動態因素分析與狀態空間模型

26.1 一個形式，容納所有模型

狀態空間形式就是兩條方程式。觀察方程式 \(\mathbf{y}_t = \mathbf{Z}\,\boldsymbol{\alpha}_t + \boldsymbol{\varepsilon}_t\)，其中 \(\boldsymbol{\varepsilon}_t \sim N(\mathbf{0}, \mathbf{H})\)，說的是時點(occasion) \(t\) 測到的東西：一個負荷量矩陣(loading matrix) \(\mathbf{Z}\) 乘上一個潛在狀態 \(\boldsymbol{\alpha}_t\)，再加上測量誤差 \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\)。狀態方程式 \(\boldsymbol{\alpha}_t = \mathbf{T}\,\boldsymbol{\alpha}_{t-1} + \boldsymbol{\eta}_t\)，其中 \(\boldsymbol{\eta}_t \sim N(\mathbf{0}, \mathbf{Q})\)，說的是潛在狀態依一個轉移矩陣(transition matrix) \(\mathbf{T}\) 演化，由歷程雜訊 \(\boldsymbol{\eta}_t\) 推動。這兩個雜訊項不是同一回事，把它們分開正是整件事的重點。測量誤差 \(\boldsymbol{\varepsilon}_t\) 是施測的雜訊，是工具的不可靠；在一個情緒評分裡，它是「反映題目本身含糊、而不是反映這個人真實狀態」的那一部分。歷程雜訊 \(\boldsymbol{\eta}_t\) 是真正的衝擊，是這個人的狀態從一個時點到下一個時點的真實變化。前面每一章只要把一個觀察分數迴歸到它自己的延宕(lag)上，就默默把這兩者熔在一起；本章要把它們分開。圖 26.1 把這兩條方程式連同它們的心理學讀法一起畫了出來。

註：狀態方程式讓一個潛在狀態 \(\alpha_t\) 透過轉移矩陣 \(\mathbf{T}\) 演化，並受歷程雜訊（真實的變化）擾動。觀察方程式透過負荷量矩陣 \(\mathbf{Z}\) 去測量這個狀態，測量則被測量誤差（施測的雜訊）汙染。把這兩種雜訊分開，是這個形式在心理計量上最核心的貢獻。這張圖在第 27 與第 32 章會再次出現。

這項分離立刻帶來一個把第 24 章重新框起來的事實。一個被帶著測量誤差觀察到的一階自我迴歸(first-order autoregressive, AR(1))根本不是一個自我迴歸；代數上它是一個 ARMA(1,1)，它天真的延宕一期自我相關(autocorrelation)會依測量不可靠的程度低估真實的延續效果(carryover)。機制就是測量誤差加在任何一個相關上的那份衰減(attenuation)，只是這裡用在「一條序列與它自己的過去」的相關上。圖 26.2 在 kalman_n1 上把這件事講得很具體：那是一條單一受試者(single-subject)序列，由潛在的 AR(1) 生成，真實延續效果為 \(0.60\)，在信度 \(0.65\) 下被帶誤差觀察到。左圖顯示天真的自我迴歸隨著信度變差而穩定下滑，掉到遠低於真值的位置；在這條序列上，天真的延宕一期自我相關是 \(0.46\)，離生成用的 \(0.60\) 差得很遠。右圖把修補與它的代價一起呈現。一個把測量誤差另外建模的卡爾曼最大概似(maximum likelihood)配適還原出 \(0.61\) 的延續效果；跨一百條模擬序列來看，它移除了大部分的衰減，但仍略微向下偏誤（平均數 \(0.57\)，真值 \(0.60\)）。它在每一條序列上的估計值也都很有雜訊，因為要從一條短序列裡把兩個變異數分開，是一項苛刻的要求。這項分離在期望上是成功的，必須連同它的不確定性(uncertainty)一起報告。

註：左：一條帶誤差的序列，它天真的自我迴歸隨著信度變差而掉到真實延續效果（\(0.60\)）之下。右：跨 100 條單一序列的抽樣分配(sampling distribution)；把測量誤差另外建模的卡爾曼估計值落在真值附近，天真的估計值則被往零的方向衰減。這項分離移除了大部分的衰減，但仍略微向下偏誤（平均數 \(0.57\)，真值 \(0.60\)），由一條序列來看也很不精確。

