6 逐項稽核它的中心化、隨機效果、收斂診斷與間隔處理，用表 25.5 判斷它的人數與時點數撐不撐得起它宣稱的估計標的，再依圖 25.13 為你自己的資料選一個模型並說明理由。