非線性動力學：體制轉換、微分方程與早期預警訊號

32.1 當線性是錯的理論時

非線性是一項實質主張，不是裝飾，要辯護就得從實質上辯護。本書的預設一直是線性、單一均衡的模型，這個預設常常是對的：許多歷程在均衡附近本來就近似線性，而在非線性的推衍只是趕流行的時候，線性的近似(approximation)才是有原則的那一個。要為非線性模型立案，得先看到現象展現出線性模型產生不出來的指紋(signature)。圖 32.1 收集了四個。一次體制切換展現的是水準(level)或動態上的突變，平滑的趨勢會把它說錯。一段持續的週期(cycle)展現的是週期性(periodicity)，均值回歸(mean-reverting)的模型會把它當成雜訊。遲滯迴圈(hysteresis loop)展現的是狀態取決於某個驅力變項(forcing variable)的歷史：同一個輸入在上行與下行時給出不同的輸出，任何靜態的輸入輸出函數都抓不住。雙峰的邊際分配(bimodal marginal distribution)展現的是兩個偏好狀態，而線性高斯(linear-Gaussian)模型只假定一個。這些指紋是走向非線性的經驗依據；指紋不出現，就是留在線性的依據。

註：(a) 體制切換：水準上的突變，平滑的趨勢會把它說錯。(b) 持續的週期：週期性，均值回歸的模型會把它當成雜訊。(c) 遲滯迴圈：狀態取決於驅力的歷史，上行與下行走的不是同一條路徑，任何靜態函數都抓不住。(d) 雙峰的邊際分配：兩個偏好狀態，而線性高斯模型只假定一個。每一個指紋都是非線性模型的實質依據；指紋不出現，就是留在線性的依據。

三種形式論分頭處理這些現象，圖 32.2 把它們畫成一張地圖。離散體制，也就是系統佔據少數幾個各有其動態的狀態之一，由第 32.2 節的體制轉換模型處理。連續的非線性流動，也就是一股回復力沿一條彎曲的路徑把系統拉回均衡，由第 32.3 節的微分方程模型處理。替代穩定狀態之間的轉變，也就是一個緩慢變化的條件把系統帶過臨界點，由第 32.4 節的臨界轉變理論處理。前面幾章的線性工具就坐落在這幅較大的圖景裡，是非線性指紋都不出現時夠用的局部、近均衡近似。表 32.1 把這份定位攤開來，讓每一個現象對上它的形式論與本章的工具。

註：非線性現象分成三個家族，各有各的做法：離散體制由狀態轉換模型處理，連續的非線性流動由微分方程處理，替代穩定狀態之間的轉變由臨界轉變理論處理。遞迴量化分析（第 32.5 節）則是三者都適用的描述性鏡頭。本章的線性前輩是近均衡的特例。

32.2 體制轉換模型

體制轉換(regime switching)模型假定系統佔據少數幾個隱藏狀態(hidden state)之一，每個狀態各有自己的分配或動態，而系統依一個馬可夫轉移結構(Markov transition structure)在狀態之間移動。最簡單的版本是隱藏馬可夫模型(hidden Markov model)：每個狀態各有自己的發射分配(emission distribution)，觀察值在給定狀態之下條件獨立(conditionally independent)。它是第 22 章潛在轉移模型(latent transition model)在測量上比較簡單的親戚，估計時用的是同一套前向後向(forward-backward)期望最大化(expectation-maximization)邏輯。n1_mood 序列是一個人兩百天的每日效價(valence)，其中植入了「由穩定體制經過一段過渡走到憂鬱體制」的進程；一個三狀態的隱藏馬可夫模型把那個結構還原了出來。它的貝氏訊息準則(Bayesian information criterion)偏好三個狀態勝過兩個（\(1451\) 對 \(1504\)），以八成五的正確率解碼(decode)出植入的體制，狀態平均數 \(28.7\)、\(53.6\) 與 \(67.4\) 也追得上植入的體制平均數。憂鬱狀態同時帶著最大的發射標準差(standard deviation)，\(12.9\) 對穩定狀態的 \(4.3\)，而這份上升的變異性(variability)正是第 32.4 節要讀成警訊的東西。圖 32.3 畫出那份解碼與它的後驗狀態機率(posterior state probability)。這裡的呈現慣例很要緊：交付出去的不是一份「以假的確定性斷言每一天處在哪個狀態」的硬性著色，而是每個時點上每個狀態的後驗機率，它同時顯示了哪些段落分類得有把握、哪些轉變真的曖昧。