同樣的兩條方程式，換上不同的矩陣，就成了那些熟悉的模型；把那些矩陣填好正是本節要建立的本事。圖 26.3 列出五張卡片。帶測量誤差的 AR(1) 只有一個純量(scalar)狀態：\(\mathbf{T} = \phi\)、\(\mathbf{Z} = 1\)、歷程變異數 \(\mathbf{Q} = \sigma^2_\eta\)、測量變異數 \(\mathbf{H} = \sigma^2_\varepsilon\)。局部線性趨勢是一個結構時間序列(structural time series)模型，講的是「一個水準(level)隨著一個緩慢改變的斜率(slope)漂移」，狀態由水準與斜率組成，是二維的，轉移矩陣把斜率帶進水準裡。VAR(1) 有一個向量狀態與一個完整的轉移矩陣，就是第 25 章的模型；測量無誤差時 \(\mathbf{H} = \mathbf{0}\)，否則 \(\mathbf{H} \neq \mathbf{0}\)。動態因素模型的狀態是一個會演化的潛在因素，負荷量矩陣透過數個指標(indicator)去測量它。第 19 章的潛在成長曲線也是狀態空間模型：狀態是截距(intercept)與斜率，轉移矩陣讓它們保持不變，負荷量矩陣隨時間變動，把斜率讀到接續的各個時點上；這一點把第五與第六部分統一在同一個形式之下。表 26.1 為每個矩陣命名，給出它的維度、心理學意義，以及它在結構方程或多層次(multilevel)模型中的對應物；表 26.2 說明五個模型各自在每個矩陣裡放了什麼。

註：每一個熟悉的模型都是「填了特定矩陣的狀態空間形式」。自我迴歸、趨勢模型、向量自我迴歸、動態因素模型與潛在成長曲線之間的差別，只在於狀態裡裝什麼、轉移矩陣怎麼移動它，以及負荷量矩陣怎麼讀它。潛在成長的負荷量隨時間變動，那正是一個靜態的成長模型成為狀態空間模型的關鍵。

26.2 卡爾曼這具引擎

卡爾曼濾波器是一個沿著序列往前走的遞迴，在每一個時點做兩件事。它預測(predict)：拿前一個時點對狀態最好的估計，用轉移矩陣把它帶到對此刻狀態的預測上，不確定性依歷程雜訊增長。它更新(update)：新的觀察值抵達，它與預測所隱含的值之間的差距就是創新，狀態估計值依一個叫作卡爾曼增益的量往觀察值修正。圖 26.4 把這個迴路畫了出來。增益是整件事的核心，就是第 13 章收縮意義下的信度權重。測量相對於狀態的不確定性而言很精確時，增益很大，估計值幾乎整個移向觀察值；測量有雜訊時，增益很小，估計值就留在模型的預測附近。濾波器以最佳的方式權衡一個事前的預報與一個帶雜訊的資料點，以精確度對精確度。這正是「把一個人的估計值往群體平均數收縮」的同一套加權平均邏輯，只是現在在時間上運作。

註：在每一個時點，濾波器先由轉移矩陣預測狀態（不確定性依歷程雜訊增長），再依卡爾曼增益往新的觀察值更新；增益是一個信度權重，測量精確時它大，測量有雜訊時它小。概似、遺漏資料的處理與標準化殘差都由同一趟掃描掉出來。

那一趟前向掃描掉出三樣東西，合起來就是這套做法值得付出的理由。概似透過預測誤差分解(prediction-error decomposition)免費取得：每一個創新以它自己的變異數標準化之後貢獻一個高斯項，它們的和就是精確的對數概似(log-likelihood)；轉移、負荷量與各變異數參數的最大概似估計，因此是一連串濾波器執行結果上的最佳化。遺漏資料被精確處理，而且不需要插補(imputation)：一個時點沒有被觀察到，更新這一步就直接跳過，預測往前帶，狀態的不確定性持續增長，直到下一個觀察值抵達。這正是第 24 章指出「天真的內插(interpolation)會膨脹自我相關」那個問題有原則的修補。標準化的一步前(one-step-ahead)創新則是診斷用的殘差，模型對的時候它們是白的、常態的。基礎概念方塊以形式化的方式寫出概似分解與「AR 加誤差」的代數。

kalman_n1 上的卡爾曼弧線把這項分離示範了出來。以最大化濾波器概似的方式配適「AR 加誤差」模型，還原出的延續效果是 \(0.61\)，對照生成用的 \(0.60\)；平滑器接著在每一個時點產生對潛在狀態最好的回溯(retrospective)估計。圖 26.5 在有雜訊的觀察值底下畫出濾波與平滑的潛在路徑，連同它們的不確定帶。濾波估計值只用過去，可以即時(real time)取得；平滑估計值用了整條序列，更緊，也更貼近真實的潛在狀態，是回溯的最佳猜測。在兩者之間選，選的是估計標的(estimand)，表 26.3 把它列了出來：濾波給「資料一邊進來一邊監看」用，也就是第 33 章在及時介入(just-in-time intervention)上會發展的臨床用途；平滑給一份已完成的研究作歷史重建用。

