視覺化改變 I：軌跡、子圖與比較性圖示

8.1 畫改變的原則

有效的圖形順著人類視覺解碼數量的方式來設計，而這個排序早有定論：沿著共同尺度的位置(position along a common scale)讀得最準，其次是長度(length)，再來是角度(angle)與斜率(slope)，顏色(color)與面積(area)最不準 (Cleveland & McGill, 1984)。改變的圖示因此要盡量把關注的量編碼成位置，顏色留給分組，不要拿來編碼大小。第二個與時間有關的知覺事實是：連接線意謂連續性，它主張狀態從一個測量點平滑地滑到下一個，而這個主張在兩種常見情況下會誤導。時點間距不等卻畫成等距，眼睛讀到的就是一個資料並不支持的固定變化率；圖 8.1 把同樣五個測量值分別對波次編號與對實際經過的時間畫出來，第一個子圖那種平穩的下降，到第二個子圖就正確地變成集中在單一區間內的一次陡降。線若畫過遺漏的波次，則會內插出一個從未觀察到的值，等於在整份研究訊息最少的那一點上製造資料。兩種情況的補救相同：橫軸放真實的時間，真正有缺口的地方把線斷開，不要拿線糊過去。

註：左：五個時點以等距的波次排列，看起來像漸進而固定的下降。右：同樣的數值對實際經過的時間畫出，幾乎所有改變都發生在第二週到第六週之間。把不等的間距畫成相等，是改變圖形中最常見、後果也最嚴重的扭曲之一。

每一張畫改變的圖都要同時回答兩個問題：典型的軌跡長什麼樣子，個體偏離它多少。只給平均數、或只給個體的圖示都不完整。表 8.1 把常見的研究問題對應到能回答它的圖示，是本章實用的索引。本章其餘各節依這些問題編排，但有一件事要先交代：全書的圖形樣式在此定義一次，之後全書重複使用。這套樣式是一個格線淡雅的乾淨主題、色覺友善的 Okabe-Ito 定性色盤 (Okabe & Ito, 2008)、置底的圖例，以及以目標欄寬的實體寬度輸出，讓圖形不必縮放就清楚可讀。隨書附的 theme_book_zh_V01.R 提供主題、色盤與尺寸輔助函式，後續各章用 source() 載入，不各自重新定義美學。

8.2 軌跡圖這匹主力與它的規模問題

義大利麵圖(spaghetti plot)就是一人一條連接線。它是縱貫資料的主力圖示，因為一張圖同時回答兩個問題：線條聚成的雲給出典型型態，散開的程度給出變異。它的弱點在規模。人數一多，線條就重疊糊成一團認不出來的墨團，圖示必須跟著換。圖 8.2 用學業成就資料呈現這個推移：三十個孩子時個別線條還讀得出來；三百個時，透明度混色(alpha blending)讓每條線半透明，密度以顏色深淺現形，個別路徑則消失；到了全樣本，唯一誠實的摘要是一條附帶區間的平均軌跡，此處取第十到第九十百分位的範圍，因為一千兩百條疊在一起的線怎麼畫都只是墨水。表 8.2 列出各個樣本規模下的策略。一般原則是：化簡不是不誠實，而是設計。結果既然認不出來，把所有資料都畫出來對讀者毫無幫助；一個有原則、能揭露型態的摘要，比一團藏住型態的亂線更真實。

註：同一批成就資料在三個樣本數之下。\(N = 30\) 時個體軌跡清楚可讀；\(N = 300\) 時透明度混色(alpha blending)顯示密度，代價是個別路徑；\(N = 1200\) 時，只剩一條附第 10 到第 90 百分位帶的平均軌跡讀得出來。對的圖示由樣本數決定，不由「要把所有資料都畫出來」這條固定規則決定。

平均軌跡本身也帶著一項危害：許多個體歷程平均起來，可能得到一個沒有任何個體展現過的形狀。圖 8.3 重現那個經典的演示 (Estes, 1956)：二十個人各自在自己特有的時刻從低值一步跨到高值，組平均數卻平滑而漸進地上升，這個形狀誤現了樣本裡的每一個人。這一課不是說平均數沒有用，而是說平均軌跡必須連同個體資料一起讀：聚合可以從一堆突然的改變中造出漸進性，而這個假象牽動的是「變化理論要怎麼檢驗」（這個主題會在第 1 章的遍歷性(ergodicity)討論與第六部的動態模型裡再度出現）。