註：子圖 (a)：n1_mood 的效價序列，依三狀態隱藏馬可夫模型最可能的解碼狀態著色，以八成五的正確率還原出植入的穩定、過渡與憂鬱體制。子圖 (b)：每一天每個狀態的後驗機率，也就是誠實面對不確定性的那份交付物。有把握的段落上，單一狀態的機率接近一；真正的轉變處，機率是混合的。改報硬性的狀態標籤，等於斷言一份資料並不支持的確定性。英文版子圖 (a) 的副標印 \(86\%\)，同章的圖說與正文卻都寫八成五；實際值是 \(85.5\%\)，中文版改印 \(85.5\%\)，圖文不再相牴觸。見 EN-32-04。

比較豐富的那個版本，讓跨體制而不同的是動態，不只是平均數。馬可夫轉換自我迴歸(Markov-switching autoregression)給每個體制自己的自我迴歸持續性(autoregressive persistence)與創新變異數(innovation variance)，把一個在臨床上很有共鳴的想法形式化：一個人的心情在憂鬱體制裡不只是比較低，調節的方式也不一樣，比較有慣性(inertia)，也比較波動。先解碼 n1_mood 的體制、再估計體制內的動態，證實了這一點：憂鬱體制的自我迴歸持續性是 \(0.75\)、創新標準差是 \(8.97\)，穩定體制則是 \(0.29\) 與 \(4.14\)。這份失調(dysregulation)看得見的位置在動態本身，不只在水準上。圖 32.4 呈現這個對比。黃金標準是同時配適體制與體制特定動態的聯合估計式(joint estimator)，實作在 dynr 套件裡，與第 26 章共用同一套狀態空間(state-space)做法；這裡用的「先解碼再估計」兩步驟只是它透明的近似版本。表 32.2 列出一個體制轉換狀態空間模型的界定解剖(specification anatomy)，其中包括依共變項而定的轉移機率(covariate-dependent transition probability)，也就是「一個壓力源提高切換進失調體制的機率」。有了它，這個架構才是關於「什麼促成一次轉變」的模型，而不只是「一次轉變發生了」的描述。

註：在 n1_mood 序列每一個解碼出的體制之內，估計出來的自我迴歸持續性與創新標準差。憂鬱（失調）體制的持續性（\(0.75\) 對 \(0.29\)）與創新（\(8.97\) 對 \(4.14\)）都高於穩定（調節良好）體制，可見體制之間的差異在動態上，不只在平均水準上。這正是只講平均數的描述會漏掉、而臨床上有實質意義的內容。

第 22 章的列舉紀律原封不動搬過來，是本節的知識論拱心石。兩狀態模型配適得了許多根本沒有真體制的序列，因為單一體制的厚尾(heavy-tailed)或異質變異(heteroscedastic)雜訊模仿得出切換的外觀。圖 32.5 展示這個陷阱：一條真的有兩個體制的序列，一條單一體制但雜訊厚尾的序列，兩狀態模型都配適得上，光看配適分辨不出來。保險措施就是第 22 章點名過的那幾項：誠實報告後驗體制機率，不要把它硬化成標籤；檢查解碼出的體制與外部共變項的一致性(coherence)；還有複製(replication)。一個被還原出來的體制，就像一個被還原出來的潛在類別(latent class)，是關於結構的假設，靠「它預測得了什麼」與「它會不會重現」來驗證，絕不是由找到它的那個模型所認證的發現。

註：兩狀態模型配適得同樣好的兩條序列：一個真的有兩個體制的歷程（上），一個單一體制、雜訊厚尾的歷程（下）。光看模型配適分辨不出來，因為單一體制的厚尾模仿得出兩個體制之間的切換。保險措施在模型之外：解碼出的體制與共變項的一致性、誠實的後驗不確定性，以及複製，也就是第 22 章的列舉紀律。

