縱貫模型的貝氏估計

17.1 推論架構，最精簡的版本

貝氏推論建立在一條恆等式上。給定資料之後，參數的後驗分配正比於給定參數之後資料的概似，乘上參數的先驗分配，\(p(\bm{\theta}\mid \mathbf{y}) \propto p(\mathbf{y}\mid \bm{\theta})\,p(\bm{\theta})\)。概似就是最大概似要最大化的那個東西；先驗編碼的是看到資料之前對參數已經知道的事；後驗則是看過資料之後更新的知識狀態。圖 17.1 為單一個參數畫出這三樣東西，這個參數是 sleepstudy 反應時間資料的平均斜率。弱訊息先驗(weakly informative prior)相對於合理範圍而言很寬，貢獻很少；概似承載資料裡的訊息；後驗幾乎疊在概似上，只被朝先驗輕輕推了一點。資料有訊息而先驗又弱時，情形都是這樣：後驗由資料主導，先驗主要拿來正則化(regularize)，不是拿來導向。資料稀疏或參數弱識別(weakly identified)時，先驗做的事就多了，先驗的選擇因此要自成一節。

註：sleepstudy 資料平均斜率的弱訊息先驗（灰）、資料的概似（橘），以及由此得到的後驗（藍）。後驗是以精確度加權(precision-weighted)的折衷，這裡幾乎與概似重合，因為資料有訊息而先驗很弱。資料稀疏時先驗貢獻較多，先驗要慎選也要檢查，道理就在這裡。

這套做法的產物是每一個參數的完整分配，推論就直接從那個分配上讀出想要的量。可信區間是一個以指定的後驗機率包含參數的區間，它的意思正好就是新手誤以為信賴區間(confidence interval)在說的那件事：給定資料、模型與先驗，參數落在百分之九十五可信區間內的機率就是百分之九十五。信賴區間下的是另一個比較細緻的頻率論(frequentist)陳述，講的是程序的長期涵蓋率(coverage)，不是講手上這一個區間。先驗弱而資料充足時，兩者數值相近；先驗有訊息或樣本小時就會分歧。差別在於什麼被當成隨機的：貝氏當成隨機的是參數，頻率論者當成隨機的是區間。本書用貝氏方法的取向是估計與預測，為參數報告後驗與可信區間、為新觀察報告預測分配；至於用來做假設檢定的貝氏因子(Bayes factor)，留到本章後面簡短處理，並附上告誡。

縱貫模型為什麼一再走到貝氏估計，值得畫成一張地圖。第 13 章碰上落在參數空間邊界上的變異數參數，最大概似在那裡給出的是一個退化(degenerate)的點，不確定性無從定義。第 15 章碰上對隨機效果的難解積分。第 16 章碰上一個坐在變異數裡面的隨機效果。接下來幾部把這些困難疊在一起：第六部的潛在變項動態、連續時間(continuous-time)與狀態空間(state-space)模型，以及動態結構方程模型(dynamic structural equation model)，實務上都以馬可夫鏈蒙地卡羅估計，因為它們那種弱識別、高維度的後驗，沒有別的方法處理得漂亮。本章擺在這個位置，就是要當全書的估計引擎：建造一次，反覆使用。

17.2 縱貫模型參數的先驗

先驗是一項建模抉擇，而任何建模抉擇都必須是刻意的，也都要接受檢查。就固定效果來說，標準建議是在標準化尺度(standardized scale)上給一個弱訊息的常態分配：寬到不對效果的正負號(sign)與大致量級(magnitude)提供訊息，又窄到能排除荒謬(absurd)的值。這樣既穩住(stabilize)估計，資料足夠時又不會實質影響後驗。縱貫模型裡真正有意思的先驗放在變異數成分與相關上，而近年的實務在這裡已經果斷離開了舊的預設值(default)。