註：kalman_n1 上潛在狀態的濾波（只用過去）與平滑（整條序列）估計值，以及平滑的不確定帶，對照有雜訊的觀察值與真實的潛在路徑。兩者都把施測雜訊底下的訊號撈了出來；平滑更緊，也更貼著真值走。

遺漏資料的修補正是第 24 章承諾過的回報。把 kalman_n1 的一段遮起來再跑濾波器，缺口中的狀態估計值不是一條直線，而是一條往歷程平均數回復的曲線；它的不確定帶隨著資料的缺席而變寬，在觀察值恢復時再度收攏。圖 26.6 把這件事拿來與線性內插對照：內插在缺口上畫出一條自信的直線，宣稱了一份它並不擁有的確定性。後果量得出來。卡爾曼平滑器在缺口中重建的潛在軌跡，對照真實潛在狀態的均方根誤差(root-mean-square error)是 \(1.43\)，內插則差得多，來到 \(2.04\)。在有缺口的序列上以卡爾曼法估出來的延續效果是 \(0.57\)，仍貼近完整資料的值；先內插再天真估計則會膨脹被觀察到的自我相關。濾波器把一個遺漏的時點當成它本來的樣子，也就是訊息的缺席，不是一個要去發明出來的數值。下面的程式碼把整條弧線收在一起。

註：在 kalman_n1 一段被遮起來的區間上，卡爾曼平滑器的不確定帶變寬、估計值往平均數回復，並跟著真實潛在狀態走（均方根誤差 \(1.43\)）；線性內插畫出一條自信的直線，卻沒有跟上（均方根誤差 \(2.04\)）。濾波器把遺漏表達成訊息的缺席，而不是一個被發明出來的數值。

# kalman_n1 上的卡爾曼弧線：把測量誤差與歷程雜訊分開
d <- readRDS("Examples/data/kalman_n1.rds")            # y（觀察值）、eta_true（潛在）
yc <- d$y - mean(d$y)
# 在 (phi, 歷程變異數 q, 測量變異數 r) 上最大化濾波器概似
negll <- function(par) {                               # kalman_filter() 手寫於 ch26_analysis
  phi <- tanh(par[1]); q <- exp(par[2]); r <- exp(par[3])
  -kalman_filter(matrix(yc), matrix(phi), matrix(1), matrix(q), matrix(r),
                 a1 = 0, P1 = matrix(q/(1-phi^2)))$loglik
}
fit <- optim(c(atanh(.3), 0, 0), negll, method = "BFGS")
tanh(fit$par[1])                                       # phi 約 0.61（天真的延宕一期自我相關 = 0.46）
# 平滑後的潛在狀態 + 跨越被遮起來的缺口時變寬的不確定性：
kf <- kalman_filter(matrix(d$y_gap - mean(d$y_gap, na.rm=TRUE)), ...)  # NA 的時點會被跳過
ks <- kalman_smoother(kf, matrix(tanh(fit$par[1])))

26.3 動態因素模型

動態因素模型就是「以一個潛在因素當狀態」的狀態空間形式，正是第 24 章留下缺陷的那個 P 技術的修補。P 技術把一個人的題目跨時點作因素分析(factor analysis)，卻把那些時點當成彼此獨立的，於是丟掉了序列依賴；序列依賴正是一條時間序列的重點。動態因素模型保留因素結構，也就是少數幾個負荷到觀察題目上的潛在因素，再加上動態，讓那些因素依一個向量自我迴歸演化。這個潛在歷程因此既透過負荷量矩陣被測量，也透過轉移矩陣把自己往前帶。結果是一個帶著逐人動態的逐人測量模型，也就是個殊(idiographic)測量的落實。標準形式有兩種，這個區分值得說清楚，圖 26.7 把它畫了出來。歷程因素形式是 Molenaar 的傳統：潛在因素遵循那個自我迴歸，測量是同時(contemporaneous)且乾淨的，動態完全住在因素裡。直接自我迴歸形式把自我迴歸寫在因素分數(factor score)上，配上延宕的負荷量，記憶因此分散到測量之中。這兩種形式在某些條件下可以做到等價，表 26.4 說明何時偏好哪一種，以及各自的識別要求。