註：左：二十個個體，各自在不同的時刻驟然改變。右：他們的平均數是一條平滑漸進的曲線，與任何一個個體的階梯式歷程都不相符。平均軌跡是集中趨勢(central tendency)的有效摘要，卻可能誤現歷程；請連同個體資料一起讀。

重點若是個體差異，小型多重圖(small multiples)把每一個人畫進各自的子圖，而讓這些子圖有訊息量的關鍵設計，是排序。圖 8.4 把二十個孩子各放進自己的子圖，依對其資料配適的直線斜率排序，格狀圖於是變成一道由陡降到陡升、讀得下去的梯度，而不是一堆雜亂；依基線水準排序或依某個共變項排序回答的是別的問題，一樣正當，但依編號排序等於浪費整張圖。樣本更大時，千層麵圖(lasagna plot)改用熱圖(heatmap)取代那團亂線，一人一列、一個時點一欄，格子的深淺代表數值，而排序同樣是關鍵抉擇，只是這次排的是列。圖 8.5 把同樣八十個孩子分別依基線成就與依成長斜率排序，浮現的結構並不相同：前者是一道基線梯度，後者是軌跡的扇形展開 (Swihart et al., 2010)。空白格子反映加速世代設計(accelerated cohort design)：每個孩子在六個年級中只測到四個年級。這張圖把那個結構顯示出來，不是藏起來。

註：二十個孩子各佔一個子圖，子圖依該孩子資料所配適的最小平方(ordinary least squares, OLS)直線（橘色）斜率排序。有訊息量的排序把小型多重圖從一團雜亂變成一道可讀的改變梯度，由降得最陡的排到升得最陡的。

註：八十個孩子的「人 \(\times\) 年級」熱圖，深淺代表成就。依基線成就排序（左）浮現起始水準的梯度；依成長斜率排序（右）浮現變化速率的差異。空白格子反映加速世代設計(accelerated cohort design)，每個孩子只跨四個年級。樣本大時，千層麵圖是取代重疊過度的義大利麵圖的可讀選擇。

8.3 跨時間比較組別與條件

研究要對比組別時，直覺是把各組的平均軌跡疊在一起。這個圖示有用，卻很少就是估計標的(estimand)。兩組(two-arm)試驗設計要估的量，是兩組之間隨時間變化的差異(difference)，而這個差異值得有自己的子圖與自己的不確定性。圖 8.6 把治療試驗畫成兩種樣子：左子圖把兩組連同信賴帶疊在一起；右子圖畫「實驗組減控制組」的差異，附一個隨流失累積而變寬的信賴區間，隨治療優勢擴大而往零以下走得更遠，到最後一週約達六個憂鬱量表分。差異子圖直接把結果講出來；看疊圖子圖的讀者得自己用眼睛做減法，還完全看不到這個對比的不確定性。畫對比，就是「報告交互作用而不是報告兩條簡單斜率(simple slopes)」的視覺版。

註：左：兩組的 HDRS 平均軌跡，附 \(95\%\) 信賴帶。右：「實驗組減控制組」的差異軌跡，附自身的信賴區間，這才是該試驗真正的估計標的。差異子圖把效果與它逐漸擴大的不確定性一次顯示出來；疊圖只能讓讀者用眼睛去減。

兩時點的對比也一樣，同一個原則讓一種流傳甚廣的圖示站不住腳。炸藥圖(dynamite plot)是一根長到組平均數高度、頂上加一條誤差鬚的長條，它丟掉整個分配，只留兩個摘要統計量；對改變尤其誤導，因為它把「個體是一起移動還是往相反方向移動」藏了起來。圖 8.7 拿它跟同一批資料的配對連線圖(paired-line chart)對照。配對連線圖把每位病人的基線與終點連起來，反應的異質性於是連同平均數一起看得見：有些病人大幅改善，有些幾乎沒動 (Weissgerber et al., 2015)。長條圖那兩個矩形可以由許多種個體改變型態產生，其中多數在臨床上意義不同，而配對圖示分得出來。建議也就呼之欲出：把分配畫出來，重複測量還要把個體內的改變畫出來；長條留給次數，那是它唯一能誠實編碼的量。