變異數的歷史預設值是逆伽瑪(inverse-gamma)分配，選它是為了共軛性(conjugacy)；但它偏偏在縱貫模型所在的那一帶、也就是零附近表現很差，因為一個真的很小的變異數會被逆伽瑪先驗推離零，推的方式又很難做到無訊息 (Gelman, 2006)。現代的建議把先驗放在標準差上，不放在變異數上，並改用半常態(half-normal)或半 \(t\) 分配(half-\(t\))；這些密度在零處最大，然後平滑衰減(decay)，於是很小或為零的變異數是被允許的，不是被禁止的。這就是第 13 章的邊界故事以先驗的形式重講一遍：最大概似把小變異數壓成恰好為零的地方，半常態先驗讓後驗集中在零附近，同時保住它的不確定性。一個先驗弱不弱訊息，不看口號，看的是一項可以查核的隱含結果，而查核的方式就是先驗預測模擬：從先驗抽參數，再檢視它們隱含的資料或衍生量。圖 17.2 就三個變異數先驗所隱含的組內相關(intraclass correlation, ICC)做了這項檢查。一個尺度很大的半常態本意是無訊息，實際上卻把先驗質量堆在零與一附近，這等於相信變異數不是幾乎全落在群集內，就是幾乎全落在群集間。

把半常態收窄完全沒有幫助：兩個獨立的半常態不論共用什麼尺度，隱含的組內相關都是 \(\mathrm{Beta}(1/2, 1/2)\)，尺度會約掉，要換的是分配族，不是寬度；半 Cauchy 更糟，在兩個極端上壓了更重的質量。補救之道只有兩條：換一個分配族，或者直接把先驗放在組內相關上。教訓是，放在變異數上的先驗，就是放在這個變異數所隱含的一切之上的先驗，而只有先驗預測模擬能揭露(reveal)實際上假設了什麼。

註：三個放在隨機效果標準差與殘差標準差上的先驗，各自隱含的組內相關之先驗預測分配。一個很寬的半常態本意是無訊息，卻隱含了「組內相關接近零或一」這個先驗信念；把半常態收窄改不了這個形狀，因為尺度會約掉，要換成 Gamma 這一類在零處密度為零的分配族，質量才被拉回中間；半 Cauchy 則更偏好極端值。使一個變異數先驗成為弱訊息的，是它隱含的分配族，不是它名目上的寬度。

隨機效果之間的相關，也就是第 13 章 T 矩陣的非對角線(off-diagonal)，有自己的先驗。標準選擇是放在相關矩陣上的 LKJ 先驗 (Lewandowski et al., 2009)，由單一個形狀參數(shape parameter) \(\eta\) 掌管；圖 17.3 顯示它在單一個相關上的行為。\(\eta=1\) 時先驗在合法範圍上是平坦的；\(\eta\) 大於一時先驗朝零集中，把相關往獨立的方向正則化；\(\eta\) 小於一時偏好極端值。\(\eta=2\) 這種溫和的值是合理的預設，表達的是「隨機效果並非完全相關」這個弱信念(weak belief)，同時讓資料說話。先驗敏感度(prior sensitivity)因此是工作流程的例行動作，不是事後才補的：模型在兩三組站得住腳的先驗之下各配適一次，後驗結論全都撐得過，才報告為穩健(robust)。從先前研究取得的有訊息先驗，在早先的證據可靠時既正當又有價值，但有一個標準的告誡要記得：被發表偏誤(publication bias)扭曲過的文獻，提供的先驗會過度自信，也離零太遠。表 17.1 收齊了預設建議。

註：在幾個形狀參數 \(\eta\) 之下，單一個隨機效果相關在 LKJ 先驗下的先驗密度。\(\eta=1\) 時先驗是平坦的；\(\eta\) 越大，相關就越集中在零附近，往獨立的方向正則化；\(\eta\) 低於一時偏好強相關。\(\eta=2\) 附近是常見的弱訊息預設值。

17.3 實務上的馬可夫鏈蒙地卡羅

後驗只知道到一個常數為止，一般也無法解析地摘要，所以要用模擬去探索。馬可夫鏈蒙地卡羅建構一條參數抽樣的鏈，它的平穩分配(stationary distribution)就是後驗；經過一段起始的暖身(warmup)之後，那些抽樣就是後驗的樣本，任何感興趣的量都以對它們取平均來估計。現在的預設演算法是 Hamiltonian 蒙地卡羅(Hamiltonian Monte Carlo)，以及它會自我調校的變體「不掉頭取樣器」(no-U-turn sampler)：它用對數後驗的梯度(gradient)提出遠距離、有訊息的移動(move)，探索相關的高維度後驗，效率遠高於早期實務中的隨機漫步(random walk)與 Gibbs 取樣器 (Betancourt, 2017)。實務上的預設是跑好幾條鏈(chain)，各自從不同的起點(starting point)出發，丟掉暖身期，再跑足夠多的暖身後疊代(iteration)，把感興趣的量估到可接受的精確度；下面的診斷有要求時，就把次數拉高。