註：歷程因素形式（左）：潛在因素遵循自我迴歸，而負荷量乾淨地測量當下的因素，於是全部的動態都住在因素裡。直接自我迴歸形式（右）：記憶由「從較早的因素分數延宕負荷到當下指標」承載。兩種形式在某些條件下重合；歷程因素形式在心理學中比較常見。

這個模型還原得出一個已知的結構，示範在 dfm_sim 上：那是一條雙因素序列，負荷量矩陣與因素轉移都已知，這裡以一個手寫的期望最大化(expectation-maximization, EM)演算法配適，期望步驟就是卡爾曼平滑器，最大化步驟以封閉解更新負荷量、轉移與各變異數。圖 26.8 呈現這份還原。負荷量回到正確的區塊型態，但看得出收縮，\(y_5\) 尤其明顯，\(0.65\) 對照 \(0.85\)。因素轉移還原出自我迴歸對角線的正負號與大致的量值，也還原出由第二個因素進入第一個因素的那條交叉延宕，只是有一格出現虛假的 \(-0.10\)，真值是零。平滑後的因素分數與真實因素的相關是 \(0.94\) 與 \(0.91\)。這個估計式從有雜訊的多變量指標中重建出一個潛在的動態結構，那正是「在真相未知的資料上使用它」所需要的驗證。

註：以卡爾曼 EM 配適到 dfm_sim 的雙因素動態因素模型，其估計出來的負荷量對照生成值（左），以及因素轉移矩陣（右，估計值與括號內的真值）。負荷量與因素 VAR 都被還原了出來，而平滑後的因素分數與真實因素的相關是 \(0.94\) 與 \(0.91\)。

個殊的承諾在真實題目上兌現。把一個單因素的動態因素模型配適到兩位 affect_ema 受試者的四個負向情緒題目上，讓因素自由地遵循它自己的自我迴歸，得到兩幅真正不同的圖像，見圖 26.9。第一個人的負向情緒因素既有一貫性也有持續性(persistence)：四個題目裡有三個與它有實質的關聯，其中「覺得緊張」最強；「覺得緊繃」與它的關聯卻很弱，只有 \(0.28\)，儘管它正是那個定錨的題目。這個因素帶著 \(0.41\) 的中等慣性(inertia)，這個人的負向情緒因此會賴著不走。第二個人的因素幾乎沒有延續效果，慣性只有 \(0.06\)，指標的剖面也不一樣：「覺得緊繃」是它最強的表徵，「覺得緊張」卻幾乎與它無關。圖中這些值取自一個尚未跑到收斂的期望最大化解：跑到收斂（第 3 人 \(1854\) 次疊代）時，第 3 人的慣性是 \(0.45\)、定錨題目與因素的相關是 \(0.23\)，第 17 人的慣性在 \(0.06\) 與 \(0.10\) 之間；動的是第二位小數，上述判讀不變。同樣的四個題目在不同人身上組裝成不同的個人結構，帶著不同的動態。這正是第 24 章的非遍歷性(nonergodicity)在測量這一層被具體化，也正是「一個統一的個體間因素分析，硬把同一套負荷量型態與零動態加在每個人身上」所表達不出來的東西。多人的策略沿著兩條路走。複製式單一受試者取向為每個人各自配適，再摘述他們結構與動態的分配。目前最先進的多層次動態因素模型則把他們彙整起來，那就是第 25 章 DSEM 的測量那一層，同一個想法從因素分析這一側抵達。

註：兩位 affect_ema 受試者四個負向情緒題目的單因素動態因素模型，呈現每個題目與這個人的因素之間的相關。第 3 人的因素有一貫性也有持續性（慣性 \(0.41\)）；第 17 人的慣性接近零（\(0.06\)），指標的剖面也不同。圖中的值取自一個尚未收斂的期望最大化解（見正文）。逐人的測量與逐人的動態，正是一個統一的個體間模型捕捉不到的東西。