註：左：配對連線圖把每一位接受治療的病人的基線與終點連起來，粗線是平均改變，個體的異質性看得見。右：同一批資料的炸藥圖把它化約成兩根長條與兩條鬚，分配與個體內的改變都丟掉了。這兩個圖示出自完全相同的數字。

組別之間的比較也可以放在整個分配的演變上，不必只比平均數，這在地板或天花板效應、或改變的偏態本身就是故事的一部分時特別要緊。圖 8.8 用山脊圖(ridgeline)序列呈現各年級的成就分配：分配整體向上移動，分散程度變化很小。山脊圖顯示的正是平均軌跡顯示不了的事，這裡的成長是一次位置移動，不是個體差異的擴大。這一類分配式的圖示，山脊圖與它的近親雨雲圖(raincloud plot)，在分配的形狀而不只是中心帶有實質意義時，已經越來越是讀者的期待 (Allen et al., 2019; Rousselet et al., 2017)。

註：各年級的成就分配，以山脊圖序列呈現，各條密度採同一個帶寬，彼此才比得起來。成就跨年級向上移動，分散程度變化很小：這裡的成長是一次位置移動，不是個體差異的擴大，而這正是一條平均數軌跡顯示不了的事。當關注的是形狀而不只是中心時，分配式的圖示才是正確的選擇。

8.4 共變項與改變

要呈現共變項與改變的關係，兩匹主力是分面(faceting)與以模型為基礎的預測。依調節變項(moderator)的水準分面、或用顏色編碼軌跡，顯示的是各層內部的原始型態；在選定的共變項數值上由模型預測的軌跡，則乾淨地顯示配適出來的調節效果，不帶原始資料的雜訊。圖 8.9 以病人年齡為候選調節變項，兩種做法都畫：左子圖依年齡三分位(tertile)對原始的組平均數分面，右子圖畫各組在平均年齡上下一個標準差處由模型預測的軌跡。在這批資料中，年齡對治療斜率的調節很輕微，而圖示誠實地把它畫成輕微，沒有把一個微弱的效果誇大。這正是模型預測子圖的美德：估計出來的調節效果多大就畫多大。這種預測軌跡的做法預告了第 13 與 14 章以模型為基礎的視覺化，那裡配適出來的效果會用專為此設計的工具畫出。第 7 章的個體間與個體內散布圖是另一種標準的共變項圖示；任何「某個關聯運作在某個特定層次上」的主張，都應該附上它們。

註：左：依年齡三分位分面的原始 HDRS 軌跡。右：各組在年齡低於與高於平均一個標準差處由模型預測的軌跡。在這批資料中，年齡對治療斜率的調節很輕微，模型預測子圖就照這個真實而輕微的大小畫，沒有誇大。

8.5 畫模型，不只是畫資料

「配適完就把模型畫出來」這條座右銘，產生了縱貫工作中最重要的幾張診斷圖，第一張就是把配適軌跡疊在觀察資料上。圖 8.10 給出標準形式：灰色是觀察資料，細藍線是已配適的成長模型所給的個體專屬配適軌跡，粗線是固定效果的平均軌跡。這些個體專屬的配適值就是模型的最佳線性不偏預測(best linear unbiased predictions, BLUP)，也就是每個個體軌跡的收縮估計(shrinkage estimate)；看著它們在平均線周圍展成扇形，隨機斜率變異數(random-slope variance)便一目了然，而這是任何一張變異數成分表都做不到的。後續每一個配適模型的章節都少不了這張圖，它的標準形式在此定義。它的搭檔是圖 8.11 的毛毛蟲圖(caterpillar plot)，把個別的隨機效果連同不確定性區間排序，讓讀者同時看見個體成長速率的分散程度，以及哪些個體可靠地偏離平均數：區間不涵蓋零的孩子，成長得可靠地比典型的孩子快或慢。