32.3 微分方程與振盪子

理論講的就是調節時，微分方程是它天然的語言，因為一股回復力就是一個關於導數(derivative)的陳述：一個狀態的變化率取決於它離設定點(set point)多遠。標準的形式化是阻尼線性振盪子(damped linear oscillator)，\(\ddot{x} = \eta\,x + \zeta\,\dot{x}\)：狀態的加速度透過頻率參數 \(\eta\) 取決於位移(displacement)，透過阻尼參數 \(\zeta\) 取決於速度(velocity)。心理學的讀法把「情緒即恆溫器(thermostat)」這個隱喻量化了 (Chow et al., 2005)：負的 \(\eta\) 產生振盪，也就是被拉回設定點的系統那種衝過頭再回來；負的 \(\zeta\) 對振盪施加阻尼，讓振幅(amplitude)衰減、系統安定下來。頻率標示一個人繞著自己的均衡循環得多快，阻尼標示每一次偏離被調節掉得多徹底，而這兩個參數上的個別差異(individual difference)正是實質的報酬：阻尼不佳的情緒系統被擾動之後會振盪比較久，這是情緒失調(emotional dysregulation)一個說得通的操作化(operationalization)。圖 32.6 畫出參數區與它們的軌跡。

註：阻尼線性振盪子 \(\ddot{x}=\eta x + \zeta\dot{x}\) 在四個參數區之下的軌跡。欠阻尼(underdamped)而衰減慢：看得見的持續振盪。阻尼：很快安定下來的振盪。反阻尼(anti-damped)（\(\zeta>0\)）：振幅放大的振盪，一個失控的系統。\(\eta\) 接近零：回到均衡而看不出任何振盪，與單純的均值回歸難以分辨。嚴格說，圖上這一格的參數（\(\eta=-0.02\)、\(\zeta=-0.15\)）判別式仍為正，數學上並不是過阻尼(overdamped)，只是隱含週期遠長於衰減時間，因此在看得見的時窗內像極了過阻尼。英文版此處逕稱過阻尼，中文版改述為 \(\eta\) 接近零。見 EN-32-05。調節就是振盪的衰減；失調就是它的持續或放大。

估計振盪子，得先從離散而有雜訊的資料估出導數。廣義局部線性近似(generalized local linear approximation, GLLA)的做法是把序列嵌入(embed)，也就是形成 \(D\) 個連續觀察值的重疊窗，再套用一個固定的線性算子，對局部配一個二階多項式，還原每一點上的水準、速度與加速度 (Boker & Nesselroade, 2002)。把估出來的加速度對估出來的水準與速度作迴歸，就得到 \(\eta\) 與 \(\zeta\)。在一個已知的阻尼振盪子上（\(\eta = -0.25\)、\(\zeta = -0.06\)、週期 \(12.6\)），嵌入維度取四時 GLLA 還原得不錯（\(\hat\eta = -0.26\)、\(\hat\zeta = -0.05\)、週期 \(12.3\)）。但估計值取決於嵌入維度(embedding dimension)，這份依賴正是這個方法的核心脆弱之處，要拿出來教，不要藏起來。圖 32.7 就是那份告白：嵌入維度由三變到九，頻率的估計值由 \(-0.32\) 漂移到 \(-0.19\)，把真值夾在中間，卻沒有釘住。振盪子分析若只報出單一組 \((\eta, \zeta)\)、不呈現它對嵌入選擇的敏感度，就是在隱瞞關於它最重要的那件事；誠實的報告是那條敏感度曲線，不是那個點估計。

註：對一條參數已知的序列（虛線），廣義局部線性近似估出來的振盪子頻率（\(\eta\)）與阻尼（\(\zeta\)）隨嵌入維度變化的情形。頻率的估計值隨嵌入選擇系統性地漂移，把真值夾住而不是釘住；阻尼的估計值比較穩定，但也不是固定的。嵌入維度是一個研究者的自由度(researcher degree of freedom)，誠實的做法是報告這上面的敏感度，不是報一個點估計。

在真實資料上，這份脆弱更深，那份報酬也必須配上相應的謹慎。把振盪子配適到 affect_ema 資料裡每個人的正向情緒(positive affect)序列，每一個人的估計值都有負的頻率，也都滿足欠阻尼的條件，看起來像是在說每個人都在振盪。並非如此。負的頻率估計只表示序列是均值回歸的；有雜訊的均值回歸歷程一經嵌入與微分，不論裡面有沒有真的週期，對 GLLA 來說看起來都是局部振盪的。換句話說，振盪子模型幾乎什麼都配適得了。這正是為什麼一項來自生態瞬時評估(ecological momentary assessment)的振盪主張不能只靠配適來撐：它需要原始序列上看得見的週期、一個短到在研究期間內觀察得到的隱含週期，以及一份撐得過嵌入選擇的敏感度分析。表 32.3 列出參數、它們的心理學語意與估計敏感度，也接上了第 27 章：在那裡，同樣的振盪動態以連續時間(continuous-time)模型的複數特徵值(complex eigenvalue)出現，是同一個現象的第二種形式論。