一條配適好的鏈要先診斷過才能信任，而四項診斷做掉大部分的工作。潛在尺度縮減因子(potential scale reduction factor) \(\hat{R}\) 比較鏈內的變異數與鏈間的變異數；各鏈都收斂到同一個分配時兩者一致，\(\hat{R}\) 接近一，大約高於 \(1.01\) 就是各鏈尚未混合(mix)的訊號 (Vehtari et al., 2021)。圖 17.4 給出它的視覺對應物：健康的鏈互相重疊，像白雜訊(white noise)一樣圍著一個共同的水準交錯；病態的鏈從不同起點出發，跑了同樣的量之後仍未相遇，它們的分離就是一個大 \(\hat{R}\) 背後的幾何，這裡是 \(6.63\) 對上健康的 \(1.08\)。有效樣本數衡量一條自我相關的鏈相當於多少個獨立抽樣，在分配中央算「主體」的，在兩端算「尾部」的；有效樣本數小，就表示後驗摘要本身也帶著雜訊。發散轉移(divergent transition)是 Hamiltonian 模擬失敗，標示出取樣器穿不過去的區域。四項之中它最專屬(specific)於縱貫模型，因為它源自階層模型造出來的漏斗幾何。表 17.2 列出每一項診斷、它的門檻、它偵測的病態，以及它的解法。

註：左：一個識別良好的參數的健康鏈，互相重疊、圍著一個共同水準交錯，\(\hat{R}\) 接近一。右：從不同起點出發、跑了同樣的量之後仍未收斂到共同分配的病態鏈，這是一個大 \(\hat{R}\) 的視覺特徵。軌跡圖是最先也最快的收斂診斷。

漏斗值得配一張自己的圖，因為它是階層模型的招牌病態，也是一個設定良好的模型仍然可能配適失敗的原因。組層次的標準差本身也是一個參數時，這個標準差的對數與它所掌管的那些組效果，聯合後驗會呈漏斗形狀：標準差小的地方，組效果被擠進一段狹窄的頸部；標準差大的地方，組效果散開成一個寬闊的口。圖 17.5 把它畫了出來。頸部裡組效果的條件分散程度整個塌下去，這個例子由口部的約 \(4.5\) 掉到頸部的約 \(0.2\)，尺度變化(change in scale)超過二十倍，沒有任何單一個步長(step size)應付得了，於是一個調校(tune)到口部的梯度取樣器會衝過頭(overshoot)而發散。解法不是某個調校旋鈕，而是一次變數變換。非中心化參數化(non-centered parameterization)把每一個組效果改寫成組標準差乘上一個標準常態的輔助變項，兩者就此解耦(uncouple)，漏斗也變成圖右側那團無害的雲(blob)。模型沒有變，變的只是它的座標(coordinates)；現代軟體預設就會做這項重新參數化，發散仍然出現時也會報出來。這一類重新參數化的直覺，也就是認出問題出在模型的幾何而不是它的設定，是以馬可夫鏈蒙地卡羅配適階層模型時最有用的單一技能。

註：左：在「組標準差的對數」與「組效果」這組中心化座標中，後驗是一個漏斗，取樣器穿不過它的頸部，因為組效果的條件分散程度在那裡塌掉了。右：非中心化座標，其中組效果被寫成標準差乘上一個標準常態變項，兩軸因而解耦成一團無害的雲。兩者描述的是同一個模型。

17.4 模型批判與比較

貝氏模型以後驗預測檢查來批判：從配適好的模型模擬資料，再把模擬資料的某些特徵與觀察資料的同一些特徵對照。模型夠好，觀察資料看起來就像是從它抽出來的一個合理樣本；某個特徵系統性地偏掉，那個落差就把設定錯誤(misspecification)定位(localize)出來。技藝在於挑選要檢查的特徵，該挑的是「模型為了它預期的用途必須算對」的那些量：隨時間變化的平均軌跡、個體軌跡的分散程度，或者第 16 章明確建模的那個變異數結構。圖 17.6 檢查 sleepstudy 模型的平均軌跡：觀察到的每日平均數都落在後驗預測帶內，模型重現了平均結構。瞄準變異數或瞄準個人層次軌跡的檢查，盤問的是模型的其他承諾(commitment)；一份周全的報告會集合一小組這樣的檢查，不會只靠其中一個。