註：觀察到的成就資料（灰）、線性成長模型給的個體專屬配適軌跡（細藍，即經驗貝氏預測值(empirical Bayes prediction)），以及固定效果的平均軌跡（粗紅）。個體配適值展開的扇形直接把隨機斜率變異數顯示出來。把模型疊在資料上，是全書通用的標準配適檢查。

註：六十個孩子估計出來的隨機斜率偏離量，已排序，附 \(95\%\) 區間。區間未涵蓋零（虛線）的孩子，成長得可靠地比平均的孩子快或慢。毛毛蟲圖(caterpillar plot)同時傳達個體成長速率的分散程度，以及每個個體偏離平均數的確定程度。

第三種模型圖示直接檢查平均數結構：把觀察到的組平均數疊在各時點模型隱含的平均數上，如圖 8.12。吻合良好就支持這個函數形式，此處是一條線性軌跡，把觀察到的各年級平均數追得很好。系統性的落差，也就是模型隱含的平均數在特定時點上向外彎離觀察值，則是誤設(misspecification)的可見特徵，例如拿一條直線去配適一個彎曲的歷程。這個「觀察對模型隱含」的比較，是第四部與第五部的成長模型與結構方程模型的主力診斷；標準形式在此定義，後續各章可以直接引用，不必重新解釋。

註：各年級觀察到的平均成就（灰）對照已配適的線性成長模型所隱含的平均數（藍）。吻合緊密就支持這個線性的平均數結構；特定時點上系統性的偏離則揭露配適不良。這是本書評估模型平均數結構的標準診斷。

8.6 表格、輸出與可重製性

圖形承載型態，表格承載讀者可能要拿去再用的精確數值；一張好的縱貫結果表是為了比較而設計，不只是為了完整。它的數字四捨五入到帶有訊息的那兩、三位有效數字 (Ehrenberg, 1977)，它的列與欄安排成讓讀者要做的比較沿著欄往下走，因為眼睛在那個方向比得最準，而它的結構把固定效果估計值、隨機效果變異數與配適統計量分成有標籤的區塊。第 7 章的描述性「表 1」是入口，模型比較表與參數表守同樣的紀律。表 8.3 收錄本書遵循的 APA 圖表要求。最後兩件事是輸出與可重製性：圖形以向量格式、以目標欄寬的實體寬度存檔，文字才保持可讀；在色覺模擬下檢查過，選 Okabe-Ito 色盤正是為了通過這一關；附上描述性的替代文字(alt text)；而最要緊的是由腳本產生，書中每一張圖才能完全重製，這也是隨書儲存庫執行的政策，每一章一個腳本。

8.7 在 R 中建立這些圖示

本章的程式碼比多數章節多，因為畫圖這門手藝是做出來的，不是說出來的。全書樣式載入一次、設為全域，此後每一張圖都繼承它。

library(ggplot2); library(dplyr); library(tidyr); library(patchwork); library(lme4)
source("Examples/R/theme_book_zh_V01.R")  # theme_book_zh(), ok_palette, save_fig()
theme_set(theme_book_zh())

sg <- readRDS("Examples/data/school_growth.rds") |> mutate(grade_c = grade - 3)

第 8.2 節那張分層次的軌跡圖，就是個體的義大利麵圖加上一條平均線，要撐到多少人，由個體線條的透明度控制。

# --- 分層次的義大利麵圖，疊一條平均線 ---
ggplot(sg, aes(grade, achievement)) +
  geom_line(aes(group = child_id), alpha = 0.08, color = ok_palette["blue"]) +
  stat_summary(fun = mean, geom = "line", color = ok_palette["vermillion"],
               linewidth = 1.3) +
  labs(x = "Grade", y = "Achievement")

第 8.3 節的差異軌跡這樣算：先把各組摘要起來，轉成寬格式，再相減，差異的標準誤由兩組的標準誤合併得到。第 8.5 節「模型疊資料」的圖示則是把成長模型配適一次，再同時預測個體專屬軌跡與固定效果軌跡。