26.4 診斷與選擇

一個配適好的狀態空間模型，跟任何時間序列模型一樣，靠「它是不是把白雜訊(white noise)留在身後」來評判，受檢視的對象是標準化的一步前創新，也就是濾波器的殘差除以它自己預測出來的標準差。模型設定正確時，這些標準化創新是獨立的標準常態，有三項檢查適用。第一，它們的自我相關應該可以忽略，由眼睛與一個 Ljung-Box 檢定共同確認，因為殘留的序列結構意味著動態設定錯了。第二，它們的分配應該是常態的，由一張分位數圖(quantile plot)與一個常態性檢定來查，因為厚尾(heavy tail)是離群值或非高斯歷程的訊號。第三，個別的大值標示出離群值。在一條心理學序列中，離群值往往不是要修剪掉的麻煩，而是要被理解、不該丟棄的實質事件：一個壓力源、一次危機、一次體制(regime)的轉換，是通往第 32 章的指路標。圖 26.10 呈現 kalman_n1 上「AR 加誤差」配適的診斷子圖組。標準化創新在它們的帶附近散布，自我相關可以忽略，Ljung-Box 的 \(p\) 為 \(0.93\)；分位數圖是直的，常態性的 \(p\) 為 \(0.23\)。這個模型把序列漂白了，予以保留。

註：kalman_n1 上「AR 加誤差」配適的標準化一步前創新：它們的序列與 \(\pm 2\) 的帶（左）、它們的自我相關與 Ljung-Box 結果（中），以及它們的常態分位數圖（右）。白的、常態的、沒有離群值的殘差，表示模型是適當的。

在各種設定之間作選擇，遵循的是本書一路主張的精簡原則(parsimony)教條，並被心理學序列長度的現實磨得更銳利。巢套(nested)的模型，例如「AR 加誤差」對上一個單純的 AR，或一個單因素對上一個雙因素的動態模型，以預測誤差概似作概似比(likelihood-ratio)檢定來比較；非巢套的則用一個訊息準則(information criterion)。「把狀態弄豐富」是一項誘惑：加上第二個因素、更高的延宕階數、一個隨時間變動的參數。在心理學所蒐集到的序列長度上，這項誘惑必須被抵抗。一個參數多過資料所能識別的狀態空間模型會收斂到一個邊界，報出一個被釘在零的變異數成分(variance component)，或者配適了這個樣本卻複製不出來，那正是第 13 章為變異數成分提出的 Heywood 案例與過度參數化(over-parameterization)的同一組危害。陷阱方塊把這些模型誤導人的具體方式收在一起。

26.5 軟體，以及這套做法何時划算

狀態空間形式由數個各有所長的 R 套件支援，圖 26.11 與表 26.5 把這片地景攤了出來。KFAS 套件對線性高斯模型與它們的指數族(exponential family)擴充既快又精確，是本章濾波與平滑的主力。MARSS 套件專攻多變量自我迴歸狀態空間模型，介面對生態學與心理學的時間序列都很好上手。dynr 套件加上了體制轉換(regime switching)與非線性(nonlinear)動態，為接下來的變化點(change point)與振盪子(oscillator)模型作了準備；它「調配模型」的慣例會在第 32 章再度出現。OpenMx 在一個結構方程的環境裡以定義變項(definition variable)界定狀態空間模型，是熟悉 SEM 的讀者最自然的家。Mplus 透過它的動態結構方程模型成為鄰近的生產工具，獨到的加法是跨人的多層次彙整。有一個區分值得記住：DSEM 加的是多層次那一層，狀態空間套件加的是結構上的自由度，也就是「設定一個固定的 DSEM 模板不會開放給你的自訂轉移與測量結構」的能力。本章的分析一個套件也沒有用，全部由手寫的濾波器、平滑器與 EM 演算法建成，好讓每一個物件都能對照一個已知的真相被稽核。有生產需求的讀者應該去拿那些套件；想弄懂那些套件在做什麼的讀者，會在隨附的腳本裡找到機制。

註：主要幾個狀態空間工具的能力矩陣。強項各不相同：KFAS 精確而快，dynr 擅長體制轉換與非線性，OpenMx 擅長 SEM 式的界定，而 Mplus DSEM 擅長多層次彙整。選擇跟著分析所需要的東西走。