註：觀察到的每日平均反應時間（紅），對上由配適好的模型算出的後驗預測中位數與百分之九十五帶（藍）。觀察值落在帶內，是模型重現了平均軌跡的證據。後驗預測檢查要挑哪些特徵來看，取決於模型為了它的目的必須算對什麼。

模型之間的比較，看的是它們對新資料的期望預測準確度，估計方式是留一交叉驗證，或與它關係很近的廣泛適用訊息準則(widely applicable information criterion, WAIC)，兩者都由後驗抽樣算出。這些工具估計的是樣本外(out-of-sample)的預測表現，不是真理：它們偏好的模型，是期望能把一筆新觀察預測得最好的那一個，未必是描述機制的那一個。預測與解釋分歧的地方，這個區分都要緊，第 31 章會展開。它們的診斷是每一筆觀察的 Pareto 形狀參數，標示出近似不可靠的點，而那些點通常正是有影響力(influential)、實質上也有意思的點，例如某位受試者的軌跡讓模型難以容納。表 17.3 把這些比較工具並排放好。貝氏因子比較兩個模型的邊際概似(marginal likelihood)，回答的是另一個問題：一個模型相對於另一個的證據強度。但貝氏因子對參數先驗敏感得出名，連那些對估計無害的先驗都會左右它，而且需要專門的計算。它有它的用處，本書比較模型的預設仍然是預測導向的，走交叉驗證，再補上任何自動準則都取代不了的實質判斷。

17.5 三項好處的示範

三項示範顯示貝氏估計買到了什麼，每一項也都以一句誠實的話收尾，說明哪裡仍然是最大概似比較好。第一項是邊界搶救。

在一份只有八個人的小資料集上，一個隨機斜率模型以受限最大概似配適會回傳奇異配適：截距與斜率的相關被推到 \(+1\)，斜率標準差停在 \(0.11\)，兩者都不附任何不確定性，這就是第 13 章那個秩不足的 T 矩陣。同一個模型改用貝氏配適，在斜率標準差上放一個半常態先驗，回傳的後驗集中(concentrate)在零附近卻不貼著零，還帶著一個很寬的可信區間，這個例子大約由 \(0.03\) 到 \(2.42\)。圖 17.7 把兩者對照起來。貝氏的答案不是「斜率變異數很大」，而是「資料解析不出這個變異數」；後驗誠實地這麼說，不塌成一個假的確定性(false certainty)。往下游走，任何依賴斜率變異數的量都繼承這份誠實的不確定性，不是繼承一個退化的點。

註：一個建在八個人身上的隨機斜率模型。受限最大概似回傳奇異配適：截距與斜率的相關被推到 \(+1\)，斜率標準差停在 \(0.11\)（紅線），完全不附不確定性。貝氏後驗（藍）讓這個標準差離零有段距離，並帶著一個很寬的可信區間，誠實地表達「資料解析不出這個變異數」，而不是把它壓掉。

第二項好處是小樣本推論。群集數很少時，固定效果建立在天真常態近似上的頻率論區間會涵蓋不足(under-cover)，因為它忽略了估計出來的變異數成分本身帶著的不確定性(uncertainty)，正是第 13 章 Satterthwaite 與 Kenward-Roger 修正處理的同一個問題。圖 17.8 摘要一個只有五個群集的模擬：天真區間在大約百分之八十九的樣本中涵蓋到真值，名目(nominal)上卻是百分之九十五；貝氏可信區間把變異數中的不確定性積分進來，因而比較寬，涵蓋率約為百分之九十三。貝氏區間在小樣本下校準(calibrate)得比較好，靠的不是魔法，是對「什麼是不知道的」誠實。這裡也要接上後面會展開的告誡：這份誠實依賴合理的先驗，草率的先驗會讓小樣本的貝氏推論更差，不是更好 (McNeish, 2016; Smid et al., 2020)。

註：一個只有五個群集的模擬中，固定斜率名目百分之九十五區間的涵蓋率。天真的最大概似區間忽略變異數成分中的不確定性，因而涵蓋不足；比較寬的貝氏可信區間接近名目值。這項改善靠的是合理的先驗，不是「貝氏」這個標籤。