# --- 差異軌跡與它自己的 CI (therapy_rct) ---
rct <- readRDS("Examples/data/therapy_rct.rds")
gm <- rct |> group_by(arm, week) |>
  summarise(m = mean(hdrs, na.rm = TRUE),
            se = sd(hdrs, na.rm = TRUE) / sqrt(sum(!is.na(hdrs))), .groups = "drop")
dif <- gm |> pivot_wider(names_from = arm, values_from = c(m, se)) |>
  mutate(d = m_Treatment - m_Control, sed = sqrt(se_Treatment^2 + se_Control^2))
ggplot(dif, aes(week, d)) +
  geom_hline(yintercept = 0, color = "grey55") +
  geom_ribbon(aes(ymin = d - 1.96 * sed, ymax = d + 1.96 * sed), alpha = 0.2) +
  geom_line(linewidth = 1)

# --- 模型疊資料：固定效果與 BLUP 軌跡 ---
m_sg <- lmer(achievement ~ grade_c + (1 + grade_c | child_id), data = sg)
sg$blup <- predict(m_sg)                                   # 個體專屬的配適值
fixed  <- data.frame(grade = 3:8, grade_c = (3:8) - 3)
fixed$fit <- predict(m_sg, newdata = fixed, re.form = NA)  # 平均軌跡

十二張圖完整且可重製的程式碼都在隨附的 ch08_figures_zh_V01.R，包括千層麵圖的兩種排序、毛毛蟲圖中連同條件變異數一起取出隨機效果，以及觀察對模型隱含的比較；全書樣式的定義則在 theme_book_zh_V01.R。

8.8 常見的迷思

關於畫改變，有幾個信念會造成傷害。第一個是圖形是裝飾，結果由表格承載。在變化的研究裡，圖形往往就是結果：一張軌跡圖揭露的函數形式、異質性與配適不良，任何表格都傳達不了，而「觀察對模型隱含」的圖示是正式的診斷，不是裝飾。第二個是永遠都應該把所有資料畫出來。一萬條重疊到認不出來的線什麼也沒顯示，有原則地化簡成一個能揭露型態的摘要，比一團藏住型態的亂線更誠實。第三個是誤差線就是誤差線。標準差、標準誤、信賴區間與預測區間回答的是不同的問題；對重複測量而言，天真的受試者間區間會誤述受試者內的不確定性，所以一條帶代表的是哪一個量，必須寫明。還有一個反覆出現的問題：該用顏色還是形狀區分組別。最好的答案是兩者都用，冗餘編碼能讓有色覺缺陷的讀者、以及灰階複印的情況下，各組仍然分得出來。

接下來讀哪裡

下一章把這些原則帶進密集縱貫資料。那裡每個人有數百個時點，需要的圖示遠超出本章這套為少數時點設計的方法；時間本身也透過週期、事件與連續取樣，變成一個更豐富的對象。本章定義的全書樣式、分層次軌跡的邏輯，以及三項「模型疊資料」的診斷，會在後續每一個建模章節重現：第 13 與 14 章的成長模型倚賴「固定效果加 BLUP」的疊圖與「觀察對模型隱含」的比較，第 23 章的多層次日誌模型延伸調節變項的圖示，第 36 章的報告綜論則回到此處收錄的表格與可及性標準。唯一的承諾是：報告任何模型都要附上一張圖，讓模型立在它自稱能解釋的資料之上。

習題

1. 8.1 重建一張壞圖。給定一張畫在截斷座標軸上的炸藥圖，重建它底層的資料，做出兩個站得住腳的替代方案：一張配對連線圖與一張分配式圖示，再各用一段話說明它為什麼比原圖誠實。
2. 8.2 替千層麵排序。以 school_growth 建立千層麵圖，列分別依編號、依基線成就、依成長斜率排序，說明每一種排序各揭露或遮蔽了什麼結構。
3. 8.3 畫出對比。就 therapy_rct 產出差異軌跡圖，為「實驗組減控制組」的差異算出正確的信賴區間，再寫出這張子圖支持的一句話解讀。
4. 8.4 模型疊資料。把第 8.5 節的線性成長模型配適到 school_growth，重現「固定效果加 BLUP」的疊圖與「觀察對模型隱含」的平均數圖示，並說明每一張各告訴你配適的哪一件事。
5. 8.5 一張結果表。由配適好的成長模型產出一張符合 APA 規範的結果表，固定效果、變異數成分與配適統計量分成不同區塊，數字為比較而四捨五入，並寫出它的註。