狀態空間這套做法什麼時候賺得回它的額外成本？答案很具體。測量誤差必須與歷程雜訊分開時它划算，因為沒有任何觀察分數模型做得到這件事。資料有遺漏、而遺漏必須被精確處理而不是被插補時它划算。目標是一個潛在的多變量歷程、一個沒有任何單指標模型構得到的動態因素結構時它划算。結構是自訂的、需要一個套裝模型沒有提供的轉移或測量矩陣時，它也划算。它不划算的時候，是第 25 章的多層次 VAR 用更少的組裝就回答得了這個問題、而測量誤差可以忽略的時候；那時比較簡單的工具才是誠實的選擇。下一章的連續時間(continuous-time)模型就是同一套狀態空間架構，只是轉移改由一個微分方程(differential equation)支配，而不是一個離散的步伐，那是這個形式容納第 25 章標出的不等間隔的方式。第 32 章的體制轉換模型讓轉移矩陣本身會改變，那是這個形式容納本章離群值所暗示的變化點的方式。

寫出一份狀態空間或動態因素分析，是把前幾章的報告紀律延伸到這個形式特有的決定上。報告應該說明配適的是哪一個狀態空間模型、狀態裡裝了什麼、轉移與測量矩陣怎麼設定，尤其要說明測量誤差是被建模了還是被固定為零，因為單單這一項選擇就決定了動態會不會被衰減。它應該給出估出來的動態、它們的心理學讀法與它們的不確定性，報告遺漏資料怎麼處理，並呈現收斂與殘差的診斷，也就是那些認證這份配適的標準化創新檢查。對一個動態因素模型，報告應該說明識別，也就是定錨或尺度的限制與延宕結構；對一份個殊分析，報告應該明說結構與動態是逐人的，不假設可以推論到別人身上。一段示範的段落是這樣的：「本研究以卡爾曼 EM 對四個負向情緒題目配適了一個單因素的動態因素模型，因素為潛在的 AR(1)，測量誤差變異數自由估計；因素的慣性在第 3 人為 \(0.41\)、在第 17 人為 \(0.06\)，兩人的負荷量剖面也不同，顯示測量與動態都是逐人的；標準化創新在延宕 \(10\) 的 Ljung-Box 檢定下，第 3 人通過（\(p\) 為 \(0.220\)）、第 17 人未通過（\(p\) 為 \(0.036\)），常態性檢定在兩人身上都被拒絕（\(p\) 都小於 \(0.001\)），偏態 \(+0.42\) 與 \(+0.78\)、峰態皆為負，與五點量尺的離散與右偏一致，因此不主張創新為常態。」

習題

1. 26.1 衰減的還原。在 kalman_n1 上重現圖 26.2，比較天真的延宕一期自我相關 \(0.46\) 與把測量變異數自由估計出來的卡爾曼配適 \(0.61\)；接著在生成腳本裡調低信度，說明跨一百條序列的平均數為什麼只回到 \(0.57\)，而不是生成用的 \(0.60\)。
2. 26.2 填好五張卡片。不看圖 26.3，自行為帶測量誤差的 AR(1)、局部線性趨勢與潛在成長曲線填出 \(\mathbf{T}\)、\(\mathbf{Z}\)、\(\mathbf{Q}\) 與 \(\mathbf{H}\)，再對照表 26.2 訂正，並用一句話說明潛在成長曲線為什麼非得讓負荷量隨時間變動不可。
3. 26.3 個殊測量實作。把單因素的動態因素模型配適到 affect_ema 另外兩位受試者的四個負向情緒題目上，報告逐人的負荷量剖面與因素慣性，再依第 26.5 節的報告要求寫出一段結果，明說尺度是怎麼定錨的、測量誤差是自由估計還是被固定為零。
4. 26.4 濾波對上平滑。以表 26.3 為準，用文字把濾波與平滑各自回答的問題對照清楚；接著重現圖 26.6 那段被遮起來的缺口，比較卡爾曼平滑與線性內插對真實潛在狀態的均方根誤差（\(1.43\) 對 \(2.04\)），並說明內插那份自信是從哪裡來的。
5. 26.5 創新診斷稽核。取一篇已發表的動態因素或狀態空間分析，依圖 26.10 的三項創新檢查與第 26.4 節的四個陷阱加以稽核，特別追問它有沒有把測量誤差固定為零、有沒有把平滑後的狀態當成真分數，並就疏漏寫出應有的審查意見。
6. 26.6 還原與過頭。在 dfm_sim 上重跑雙因素的卡爾曼 EM 配適，據實讀出圖 26.8 裡負荷量的收縮與轉移矩陣中那格真值為零的虛假估計；再多加一個因素，說明它為什麼會停在邊界，並依表 26.5 判斷你自己的序列該用狀態空間，還是第 25 章的多層次 VAR 就夠了。