32.4 臨界轉變與早期預警訊號

最有野心的非線性假設是這樣的：一次突然的臨床變化，例如一次憂鬱發作，是一次臨界轉變；一個緩慢變化的條件把系統帶過一個摺疊分岔(fold bifurcation)到達另一個穩定狀態，原本所在的均衡就此失去穩定性。這套理論作出一個引人注目的預測。系統接近臨界點時，它所佔據的均衡變得比較不穩定，回復力變弱，從擾動中復原得越來越遲緩，這個現象叫做臨界減速(critical slowing down)。遲緩的復原留下可測量的統計指紋：延宕一期自我相關(lag-one autocorrelation)朝一上升，因為復原慢的時候每一個值都與前一個值更像；變異數也上升，因為擾動被壓抑得比較少。這些就是早期預警訊號(early-warning signal)。它們的承諾，也就是由例行監測資料算出一份對臨床轉變的預告警報，大到值得本書最仔細的評價。基礎概念方塊勾勒出減速為何隱含自我相關上升，圖 32.8 則畫出這套理論底下那幅位能地景(potential landscape)的圖像。

註：把系統看成一顆在位能地景上的球。離轉變還遠時（左），球坐在一個深井裡，被輕推之後很快回來。控制參數漂移之後（中），球所在的井變淺，球回來得遲緩，這就是臨界減速。到了分岔處（右），井消失，球滾向另一個狀態，這就是翻覆。早期預警訊號那些上升的自我相關與變異數，就是井變淺在統計上的影子。

真正決定成敗的是計算與推論上的紀律。早期預警指標是在去趨勢(detrend)過的序列上以移動窗(rolling window)算出來的，而窗寬與去趨勢方法都是研究者的自由度，它們的影響必須檢查。一個指標的趨勢，以它與時間的肯德爾等級相關(Kendall rank correlation)來摘述；關鍵在於這份趨勢必須對照一個「純由機會就產生得出它」的虛無(null)來檢定，因為任何一條有持續性的序列都可能出現上升的自我相關，不需要有任何逼近中的轉變。那個虛無由替代序列(surrogate series)建起來：它們共用觀察到的自我相關，卻不含任何朝向轉變的趨勢。把觀察到的肯德爾趨勢拿去和這些替代序列的趨勢分配比較，就得到一個誠實的 \(p\) 值。圖 32.9 在 bistable_sim 序列上驗證整條管線；那條序列由一個真的摺疊分岔生成，其中一個控制參數緩慢漂移越過臨界點。指標如理論所預測地上升：自我相關的趨勢（\(\tau = 0.51\)）與變異數的趨勢（\(\tau = 0.47\)）對照替代序列虛無都顯著（分別是 \(p < 0.001\) 與 \(p = 0.01\)），而預警領先臨界點很長一段。在來自一次已知轉變的乾淨資料上，這個方法就是照廣告運作的。

註：子圖 (a)：由一個真的摺疊分岔生成的 bistable_sim 序列，先待在下方的狀態，其間一個控制參數漂移越過分岔點（綠；英文版為橘，中文版把橘保留給體制的著色），隨後翻覆到上方的狀態（紅）。子圖 (b)：移動窗的延宕一期自我相關與標準差都在翻覆之前上升，正如臨界減速理論所預測；兩個趨勢對照一個自我相關相符的替代序列虛無都顯著，預警也領先臨界點很長一段。子圖 (b) 的副標印出的那個領先量（\(188\) 個時點）是警報規則的性質，不是資料的性質：指標要連續幾個窗、要超過替代序列虛無的哪一個百分位才算一次警報，換一組判準就換一個領先量；報告預警的領先量而不同時寫出警報規則，讀者複製不了那個數字。在來自一次已知轉變的乾淨資料上，這個方法是有效的。英文版把兩個指標畫在同一個 \(y\) 軸上，而它們的尺度差一到兩個數量級，被壓扁的那一條在圖上幾乎是一條直線；中文版把它們拆成各自的分面與各自的 \(y\) 軸。見 EN-32-02。