第三項好處是不確定性傳遞。貝氏估計回傳的是聯合後驗的抽樣，參數的任何一個函數因此免費繼承一個完整的後驗分配，包括那些最大概似的點估計做法只能笨拙近似的量。圖 17.9 給出其中一個衍生量：sleepstudy 資料中每一個人真正的斜率為負的後驗機率，也就是這個人在睡眠剝奪之下反應時間變好而不是變差的機率。幾乎沒有人有值得一提的變好機率，估計最曖昧的那一位所帶的機率接近二分之一，而這一切不確定性都被恰當地量化了。這一類問題都直接從後驗抽樣回答：某個人屬於某一類的機率、母體中軌跡在下降的比例、一位尚未被觀察到的個體的預測路徑。最大概似則必須訴諸 delta 法(delta method)或拔靴法(bootstrap)，而且仍然難以把變異數成分中的不確定性傳遞出去。圖 17.10 接著說出每一項示範結尾都該說的那句平衡的話：重新配適的 sleepstudy 模型，各參數的最大概似估計值與貝氏後驗平均數相當一致，變異數成分在貝氏配適下只稍大一些，因為它不帶最大概似那個向下的偏誤。兩具引擎通常回傳同樣的數字，差別在於把什麼當成不確定的，以及資料很薄時能誠實地說什麼。表 17.4 就本書的幾個模型家族，列出各自什麼時候比較好。

註：sleepstudy 資料中每一個人真正的斜率為負的後驗機率，也就是反應時間在睡眠剝奪之下變好的機率。幾乎沒有人如此，最曖昧的那一位落在五五波的位置。這一類屬於個人的衍生量連同它們的不確定性，直接由後驗抽樣得出；要從最大概似的點估計值誠實地取得，就相當彆扭。

註：sleepstudy 模型各參數的最大概似估計值對上貝氏後驗平均數（截距在兩者之下都接近 \(250\)，已略去，好讓比較小的參數看得清楚）。估計值落在單位線(identity line)上；隨機效果的標準差在貝氏配適下稍大，因為它沒有最大概似那個向下的變異數偏誤。數字一致，對待不確定性的方式不同。

17.6 報告一項貝氏縱貫分析

一項貝氏分析要報告到一個標準：讓抱持懷疑(skeptical)的讀者能重建它，也能信任它；學界已經為此收斂出一份檢核表 (Depaoli & van de Schoot, 2017)。先驗要連同理由一起陳述，並報告一項先驗敏感度分析，因為沒有陳述出來的先驗就是無法稽核(audit)的假設。軟體與版本要指名，因為預設值會變。收斂診斷，也就是 \(\hat{R}\)、有效樣本數與發散轉移的次數，要一一報出來，不能只斷言一句「都沒問題」；任何發散都必須解釋或解決。後驗以集中趨勢(central tendency)加一個可信區間摘要，絕不只給一個點估計值，衍生量也要連同區間一起報告。後驗預測檢查要秀出來。表 17.5 就是那份檢核表。最後還有一件實務上的事：怎麼面對抱持懷疑的審查者或口試委員。最有效的回應是證據，也就是圖 17.10 那張一致性圖，顯示兩者都有效的地方貝氏與頻率論的估計值重合，再加上一份把先驗與診斷交代完整的報告，消除「是不是有藏起來的選擇」這層疑慮。

17.7 在 R 中執行貝氏模型

brms 套件用與 lme4 相同的式子語法設定貝氏多層次模型，交給 Stan 配適，並提供可以檢視(inspect)也可以覆寫(override)的弱訊息預設先驗。

library(brms)
# sleepstudy 的隨機斜率模型，貝氏版
m <- brm(Reaction ~ Days + (Days | Subject), data = sleepstudy,
         prior = c(prior(normal(0, 50), class = b),          # 固定效果
                   prior(normal(0, 50), class = sd),          # 隨機效果 SD（半常態）
                   prior(lkj(2),        class = cor)),        # 相關上的 LKJ
         chains = 4, cores = 4, seed = 1)
summary(m)                                                    # 後驗摘要 + Rhat、ESS

診斷、先驗與後驗預測檢查，以及預測導向的比較，各只要一次呼叫，而衍生量則由後驗抽樣得出。

pp_check(m)                                    # 後驗預測檢查
loo(m)                                         # 留一交叉驗證
# 先驗預測：以 sample_prior = "only" 重配一次，再 pp_check
# 衍生量：由後驗抽樣算 P(某人的斜率 < 0)
post <- as_draws_df(m)                          # 後驗抽樣，含隨機效果
# 先驗敏感度：在 2-3 組先驗之下重配並比較後驗

隨附的腳本 ch17_analysis_V01.R 收錄本章完整的分析：先驗預測與 LKJ 的示範、一個從第一原理寫出分裂 \(\hat{R}\) 與有效樣本數函式的透明馬可夫鏈蒙地卡羅取樣器、漏斗幾何、邊界搶救、小樣本涵蓋率模擬，以及衍生量與一致性的圖示；圖形由中文版的 ch17_figures_zh_V01.R 繪出。該腳本為了透明與可攜性，用自己寫的取樣器配適模型；實務生產建議用配上 Stan 後端的 brms，後面幾章建立在本章之上時，預設的引擎也是它。

17.8 常見的迷思

關於貝氏方法，有幾個信念會誤導讀者。第一個是貝氏估計讓人在小樣本下想說什麼都行。資料稀少時先驗確實在做事，敏感度分析因此是必要的，而草率的先驗會傷害，不會幫助 (McNeish, 2016)。第二個是可信區間不過是哲學比較好的信賴區間。先驗弱、資料充足時兩者數值接近，但它們下的是不同的陳述，差別正好在於什麼被當成隨機的。第三個是發散轉移是可以容忍的警告。發散標示的是取樣器穿不過後驗的某一塊，那些抽樣因此帶偏誤，不只是沒效率，必須解決。第四個是交叉驗證會選出真的模型。它估計的是預測準確度，而預測最好的模型未必是有解釋力的那一個。第五個是平坦先驗是客觀、無假設的選擇。放在變異數上的平坦先驗是一項很強、通常也不合理的陳述，圖 17.2 的先驗預測檢查已經顯示過了。

接下來要去哪裡

後面大部分的內容都要用到本章。第五部的結構方程模型，也就是潛在成長與變化分數模型以及交叉延宕追蹤模型，越來越多透過 blavaan 與商業程式的貝氏選項以貝氏估計配適，第 18 章的恆等性檢定也得到一個近似的貝氏形式。第六部的密集縱貫模型幾乎完全靠它：第 25 章的動態結構方程模型原封不動繼承本章的診斷表，第 26 章與第 27 章的連續時間與狀態空間模型實務上就是貝氏的。交叉驗證那一節的預測取向會在第 31 章回來，報告檢核表則餵給第 36 章的工作流程。第 16 章的位置尺度模型把你送到這裡來取它的估計方法，現在可以帶著理解重配一次，而不是拿著借來的工具。本章養成的三個習慣，以隱含結果檢查先驗、在看估計值之前先看診斷、把不確定性傳遞到每一個衍生量，就是貝氏縱貫分析的工作紀律。

習題

1. 17.1 先驗預測的設計。對一個結果變項介於零到一百之間的成長模型，為固定效果與變異數成分選擇先驗，從它們模擬，並在碰資料之前就證明所隱含的軌跡與組內相關是合理的。
2. 17.2 診斷與修復。給定三個植入了不同病態的配適模型：一條未混合的鏈、一個尾部有效樣本數過低的情形，以及來自漏斗的發散，請由各自的診斷把它們一一辨認出來，並說出修復方式。
3. 17.3 重配與一致。把前面某一章的一個混合模型在貝氏估計之下重新配適，產出最大概似對貝氏的一致性圖，並為兩者不同的任何一個參數提出說明。
4. 17.4 衍生量。由後驗抽樣算出某個人的斜率為負的機率，以及一位新受試者軌跡的預測區間，並各寫出它所支持的那一句實質陳述。
5. 17.5 預測導向的比較。以留一交叉驗證比較一個線性與一個分段成長模型，把 Pareto 形狀參數的標示實質地解讀成有影響力的個人，並陳述這項比較確立了什麼、又沒有確立什麼。
6. 17.6 先驗敏感度。在三組站得住腳的先驗之下重新配適一個模型，報告某個關鍵參數在各組之下的後驗，並判斷這項結論是否穩健。