令人清醒的示範隨後就到，因為真實資料並不乾淨，而單一個案不是母體。圖 32.10 把同一條管線用在 n1_mood 序列上，取到憂鬱體制發作之前為止。結論是分歧的：變異數顯著上升（\(\tau = 0.71\)、\(p = 0.008\)），理論上比較核心的自我相關卻沒有（\(\tau = 0.44\)、\(p = 0.11\)）。比較深的那份警戒，不在這條序列的特定結果，而在它的身分：一個單一的、事後的個案。轉變是事後才被觀察到的，發生在一個人身上，而分析上的選擇又是在已知轉變落在何處之後才作的；不管那幅圖看起來多乾淨，這對「預告式警報」而言都是最弱的證據。轉變的基本率(base rate)很低，分析上的選擇又很多，而一個在某一次轉變之前出現的訊號，並不說明它在那許多次「沒有轉變」之前會發出多少假警報(false alarm)。表 32.4 定義這些指標與它們的失效模式，表 32.5 消化這份經驗證據的現狀。文獻慶祝過一些單一個案的成功 (van de Leemput et al., 2014; Wichers et al., 2016)，也遇到過針對基本率、窗寬選擇與預告表現的尖銳批評 (Bos & De Jonge, 2014)；至截稿為止，這個領域在預告與複製上的紀錄確實是分歧的。本書的判斷因此是有界的：早期預警訊號是一個有前景的、產生假設用的監測基礎，不是一個經過驗證的臨床警報；「它們預先察覺得到某個個體的轉變」這樣的主張，必須對基本率與分析者自由度的反駁提出辯護，不能只用一個動人的個案來說明。

註：把早期預警的管線用在 n1_mood 序列上，取到憂鬱體制發作（虛線）之前為止。變異數顯著上升（\(\tau = 0.71\)、\(p = 0.008\)），自我相關則沒有（\(\tau = 0.44\)、\(p = 0.11\)），結論是分歧的；而在這之前還有更深的問題：這是一個單一的、事後的個案，對預告式警報而言是最弱的證據。決定一份預警真不真的，是基本率與分析者的自由度，不是某個指標上升的外觀。與圖 32.9 相同，中文版把兩個指標拆成各自的分面與各自的 \(y\) 軸；這一格尤其要緊，因為它的重點正是「標準差上升而自我相關沒有」。見 EN-32-02。

32.5 遞迴量化分析

遞迴量化分析是一種看動態序列結構的描述性鏡頭，放在這裡，是作為前面各章以自我相關為本的那些描述的非線性補充。遞迴圖(recurrence plot)先把序列嵌入以重建狀態空間，再標出系統回到相似狀態的每一對時點，而那張圖的視覺質地區分得出動態的體制：週期性的系統產生長對角線，因為一個狀態會以規則的間隔重現；隨機的系統則產生散開而沒有質地的圖。遞迴量化分析把那份質地變成數字：遞迴率(recurrence rate)；決定性(determinism)，也就是落在對角線上的遞迴點比例，標示可預測性；以及層流性(laminarity)，也就是落在垂直線上的比例，標示被困在狀態裡。圖 32.11 對比一段持續的振盪與一條等長的自我相關雜訊序列：振盪的遞迴圖佈滿長對角線，決定性高（\(0.87\)）；雜訊序列是散開的，決定性比較低（\(0.70\)）；而這個差異對照一個替代序列虛無是顯著的（\(p < 0.001\)）。這個框架必須維持描述性。遞迴的度量刻畫一條序列，而建立在它們之上的推論主張，例如「兩條序列的決定性有差異」、「一對雙人的協調(coordination)超過機會水準」，都需要一次替代序列檢定，正如這裡所做的。遞迴量化分析最有價值的用處是耦合序列的協調，例如一對正在交談的雙人的同步(synchrony)，那是應用各章要發展的用途。

註：一條自我相關雜訊序列（左）與一段等長的持續振盪（右）的遞迴圖。一個遞迴點標出系統處於相似狀態的兩個時點。振盪那些長對角線，是週期性決定性結構的指紋；雜訊序列則是散開的。決定性這個度量把差異量化了（\(0.87\) 對 \(0.70\)），而它對照一個替代序列虛無是顯著的（\(p < 0.001\)）。遞迴量化分析是描述性的；由它出發的推論主張需要替代序列檢定。

32.6 誠實帳本

本章的方法橫跨很寬的資料需求與證據強度，而前沿正是「把那個範圍老老實實算一遍」最有用的地方。圖 32.12 與表 32.6 就是那份帳：哪一種非線性方法在哪一種資料預算(data budget)下站得住腳，各自的主張上限(claim ceiling)又在哪裡。兩狀態的隱藏馬可夫模型在一百個時點時可行，數百個時點時證據充分；馬可夫轉換自我迴歸需要更多，因為它在每個體制內各估一組動態；振盪子的估計在數百個時點以下很脆弱，而且序列再長，它的主張還是被嵌入敏感度封頂；單序列的早期預警推論只有在長紀錄下才可行，即使那樣也只支持監測，不支持預測；遞迴量化分析既然是描述性的，可以早一點用，但主張也小。這份帳本的紀律是把主張配上預算，並且對任何一項非線性分析都報告結論對分析者選擇的敏感度：早期預警訊號的窗寬與去趨勢、振盪子與遞迴的嵌入、轉換模型的起始值與體制個數。沒有附上這份敏感度就報出來的非線性結果，還不算是一項發現。本章那些令人興奮的做法與這份令人清醒的帳本並不衝突；在這道前沿上，帳本正是讓那些做法可用的東西。

註：本章各方法對照序列長度的一份能力帳本。體制轉換模型與遞迴量化分析在中等長度下就可用；馬可夫轉換自我迴歸與振盪子估計需要比較長的紀錄，而且仍然脆弱；單序列的早期預警推論只有在長紀錄下才可行，而且支持監測、不支持預測。這份帳本編碼了本章的核心紀律：把主張配上資料預算，並報告每一項非線性結論對分析者選擇的敏感度。英文版此圖的分數向量與 expand.grid 的維度順序不合，畫出來的格子被轉置打散，與表 32.6 及正文相牴觸（例如「\(T<50\) 的單序列早期預警＝證據充分」）；中文版直接以明確的矩陣建表，並與表 32.6 逐格核對。見 EN-32-01。

習題

1. 32.1 嵌入敏感度。在一條已知參數的阻尼線性振盪子序列（\(\eta=-0.25\)、\(\zeta=-0.06\)）上以廣義局部線性近似估計，把嵌入維度由三掃到九，重現圖 32.7 那份漂移。再把同一套估計搬到 affect_ema 每個人的正向情緒序列上，說明每個人都算出負的頻率為什麼不是振盪的證據。
2. 32.2 體制內的動態。用 depmixS4 把三狀態隱藏馬可夫模型配適到 n1_mood，依圖 32.3 的慣例交付後驗狀態機率而不是硬性標籤，再估計每個體制內的自我迴歸持續性與創新標準差並寫出一段結果。接著依圖 32.5，說明一個被還原出來的體制為什麼還只是一項有待外部驗證的假設。
3. 32.3 兩種預警證據。把同一條早期預警管線，也就是去趨勢、移動窗、肯德爾 \(\tau\) 與自我相關相符的替代序列，分別跑在 bistable_sim 與 n1_mood 上，重現圖 32.9 與圖 32.10；再用文字說清楚一次已知的摺疊分岔與一個事後的單一個案各自撐得起什麼主張。
4. 32.4 減速的推導。由線性化的動態 \(\dot{x}=-\kappa x\) 出發，推出延宕一期係數 \(\phi=e^{-\kappa\Delta t}\) 與定態變異數，說明回復速率趨近零時兩個指紋為何同時浮現；再依表 32.4 的失效模式，向一位臨床合作者寫一份備忘錄，說明自我相關上升為什麼是必要而不是充分的證據。
5. 32.5 帳本稽核。取一篇宣稱在單一個案上偵測到臨界轉變的已發表研究，先問它有沒有展示過圖 32.1 那類非線性指紋，再依表 32.6 的最低 \(T\) 與主張上限、對照表 32.5 的證據現狀稽核它，指名哪些分析者自由度沒有被報告，並寫出你會提出的審查意見。
6. 32.6 自己的遞迴圖。在你自己的一條密集縱貫序列上重建狀態空間，以 crqa 或自己寫的程式算出遞迴率、決定性與層流性，並照圖 32.11 的做法對照替代序列虛無檢定決定性；再依第 32.6 節的帳本，寫下這個序列長度撐得起的最強結論。